Formalismos de rotación en tres dimensiones

Formas de representar rotaciones 3D

En geometría existen diversos formalismos para expresar una rotación en tres dimensiones como una transformación matemática . En física, este concepto se aplica a la mecánica clásica , donde la cinemática rotacional (o angular) es la ciencia de la descripción cuantitativa de un movimiento puramente rotacional . La orientación de un objeto en un instante dado se describe con las mismas herramientas, ya que se define como una rotación imaginaria a partir de una ubicación de referencia en el espacio, en lugar de una rotación realmente observada a partir de una ubicación anterior en el espacio.

Según el teorema de rotación de Euler , la rotación de un cuerpo rígido (o sistema de coordenadas tridimensional con un origen fijo ) se describe mediante una única rotación alrededor de algún eje. Dicha rotación puede describirse de forma única mediante un mínimo de tres parámetros reales . Sin embargo, por diversas razones, existen varias formas de representarla. Muchas de estas representaciones utilizan más del mínimo necesario de tres parámetros, aunque cada una de ellas sigue teniendo solo tres grados de libertad .

Un ejemplo en el que se utiliza la representación de rotación es en la visión artificial , donde un observador automatizado necesita rastrear un objetivo. Consideremos un cuerpo rígido, con tres vectores unitarios ortogonales fijados a su cuerpo (que representan los tres ejes del sistema de coordenadas local del objeto ). El problema básico es especificar la orientación de estos tres vectores unitarios y, por lo tanto, el cuerpo rígido, con respecto al sistema de coordenadas del observador, considerado como una ubicación de referencia en el espacio.

Rotaciones y movimientos

Los formalismos de rotación se centran en los movimientos propios ( que preservan la orientación ) del espacio euclidiano con un punto fijo , al que se refiere una rotación . Aunque los movimientos físicos con un punto fijo son un caso importante (como los descritos en el marco del centro de masas o los movimientos de una articulación ), este enfoque crea un conocimiento sobre todos los movimientos. Cualquier movimiento propio del espacio euclidiano se descompone en una rotación alrededor del origen y una traslación . Cualquiera que sea el orden de su composición , el componente de rotación "pura" no cambiaría, determinado únicamente por el movimiento completo.

También se pueden entender las rotaciones "puras" como aplicaciones lineales en un espacio vectorial dotado de estructura euclidiana, no como aplicaciones de puntos de un espacio afín correspondiente . En otras palabras, un formalismo de rotación captura sólo la parte rotacional de un movimiento, que contiene tres grados de libertad, e ignora la parte traslacional, que contiene otros tres.

Al representar una rotación como números en una computadora, algunas personas prefieren la representación de cuaternión o la representación de eje + ángulo, porque evitan el bloqueo del cardán que puede ocurrir con las rotaciones de Euler. ^[1]

Alternativas al formalismo

Matriz de rotación

La tríada de vectores unitarios mencionada anteriormente también se denomina base . La especificación de las coordenadas ( componentes ) de los vectores de esta base en su posición actual (rotada), en términos de los ejes de coordenadas de referencia (no rotados), describirá completamente la rotación. Los tres vectores unitarios, û , v̂ y ŵ , que forman la base rotada constan cada uno de 3 coordenadas, lo que da un total de 9 parámetros.

Estos parámetros se pueden escribir como los elementos de una matriz A de 3 × 3 , llamada matriz de rotación . Normalmente, las coordenadas de cada uno de estos vectores se organizan a lo largo de una columna de la matriz (sin embargo, tenga en cuenta que existe una definición alternativa de matriz de rotación que se utiliza ampliamente, en la que las coordenadas de los vectores definidas anteriormente se organizan por filas ^[2] ). $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat {\mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} }}_{z}&{\hat {\mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}}$$

Los elementos de la matriz de rotación no son todos independientes: como dicta el teorema de rotación de Euler, la matriz de rotación solo tiene tres grados de libertad.

La matriz de rotación tiene las siguientes propiedades:

• A es una matriz real y ortogonal , por lo tanto cada una de sus filas o columnas representa un vector unitario .
• Los valores propios de A son donde i es la unidad imaginaria estándar con la propiedad i ² = −1 $${\displaystyle \left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}}$$
• El determinante de A es +1, equivalente al producto de sus valores propios.
• La traza de A es 1 + 2 cos θ , equivalente a la suma de sus valores propios.

El ángulo θ que aparece en la expresión del valor propio corresponde al ángulo del eje de Euler y a la representación del ángulo. El vector propio correspondiente al valor propio de 1 es el eje de Euler que lo acompaña, ya que el eje es el único vector (distinto de cero) que permanece inalterado al multiplicarlo por la izquierda (rotarlo) con la matriz de rotación.

Las propiedades anteriores son equivalentes a lo que es otra forma de afirmar que ( û , v̂ , ŵ ) forman una base ortonormal 3D . Estas afirmaciones comprenden un total de 6 condiciones (el producto vectorial contiene 3), lo que deja a la matriz de rotación con solo 3 grados de libertad, como se requiere. $${\displaystyle {\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u} }}|=|{\hat {\mathbf {v} }}|=|{\hat {\mathbf {w} }}|&=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{aligned}}}$$

Dos rotaciones sucesivas representadas por las matrices A1 y A2 se combinan fácilmente como elementos de un grupo (nótese el orden, ya _{que el vector que} se rota se multiplica desde la derecha). $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}}$$

La facilidad con la que se pueden rotar vectores utilizando una matriz de rotación, así como la facilidad de combinar rotaciones sucesivas, hacen que la matriz de rotación sea una forma útil y popular de representar rotaciones, aunque sea menos concisa que otras representaciones.

Eje y ángulo de Euler (vector de rotación)

Una visualización de una rotación representada por un eje y un ángulo de Euler.

Del teorema de rotación de Euler sabemos que cualquier rotación puede expresarse como una única rotación alrededor de un eje. El eje es el vector unitario (único salvo por el signo) que permanece inalterado por la rotación. La magnitud del ángulo también es única, y su signo está determinado por el signo del eje de rotación.

El eje se puede representar como un vector unitario tridimensional y el ángulo mediante un escalar θ . $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

Como el eje está normalizado, solo tiene dos grados de libertad . El ángulo añade el tercer grado de libertad a esta representación de rotación.

Se puede desear expresar la rotación como un vector de rotación , o vector de Euler , un vector tridimensional no normalizado cuya dirección especifica el eje y cuya longitud es θ , $${\displaystyle \mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.}$$

El vector de rotación es útil en algunos contextos, ya que representa una rotación tridimensional con solo tres valores escalares (sus componentes), que representan los tres grados de libertad. Esto también es válido para representaciones basadas en secuencias de tres ángulos de Euler (ver más abajo).

Si el ángulo de rotación θ es cero, el eje no está definido de forma única. La combinación de dos rotaciones sucesivas, cada una representada por un eje y un ángulo de Euler, no es sencilla y, de hecho, no satisface la ley de la adición de vectores, que demuestra que las rotaciones finitas no son realmente vectores. Es mejor emplear la matriz de rotación o la notación de cuaternión, calcular el producto y luego convertir de nuevo a eje y ángulo de Euler.

Rotaciones de Euler

Rotaciones de Euler de la Tierra. Intrínseca (verde), precesión (azul) y nutación (rojo)

La idea detrás de las rotaciones de Euler es dividir la rotación completa del sistema de coordenadas en tres rotaciones constitutivas más simples, llamadas precesión , nutación y rotación intrínseca , siendo cada una de ellas un incremento en uno de los ángulos de Euler . Observe que la matriz externa representará una rotación alrededor de uno de los ejes del marco de referencia, y la matriz interna representa una rotación alrededor de uno de los ejes del marco móvil. La matriz del medio representa una rotación alrededor de un eje intermedio llamado línea de nodos .

Sin embargo, la definición de los ángulos de Euler no es única y en la literatura se utilizan muchas convenciones diferentes. Estas convenciones dependen de los ejes sobre los que se realizan las rotaciones y de su secuencia (ya que las rotaciones sobre una esfera no son conmutativas ).

La convención que se utiliza se indica normalmente especificando los ejes sobre los que tienen lugar las rotaciones consecutivas (antes de ser compuestas), haciendo referencia a ellos por el índice (1, 2, 3) o la letra (X, Y, Z) . Las comunidades de ingeniería y robótica suelen utilizar ángulos de Euler 3-1-3. Observe que después de componer las rotaciones independientes, ya no giran sobre su eje. La matriz más externa gira las otras dos, dejando la segunda matriz de rotación sobre la línea de nodos y la tercera en un marco que se mueve con el cuerpo. Hay 3 × 3 × 3 = 27 combinaciones posibles de tres rotaciones básicas, pero solo 3 × 2 × 2 = 12 de ellas se pueden utilizar para representar rotaciones 3D arbitrarias como ángulos de Euler. Estas 12 combinaciones evitan rotaciones consecutivas alrededor del mismo eje (como XXY), lo que reduciría los grados de libertad que se pueden representar.

Por lo tanto, los ángulos de Euler nunca se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo rotado que se mueve en paralelo, sino en una combinación. Se utilizan otras convenciones (por ejemplo, matriz de rotación o cuaterniones ) para evitar este problema.

En aviación, la orientación de la aeronave se expresa generalmente como ángulos intrínsecos de Tait-Bryan siguiendo la convención z - y ′ - x ″ , que se denominan rumbo , elevación e inclinación (o, sinónimamente, guiñada , cabeceo y balanceo ).

Cuaterniones

Los cuaterniones , que forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones , han demostrado ser muy útiles para representar rotaciones debido a varias ventajas sobre las otras representaciones mencionadas en este artículo.

Una representación cuaternial de la rotación se escribe como un versor (cuaternión normalizado): $${\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

La definición anterior almacena el cuaternión como una matriz siguiendo la convención utilizada en (Wertz 1980) y (Markley 2003). Una definición alternativa, utilizada por ejemplo en (Coutsias 1999) y (Schmidt 2001), define el término "escalar" como el primer elemento del cuaternión, con los demás elementos desplazados una posición hacia abajo.

En términos del eje de Euler $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

y el ángulo θ los componentes de este versor se expresan de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

La inspección muestra que la parametrización del cuaternión obedece la siguiente restricción: $${\displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$$

El último término (en nuestra definición) a menudo se denomina término escalar, que tiene su origen en los cuaterniones cuando se entiende como la extensión matemática de los números complejos, escritos como y donde { i , j , k } son los números hipercomplejos que satisfacen $${\displaystyle a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=&-kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{array}}}$$

La multiplicación de cuaterniones, que se utiliza para especificar una rotación compuesta , se realiza de la misma manera que la multiplicación de números complejos , excepto que se debe tener en cuenta el orden de los elementos, ya que la multiplicación no es conmutativa. En notación matricial, podemos escribir la multiplicación de cuaterniones como $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}&-q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\;\,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\\{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_{k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

Por lo tanto, combinar dos rotaciones de cuaterniones consecutivas es tan sencillo como utilizar la matriz de rotación. De la misma manera que se combinan dos matrices de rotación sucesivas, A ₁ seguida de A ₂ , podemos representar esto con parámetros de cuaterniones de una manera concisa similar: $${\displaystyle \mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1},}$$ $${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}}$$

Los cuaterniones son una parametrización muy popular debido a las siguientes propiedades:

• Más compacta que la representación matricial y menos susceptible a errores de redondeo.
• Los elementos cuaterniones varían continuamente sobre la esfera unitaria en ℝ ⁴ , (denotado por S ³ ) a medida que cambia la orientación, evitando saltos discontinuos (inherentes a las parametrizaciones tridimensionales).
• La expresión de la matriz de rotación en términos de parámetros de cuaternión no implica funciones trigonométricas.
• Es sencillo combinar dos rotaciones individuales representadas como cuaterniones utilizando un producto de cuaterniones.

Al igual que las matrices de rotación, los cuaterniones a veces deben renormalizarse debido a errores de redondeo, para asegurarse de que corresponden a rotaciones válidas. Sin embargo, el costo computacional de renormalizar un cuaternión es mucho menor que el de normalizar una matriz de 3 × 3 .

Los cuaterniones también capturan el carácter espinorial de las rotaciones en tres dimensiones. Para un objeto tridimensional conectado a su entorno (fijo) por cuerdas o bandas flojas, las cuerdas o bandas se pueden desenredar después de dos vueltas completas sobre algún eje fijo desde un estado desenredado inicial. Algebraicamente, el cuaternión que describe tal rotación cambia de un escalar +1 (inicialmente), a través de valores (escalares + pseudovector) a escalar −1 (en una vuelta completa), a través de valores (escalares + pseudovector) nuevamente a escalar +1 (en dos vueltas completas). Este ciclo se repite cada 2 vueltas. Después de 2 n vueltas (entero n > 0 ), sin ningún intento intermedio de desenredado, las cuerdas/bandas se pueden desenredar parcialmente de regreso al estado de 2( n − 1) vueltas con cada aplicación del mismo procedimiento utilizado para desenredar de 2 vueltas a 0 vueltas. Si se aplica el mismo procedimiento n veces, un objeto enredado 2 n volverá al estado desenredado o de giro 0. El proceso de desenredado también elimina cualquier torsión generada por la rotación en las cuerdas o bandas. Se pueden utilizar modelos mecánicos tridimensionales simples para demostrar estos hechos.

Vector de Rodrigues

El vector de Rodrigues (a veces llamado vector de Gibbs , con coordenadas llamadas parámetros de Rodrigues ) ^{[3] [4]} se puede expresar en términos del eje y el ángulo de rotación de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Esta representación es un análogo de dimensión superior de la proyección gnomónica , que asigna cuaterniones unitarios de una esfera tridimensional al hiperplano vectorial puro tridimensional.

Tiene una discontinuidad a 180° ( π radianes): como cualquier vector de rotación r tiende a un ángulo de π radianes, su tangente tiende a infinito.

Una rotación g seguida de una rotación f en la representación de Rodrigues tiene la forma de composición de rotación simple

${\displaystyle (\mathbf {g} ,\mathbf {f} )={\frac {\mathbf {g} +\mathbf {f} -\mathbf {f} \times \mathbf {g} }{1-\mathbf {g} \cdot \mathbf {f} }}\,.}$

Hoy en día, la forma más sencilla de demostrar esta fórmula es en la representación del doblete (fiel) , donde g = n̂ tan a , etc.

Las características combinatorias de la derivación de la matriz de Pauli que acabamos de mencionar también son idénticas a la derivación equivalente del cuaternión que aparece a continuación. Construya un cuaternión asociado con una rotación espacial R como, Entonces la composición de la rotación R _B con R _A es la rotación R _C = R _B R _A , con eje y ángulo de rotación definidos por el producto de los cuaterniones, es decir $${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$$ $${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$$ $${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$$

Expande este producto cuaternion a $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$$

Divida ambos lados de esta ecuación por la identidad resultante de la anterior y evalúe $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$$

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.}$

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de una rotación compuesta definida en términos de los ejes de las dos rotaciones componentes. Derivó esta fórmula en 1840 (ver página 408). ^[3] Los tres ejes de rotación A , B y C forman un triángulo esférico y los ángulos diedros entre los planos formados por los lados de este triángulo están definidos por los ángulos de rotación.

Los parámetros de Rodrigues modificados (MRP) se pueden expresar en términos de eje y ángulo de Euler mediante Sus componentes se pueden expresar en términos de los componentes de un cuaternión unitario que representa la misma rotación que $${\displaystyle \mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.}$$ $${\displaystyle p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.}$$

El vector de Rodrigues modificado es una proyección estereográfica que proyecta cuaterniones unitarios de una esfera tridimensional sobre el hiperplano tridimensional de vector puro. La proyección del cuaternión opuesto − q da como resultado un vector de Rodrigues modificado p ^s diferente de la proyección del cuaternión original q . Comparando los componentes se obtiene que Cabe destacar que, si uno de estos vectores se encuentra dentro de la esfera tridimensional, el otro se encontrará fuera. $${\displaystyle p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.}$$

Parámetros de Cayley-Klein

Ver definición en Wolfram Mathworld.

Análogos de dimensiones superiores

Ley de transformación de vectores

Las rotaciones activas de un vector 3D p en el espacio euclidiano alrededor de un eje n sobre un ángulo η se pueden escribir fácilmente en términos de productos puntuales y vectoriales de la siguiente manera:

$${\displaystyle \mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$donde es el componente longitudinal de p a lo largo de n , dado por el producto escalar , es el componente transversal de p con respecto a n , y $${\displaystyle p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$

es el producto vectorial de p por n .

La fórmula anterior muestra que el componente longitudinal de p permanece invariable, mientras que la parte transversal de p se rota en el plano perpendicular a n . Este plano está abarcado por la parte transversal de p y una dirección perpendicular tanto a p como a n . La rotación se puede identificar directamente en la ecuación como una rotación 2D sobre un ángulo η .

Las rotaciones pasivas se pueden describir con la misma fórmula, pero con un signo inverso de η o n .

Fórmulas de conversión entre formalismos

Matriz de rotación ↔ ángulos de Euler

Los ángulos de Euler ( φ , θ , ψ ) se pueden extraer de la matriz de rotación A inspeccionando la matriz de rotación en forma analítica.

Matriz de rotación → Ángulos de Euler (z - x - zextrínseco)

Utilizando la convención x , los ángulos de Euler extrínsecos 3-1-3 φ , θ y ψ (alrededor del eje z , el eje x y nuevamente el eje ) se pueden obtener de la siguiente manera: ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right)\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que atan2( a , b ) es equivalente a arctan ⁠a/b⁠ donde también tiene en cuenta el cuadrante en el que se encuentrael punto ( b , a ) ; ver atan2 .

A la hora de realizar la conversión hay que tener en cuenta varias situaciones: ^[5]

• Generalmente hay dos soluciones en el intervalo [− π , π ] ³ . La fórmula anterior funciona solo cuando θ está dentro del intervalo [0, π ] .
• Para el caso especial A ₃₃ = 0 , φ y ψ se derivarán de A ₁₁ y A ₁₂ .
• Hay infinitas pero enumerables soluciones fuera del intervalo [− π , π ] ³ .
• Si todas las soluciones matemáticas son aplicables a una aplicación determinada depende de la situación.

Ángulos de Euler (z - y ′ - x ″intrínseco) → matriz de rotación

La matriz de rotación A se genera a partir de los ángulos de Euler intrínsecos 3-2-1 multiplicando las tres matrices generadas por rotaciones sobre los ejes. $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X}}$$

Los ejes de rotación dependen de la convención específica que se utilice. Para la convención x, las rotaciones se realizan sobre los ejes x , y y z con ángulos ϕ , θ y ψ ; las matrices individuales son las siguientes: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Esto produce Nota: Esto es válido para un sistema de mano derecha , que es la convención utilizada en casi todas las disciplinas de ingeniería y física. $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}$$

La interpretación de estas matrices de rotación de mano derecha es que expresan transformaciones de coordenadas ( pasivas ) en oposición a transformaciones de puntos ( activas ). Debido a que A expresa una rotación desde el marco local 1 al marco global 0 (es decir, A codifica los ejes del marco 1 con respecto al marco 0 ), las matrices de rotación elementales se componen como se indicó anteriormente. Debido a que la rotación inversa es simplemente la rotación transpuesta, si quisiéramos la rotación global a local desde el marco 0 al marco 1 , escribiríamos $${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} _{X}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Y}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Z}^{\mathsf {T}}\,.}$$

Matriz de rotación ↔ eje/ángulo de Euler

Si el ángulo de Euler θ no es un múltiplo de π , el eje de Euler ê y el ángulo θ se pueden calcular a partir de los elementos de la matriz de rotación A de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }}\\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

Alternativamente, se puede utilizar el siguiente método:

La descomposición propia de la matriz de rotación produce los valores propios 1 y cos θ ± i sen θ . El eje de Euler es el vector propio correspondiente al valor propio de 1, y θ se puede calcular a partir de los valores propios restantes.

El eje de Euler también se puede encontrar utilizando la descomposición en valores singulares, ya que es el vector normalizado que abarca el espacio nulo de la matriz I − A .

Para convertir en el sentido inverso, la matriz de rotación correspondiente a un eje de Euler ê y un ángulo θ se puede calcular de acuerdo con la fórmula de rotación de Rodrigues (con la modificación apropiada) de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta }$$

con I ₃ la matriz identidad de 3 × 3 , y $${\displaystyle \left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&-e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}}$$

es la matriz de productos cruzados .

Esto se expande a: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_{31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{aligned}}}$$

Matriz de rotación ↔ cuaternión

Al calcular un cuaternión a partir de la matriz de rotación hay una ambigüedad de signo, ya que q y − q representan la misma rotación.

Una forma de calcular el cuaternión a partir de la matriz de rotación A es la siguiente: $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_{i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{12}\right)\end{aligned}}}$$

Existen otras tres formas matemáticamente equivalentes de calcular q . La inexactitud numérica se puede reducir evitando situaciones en las que el denominador esté cerca de cero. Uno de los otros tres métodos es el siguiente: ^{[6] [7]} $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

La matriz de rotación correspondiente al cuaternión q se puede calcular de la siguiente manera: donde lo que da $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} }}\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}+2q_{r}\mathbf {\mathcal {Q}} }$$ $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}}$$

o equivalentemente $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Esta se llama fórmula de Euler-Rodrigues para la matriz de transformación. ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Ángulos de Euler ↔ cuaternión

Ángulos de Euler (z - x - zextrínseco) → cuaternión

Consideraremos los ángulos de Euler extrínsecos de la convención x 3-1-3 para el siguiente algoritmo. Los términos del algoritmo dependen de la convención utilizada.

Podemos calcular el cuaternión a partir de los ángulos de Euler ( ϕ , θ , ψ ) de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\cos {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=\sin {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=\sin {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

Ángulos de Euler (z - y ′ - x ″intrínseco) → cuaternión

Un cuaternión equivalente a los ángulos de guiñada ( ψ ), cabeceo ( θ ) y balanceo ( ϕ ), o ángulos intrínsecos de Tait-Bryan siguiendo la convención z - y ′ - x ″ , se puede calcular mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}-\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{j}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{k}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}-\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\end{aligned}}}$$

Cuaternión → Ángulos de Euler (z - x - zextrínseco)

Dado el cuaternión de rotación, los ángulos de Euler extrínsecos de la convención x 3-1-3 ( φ , θ , ψ ) se pueden calcular mediante $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right),-\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\right)\\\theta &=\arccos \left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}\right)\\\psi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right),\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)\right)\end{aligned}}}$$

Cuaternión → Ángulos de Euler (z - y ′ - x ″intrínseco)

Dados los ángulos de guiñada , cabeceo y balanceo del cuaternión de rotación, o los ángulos de Tait-Bryan intrínsecos que siguen la convención z - y ′ - x ″ , se pueden calcular mediante $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{roll}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}\right),1-2\left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}\right)\right)\\{\text{pitch}}&=\arcsin \left(2\left(q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}\right)\right)\\{\text{yaw}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{k}+q_{i}q_{j}\right),1-2\left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}\right)\right)\end{aligned}}}$$

Eje de Euler–ángulo ↔ cuaternión

Dado el eje de Euler ê y el ángulo θ , el cuaternión $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

se puede calcular mediante $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

Dado el cuaternión de rotación q , defina Entonces el eje de Euler ê y el ángulo θ se pueden calcular mediante $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{aligned}}}$$

Matriz de rotación ↔ vector de Rodrigues

Vector de Rodrigues → Matriz de rotación

Dado que la definición del vector de Rodrigues se puede relacionar con los cuaterniones de rotación: Haciendo uso de la siguiente propiedad La fórmula se puede obtener factorizando q $${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}={\dfrac {q_{i}}{q_{r}}}=e_{x}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\g_{j}={\dfrac {q_{j}}{q_{r}}}=e_{y}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\g_{k}={\dfrac {q_{k}}{q_{r}}}=e_{z}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end{cases}}}$$ $${\displaystyle 1=q_{r}^{2}+q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}=q_{r}^{2}\left(1+{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}\right)=q_{r}^{2}\left(1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\right)}$$²
_rde la expresión final obtenida para los cuaterniones:

${\displaystyle \mathbf {A} =q_{r}^{2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}-{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\right)&2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}+{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\right)&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Llegando a la fórmula final:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}}}{\begin{bmatrix}1+g_{i}^{2}-g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{i}g_{j}-g_{k}\right)&2\left(g_{i}g_{k}+g_{j}\right)\\2\left(g_{i}g_{j}+g_{k}\right)&1-g_{i}^{2}+g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{j}g_{k}-g_{i}\right)\\2\left(g_{i}g_{k}-g_{j}\right)&2\left(g_{j}g_{k}+g_{i}\right)&1-g_{i}^{2}-g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\end{bmatrix}}}$

Fórmulas de conversión para derivadas

Matriz de rotación ↔ velocidades angulares

El vector de velocidad angular se puede extraer de la derivada temporal de la matriz de rotación . $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$El A/el o⁠ por la siguiente relación: $${\displaystyle [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$$

La derivación está adaptada de Ioffe ^[8] de la siguiente manera:

Para cualquier vector r ₀ , considere r ( t ) = A ( t ) r ₀ y diferéncialo: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathrm {r} (t)}$$

La derivada de un vector es la velocidad lineal de su punta. Como A es una matriz de rotación, por definición la longitud de r ( t ) es siempre igual a la longitud de r ₀ , y por lo tanto no cambia con el tiempo. Por lo tanto, cuando r ( t ) gira, su punta se mueve a lo largo de un círculo, y la velocidad lineal de su punta es tangente al círculo; es decir, siempre perpendicular a r ( t ) . En este caso específico, la relación entre el vector de velocidad lineal y el vector de velocidad angular es (ver movimiento circular y producto vectorial ). $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

Por la transitividad de las ecuaciones antes mencionadas, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

Lo que implica $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }}$$

Cuaternión ↔ velocidades angulares

El vector de velocidad angular se puede obtener a partir de la derivada del cuaternión . $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$que​/el o⁠ de la siguiente manera: ^[9] donde q̃ es el conjugado (inverso) de q . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}}$$

Por el contrario, la derivada del cuaternión es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.}$$

Rotores en un álgebra geométrica

El formalismo del álgebra geométrica (AG) proporciona una extensión e interpretación del método de los cuaterniones. El producto geométrico de vectores es central para el AG, una extensión de los productos internos y cruzados tradicionales , dados por $${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$$

donde el símbolo ∧ denota el producto exterior o producto cuña . Este producto de los vectores a y b produce dos términos: una parte escalar del producto interior y una parte bivectorial del producto cuña. Este bivector describe el plano perpendicular al que devolvería el producto vectorial de los vectores.

Los bivectores en AG tienen algunas propiedades inusuales en comparación con los vectores. Bajo el producto geométrico, los bivectores tienen un cuadrado negativo: el bivector x̂ŷ describe el plano xy . Su cuadrado es ( x̂ŷ ) ² = x̂ŷx̂ŷ . Debido a que los vectores base unitarios son ortogonales entre sí, el producto geométrico se reduce al producto externo antisimétrico, por lo que x̂ y ŷ se pueden intercambiar libremente al costo de un factor de −1. El cuadrado se reduce a − x̂x̂ŷŷ = −1 ya que los propios vectores base elevan al cuadrado a +1.

Este resultado se cumple en general para todos los bivectores y, como resultado, el bivector desempeña un papel similar al de la unidad imaginaria . El álgebra geométrica utiliza bivectores en su análogo al cuaternión, el rotor , dado por donde B̂ es un bivector unitario que describe el plano de rotación . Debido a que B̂ eleva al cuadrado a −1, la expansión en serie de potencias de R genera las funciones trigonométricas . La fórmula de rotación que asigna un vector a a un vector rotado b es entonces donde es el inverso de (invertir el orden de los vectores en es equivalente a cambiar su signo). $${\displaystyle \mathbf {R} =\exp \left({\frac {-{\hat {\mathbf {B} }}\theta }{2}}\right)=\cos {\frac {\theta }{2}}-{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {RaR} ^{\dagger }}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} ^{\dagger }=\exp \left({\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}\theta \right)=\cos {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}}$$ ${\displaystyle \scriptstyle R}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplo. Se puede lograr una rotación sobre el eje convirtiendo v̂ en su bivector dual, donde i = x̂ŷẑ es el elemento de volumen unitario, el único trivector (pseudoescalar) en el espacio tridimensional. El resultado es $${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {z} }}\right)}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}={\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {i} {\hat {\mathbf {v} }}\,,}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}+{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}\right)\,.}$$

Sin embargo, en el espacio tridimensional, suele ser más sencillo dejar la expresión para B̂ = iv̂ , utilizando el hecho de que i conmuta con todos los objetos en 3D y también eleva al cuadrado −1. Una rotación del vector x̂ en este plano por un ángulo θ es entonces

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} ^{\dagger }=e^{-i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}{\hat {\mathbf {x} }}e^{i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\mathbf {i} \left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$$

Reconocer que y que − v̂x̂v̂ es la reflexión de x̂ sobre el plano perpendicular a v̂ da una interpretación geométrica a la operación de rotación: la rotación conserva los componentes que son paralelos a v̂ y cambia solo aquellos que son perpendiculares. Luego se calculan los términos: $${\displaystyle \mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }})=2\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }})}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}&={\frac {1}{3}}\left(-{\hat {\mathbf {x} }}+2{\hat {\mathbf {y} }}+2{\hat {\mathbf {z} }}\right)\\2\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }}&=2\mathbf {i} {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {z} }}\right)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\hat {\mathbf {z} }}\right)\end{aligned}}}$$

El resultado de la rotación es entonces $${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}'={\hat {\mathbf {x} }}\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}-{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$$

Una comprobación sencilla de este resultado es el ángulo θ = ⁠2/3⁠ π . Tal rotación debería asignar x̂ a ŷ . De hecho, la rotación se reduce a $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&={\hat {\mathbf {x} }}\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{3}}{\frac {3}{4}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)\\&=0{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+0{\hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

Exactamente como se esperaba. Esta fórmula de rotación es válida no solo para vectores sino para cualquier multivector . Además, cuando se utilizan ángulos de Euler, la complejidad de la operación se reduce mucho. Las rotaciones compuestas provienen de multiplicar los rotores, por lo que el rotor total a partir de los ángulos de Euler es pero Estos rotores vuelven a salir de los exponenciales de la siguiente manera: donde R _β se refiere a la rotación en las coordenadas originales. De manera similar para la rotación γ , Observando que R _γ y R _α conmutan (las rotaciones en el mismo plano deben conmutar), y el rotor total se convierte en $${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{\gamma '}\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\alpha }=\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}'\gamma }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}'\beta }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}\alpha }{2}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&=\mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\quad {\text{and}}\\{\hat {\mathbf {z} }}'&=\mathbf {R} _{\beta '}{\hat {\mathbf {z} }}\mathbf {R} _{\beta '}^{\dagger }\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{\beta '}=\cos {\frac {\beta }{2}}-\mathbf {i} \mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\sin {\frac {\beta }{2}}=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{\gamma '}=\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\beta '}^{\dagger }=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }^{\dagger }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\,.}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\gamma }}$$

De este modo, las rotaciones compuestas de los ángulos de Euler se convierten en una serie de rotaciones equivalentes en el marco fijo original.

Si bien los rotores en álgebra geométrica funcionan de manera casi idéntica a los cuaterniones en tres dimensiones, el poder de este formalismo es su generalidad: este método es apropiado y válido en espacios con cualquier número de dimensiones. En 3D, las rotaciones tienen tres grados de libertad, un grado por cada plano linealmente independiente (bivector) en el que puede tener lugar la rotación. Se sabe que se pueden usar pares de cuaterniones para generar rotaciones en 4D, lo que produce seis grados de libertad, y el enfoque del álgebra geométrica verifica este resultado: en 4D, hay seis bivectores linealmente independientes que se pueden usar como generadores de rotaciones.

Véase también

• Filtro de Euler
• Orientación (geometría)
• Rotación alrededor de un eje fijo
• Operador de rotación tridimensional

Referencias

1. "Seguimiento de marcadores fiduciales para realidad aumentada".
2. Weisstein, Eric W. "Matriz de rotación". MathWorld .
3. Rodrigues, Olinde (1840). "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d'un systéme solide dans l'espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant des cause qui peuvent les produire". J. Matemáticas. Pures Appl . 5 : 380–440.en línea
4. cf. J Willard Gibbs (1884). Elementos del análisis vectorial , New Haven, pág. 67
5. Notas de clase de cinemática directa e inversa, página 5
6. Mebius, Johan (2007). "Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales a partir de la fórmula general para rotaciones tetradimensionales". arXiv : math/0701759 .
7. Shuster, Malcolm D. (1993). "Un estudio de las representaciones de actitudes" (PDF) . Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (4): 439–517.
8. [1] Física - Mark Ioffe - W ( t ) en términos de matrices
9. Notas de la clase sobre cuaterniones y rotación, pág. 14-15

Lectura adicional

• Shuster, MD (1993). "Un estudio de las representaciones de actitudes" (PDF) . Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (4): 439–517. Código Bibliográfico :1993JAnSc..41..439S.
• Taubin, G. (2011). "Rotaciones 3D". IEEE Computer Graphics and Applications . 31 (6): 84–89. doi :10.1109/MCG.2011.92. PMID  24808261.
• Coutsias, E.; Romero, L. (2004). "Los cuaterniones con aplicación a la dinámica de cuerpos rígidos". Informe técnico de Sandia . Sandia National Laboraties. SAND2004-0153.
• Markley, F. Landis (2003). "Representaciones de error de actitud para el filtrado de Kalman". Revista de orientación, control y dinámica . 26 (2): 311–7. Bibcode :2003JGCD...26..311M. doi :10.2514/2.5048. hdl : 2060/20020060647 .
• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Wertz, James R. (1980). Determinación y control de la actitud de las naves espaciales . D. Reidel . ISBN 90-277-1204-2.
• Schmidt, J.; Niemann, H. (2001). "Uso de cuaterniones para parametrizar rotaciones 3-D en optimización no lineal sin restricciones". Actas de la Conferencia de visualización y modelado de visión de 2001. Págs. 399–406. ISBN 3898380289.
• Landau, L.; Lifshitz, EM (1976). Mecánica (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 0-08-021022-8.
• Klumpp, AR (diciembre de 1976). "Extracción sin singularidad de un cuaternión a partir de una matriz de coseno de dirección". Journal of Spacecraft and Rockets . 13 (12): 754–5. Bibcode :1976JSpRo..13..754K. doi :10.2514/3.27947.
• Doran, C.; Lasenby, A. (2003). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.
• Terzakis, G.; Lourakis, M.; Ait-Boudaoud, D. (2018). "Parámetros de Rodrigues modificados: una representación eficiente de la orientación en visión y gráficos 3D". Revista de imágenes y visión matemática . 60 (3): 422–442. doi : 10.1007/s10851-017-0765-x .
• Rowenhorst, D.; Rollett, AD; Rohrer, GS; Groeber, M.; Jackson, M.; Konijnenberg, PJ; De Graef, M. (2015). "Representaciones consistentes y conversiones entre rotaciones 3D". Modelado y simulación en ciencia e ingeniería de materiales . 23 (8): 083501. Bibcode :2015MSMSE..23h3501R. doi :10.1088/0965-0393/23/8/083501. S2CID  16130878.

Enlaces externos

• EuclideanSpace tiene una gran cantidad de información sobre la representación de la rotación.
• P36. ¿Cómo genero una matriz de rotación a partir de ángulos de Euler? y P37. ¿Cómo convierto una matriz de rotación a ángulos de Euler? — Preguntas frecuentes sobre matrices y cuaterniones
• Los números imaginarios no son reales – El Álgebra Geométrica del Espacio-Tiempo – La sección “Rotaciones y Álgebra Geométrica” deriva y aplica la descripción del rotor de las rotaciones.
• Tutorial DCM de Starlino: tutorial y aplicaciones de la teoría de la matriz de coseno de dirección. Algoritmo de estimación de la orientación espacial mediante dispositivos IMU de acelerómetro, giroscopio y magnetómetro. Uso de un filtro complementario (alternativa popular al filtro de Kalman) con la matriz DCM.