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Geometría algebraica real

En matemáticas , la geometría algebraica real es la subrama de la geometría algebraica que estudia los conjuntos algebraicos reales , es decir, soluciones de números reales a ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales y aplicaciones entre ellas (en particular, aplicaciones polinomiales reales).

La geometría semialgebraica es el estudio de los conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales, y aplicaciones entre ellas. Las aplicaciones más naturales entre conjuntos semialgebraicos son las aplicaciones semialgebraicas, es decir, aplicaciones cuyos gráficos son conjuntos semialgebraicos.

Terminología

En la actualidad, las palabras «geometría semialgebraica» y «geometría algebraica real» se utilizan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no necesita ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . [1] [2] Campos relacionados son la teoría o-minimal y la geometría analítica real .

Ejemplos: Las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Las funciones algebraicas reales y las funciones de Nash son ejemplos de aplicaciones semialgebraicas. Las aplicaciones polinómicas por partes (véase la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son aplicaciones semialgebraicas.

La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica real (y semialgebraica). El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para dividir conjuntos semialgebraicos en partes precisas y calcular sus proyecciones.

El álgebra real es la parte del álgebra que es relevante para la geometría algebraica real (y semialgebraica). Se ocupa principalmente del estudio de cuerpos ordenados y anillos ordenados (en particular cuerpos cerrados reales ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Véase el problema 17 de Hilbert y Positivestellensatz de Krivine .) La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Los campos relacionados son la teoría de problemas de momento , la optimización convexa , la teoría de formas cuadráticas , la teoría de valoración y la teoría de modelos .

Cronología del álgebra real y de la geometría algebraica real

Referencias

Notas

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