La afinación pitagórica es un sistema de afinación musical en el que las relaciones de frecuencia de todos los intervalos se basan en la relación 3:2 . [2] Esta relación, también conocida como quinta justa " pura ", se elige porque es una de las más consonantes y más fáciles de afinar de oído y por la importancia atribuida al número entero 3. Como dijo Novalis , "La relación musical "Las proporciones me parecen proporciones naturales especialmente correctas." [3] Alternativamente, puede describirse como la afinación del temperamento sintónico [1] en el que el generador es la proporción 3:2 (es decir, la quinta perfecta sin temperar ), que tiene ≈ 702 cents de ancho.
El sistema data de la antigua Mesopotamia; [4] ver Música de Mesopotamia § Teoría musical . El sistema recibe el nombre, y ha sido ampliamente atribuido erróneamente, a los antiguos griegos , en particular a Pitágoras (siglo VI a. C.) por los autores modernos de teoría musical, mientras que Ptolomeo , y más tarde Boecio , atribuyeron la división del tetracordio en sólo dos intervalos, llamados "semitonio". ", "tonus", "tonus" en latín (256:243 × 9:8 × 9:8), a Eratóstenes . La llamada "afinación pitagórica" fue utilizada por los músicos hasta principios del siglo XVI. "El sistema pitagórico parecería ideal debido a la pureza de las quintas, pero algunos consideran que otros intervalos, particularmente la tercera mayor, están tan desafinados que los acordes mayores [pueden considerarse] una disonancia". [2]
La escala pitagórica es cualquier escala que pueda construirse únicamente a partir de quintas perfectas puras (3:2) y octavas (2:1). [5] En la música griega se utilizaba para afinar tetracordios , que se componían en escalas que abarcaban una octava. [6] Se puede hacer una distinción entre la afinación pitagórica extendida y un temperamento pitagórico de 12 tonos. La afinación pitagórica extendida se corresponde 1 a 1 con la notación musical occidental y no hay límite para el número de quintas. Sin embargo, en el temperamento pitagórico de 12 tonos uno está limitado a 12 tonos por octava y no se puede tocar la mayor parte de la música según el sistema pitagórico correspondiente a la notación enarmónica; en cambio, uno se encuentra con que, por ejemplo, la sexta disminuida se convierte en una "quinta lobo".
El temperamento pitagórico de 12 tonos se basa en una pila de intervalos llamados quintas perfectas, cada uno de ellos afinado en la proporción 3:2, la siguiente proporción más simple después de 2:1. A partir de D, por ejemplo ( afinación basada en D ), se producen otras seis notas moviéndolas seis veces en una proporción de 3:2 hacia arriba, y las restantes moviendo la misma proporción hacia abajo:
Esta sucesión de once intervalos 3:2 abarca una amplia gama de frecuencias (en el teclado de un piano , abarca 77 teclas). Dado que las notas que difieren en frecuencia por un factor de 2 se perciben como similares y reciben el mismo nombre ( equivalencia de octava ), se acostumbra dividir o multiplicar las frecuencias de algunas de estas notas por 2 o por una potencia de 2. El propósito de este ajuste es para mover las 12 notas dentro de un rango de frecuencia más pequeño, es decir, dentro del intervalo entre la nota base D y la D encima de ella (una nota con el doble de su frecuencia). Este intervalo suele denominarse octava básica (en el teclado de un piano, una octava tiene sólo 12 teclas). Esto se remonta a la antigüedad: en la antigua Mesopotamia, en lugar de apilar quintas, la afinación se basaba en la alternancia de quintas ascendentes y cuartas descendentes (igual a una quinta ascendente seguida de una octava descendente), lo que daba como resultado que las notas de una escala pentatónica o heptatónica cayeran dentro de una octava.
Por ejemplo, A está sintonizado de manera que su frecuencia sea igual a 3/2 veces la frecuencia de D; si D está sintonizado a una frecuencia de 288 Hz , entonces A está sintonizado a 432 Hz. De manera similar, el E encima de A está sintonizado de manera que su frecuencia sea igual a 3/2 veces la frecuencia de A, o 9/4 veces la frecuencia de D; con A a 432 Hz, esto coloca a E a 648 Hz. Dado que este Mi está fuera de la octava básica antes mencionada (es decir, su frecuencia es más del doble de la frecuencia de la nota base Re), es habitual reducir su frecuencia a la mitad para moverla dentro de la octava básica. Por lo tanto, E está sintonizado a 324 Hz, un 9/8 (= un epogdoon ) por encima de D. El B a 3/2 por encima de E está sintonizado en la proporción 27:16 y así sucesivamente. Comenzando desde el mismo punto y trabajando en sentido contrario, G se sintoniza como 3/2 por debajo de D, lo que significa que se le asigna una frecuencia igual a 2/3 veces la frecuencia de D; con D a 288 Hz, esto coloca a G en 192. Hz. Luego, esta frecuencia se duplica (a 384 Hz) para llevarla a la octava básica.
Sin embargo, al ampliar esta afinación, surge un problema: ninguna pila de intervalos 3:2 (quintas perfectas) encajará exactamente en ninguna pila de intervalos 2:1 (octavas). Por ejemplo, una pila como esta, que se obtiene añadiendo una nota más a la pila que se muestra arriba.
será similar pero no idéntico en tamaño a una pila de 7 octavas. Más exactamente, será aproximadamente un cuarto de semitono más grande, lo que se denomina coma pitagórica . Por lo tanto, A ♭ y G ♯ , cuando se llevan a la octava básica, no coincidirán como se esperaba. La siguiente tabla ilustra esto, mostrando para cada nota en la octava básica el nombre convencional del intervalo desde C (la nota base), la fórmula para calcular su relación de frecuencia, su tamaño en cents y la diferencia en cents (etiquetada como 12- TET-dif en la tabla) entre su tamaño y el tamaño del correspondiente en la escala igualmente templada.
En las fórmulas, las proporciones 3:2 o 2:3 representan una quinta perfecta ascendente o descendente (es decir, un aumento o disminución de la frecuencia en una quinta perfecta, mientras que 2:1 o 1:2 representan una octava ascendente o descendente). Las fórmulas también se pueden expresar en términos de potencias del tercer y segundo armónico .
La escala mayor basada en C, obtenida de esta afinación es: [7]
En temperamento igual, los pares de notas enarmónicas como A ♭ y G ♯ se consideran exactamente la misma nota; sin embargo, como indica la tabla anterior, en la afinación pitagórica tienen diferentes proporciones con respecto a D, lo que significa que están en una frecuencia diferente. Esta discrepancia, de aproximadamente 23,46 centésimas, o casi un cuarto de semitono, se conoce como coma pitagórica .
Para solucionar este problema, la afinación pitagórica construye sólo doce notas como antes, con once quintas entre ellas. Por ejemplo, se pueden utilizar sólo las 12 notas de E ♭ a G ♯ . Esto, como se muestra arriba, implica que sólo se utilizan once quintas para construir toda la escala cromática. El intervalo restante (la sexta disminuida de G ♯ a E ♭ ) queda muy desafinado, lo que significa que cualquier música que combine esas dos notas no se puede reproducir en esta afinación. Un intervalo muy desafinado como este se conoce como intervalo de lobo . En el caso de la afinación pitagórica, todas las quintas tienen un ancho de 701,96 centésimas, en la proporción exacta de 3:2, excepto la quinta del lobo, que tiene sólo 678,49 centésimas de ancho, casi un cuarto de semitono más bemol .
Si es necesario tocar juntas las notas G ♯ y E ♭ , se puede cambiar la posición de la quinta del lobo. Por ejemplo, una afinación pitagórica basada en C produciría una pila de quintas que van desde D ♭ hasta F ♯ , lo que convierte a F ♯ -D ♭ en el intervalo de lobo. Sin embargo, siempre habrá una quinta de lobo en la afinación pitagórica, lo que hace imposible tocar todas las tonalidades afinadas.
La tabla anterior muestra solo intervalos de D. Sin embargo, se pueden formar intervalos comenzando con cada una de las 12 notas enumeradas anteriormente. Así, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo (doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos compuestos por 2 semitonos, doce intervalos compuestos por 3 semitonos, etc.).
Como se ha explicado anteriormente, uno de los doce quintos (el quinto del lobo) tiene un tamaño diferente respecto a los otros once. Por una razón similar, cada uno de los demás tipos de intervalos, excepto los unísonos y las octavas, tiene dos tamaños diferentes en la afinación pitagórica. Éste es el precio que se paga por buscar una entonación justa . Las tablas de la derecha y de abajo muestran sus relaciones de frecuencia y sus tamaños aproximados en centavos. Los nombres de los intervalos se dan en su forma abreviada estándar. Por ejemplo, el tamaño del intervalo de D a A, que es una quinta justa ( P5 ), se puede encontrar en la séptima columna de la fila denominada D. Los intervalos estrictamente justos (o puros) se muestran en negrita . Los intervalos de Wolf están resaltados en rojo. [8]
La razón por la cual los tamaños de los intervalos varían a lo largo de la escala es que los tonos que forman la escala están espaciados de manera desigual. Es decir, las frecuencias definidas por construcción para las doce notas determinan dos semitonos diferentes (es decir, intervalos entre notas adyacentes):
Por el contrario, en una escala cromática igualmente templada , por definición los doce tonos están igualmente espaciados, teniendo todos los semitonos un tamaño de exactamente
Como consecuencia, todos los intervalos de cualquier tipo dado tienen el mismo tamaño (por ejemplo, todas las terceras mayores tienen el mismo tamaño, todas las quintas tienen el mismo tamaño, etc.). El precio que se paga, en este caso, es que ninguno de ellos está justamente afinado y perfectamente consonante, salvo, claro está, el unísono y la octava.
Por definición, en la afinación pitagórica, 11 quintas perfectas ( P5 en la tabla) tienen un tamaño de aproximadamente 701,955 centavos (700+ε centavos, donde ε ≈ 1,955 centavos). Dado que el tamaño medio de los 12 quintos debe ser igual a exactamente 700 centavos (como en el temperamento igual), el otro debe tener un tamaño de 700 − 11 ε centavos, lo que equivale aproximadamente a 678,495 centavos (el quinto del lobo). Como se muestra en la tabla, este último intervalo, aunque enarmónicamente equivalente a una quinta, se llama más propiamente sexta disminuida ( d6 ). Similarmente,
En resumen, se observan diferencias similares en ancho para todos los tipos de intervalos, excepto para los unísonos y las octavas, y todos son múltiplos de ε , la diferencia entre la quinta pitagórica y la quinta promedio.
Como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12 ε (≈ 23,460) centésimas más estrecho o más ancho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, el d6 (o quinto lobo) es 12 ε centavos más estrecho que cada P5, y cada A2 es 12 ε centavos más ancho que cada m3. Este intervalo de tamaño 12 ε se conoce como coma pitagórica , exactamente igual al opuesto de un segundo disminuido (≈ −23,460 centavos). Esto implica que ε también puede definirse como una doceava parte de una coma pitagórica.
Cuatro de los intervalos mencionados anteriormente reciben un nombre específico en la afinación pitagórica. En la siguiente tabla, se proporcionan estos nombres específicos, junto con nombres alternativos utilizados genéricamente para algunos otros intervalos. La coma pitagórica no coincide con el segundo disminuido, ya que su tamaño (524288:531441) es el recíproco del segundo disminuido pitagórico (531441:524288). También el ditono y el semiditono son específicos de la afinación pitagórica, mientras que el tono y el tritono se utilizan genéricamente para todos los sistemas de afinación. A pesar de su nombre, un semitono (3 semitonos, o alrededor de 300 cents) difícilmente puede considerarse como la mitad de un ditono (4 semitonos, o alrededor de 400 cents). Todos los intervalos con prefijo sesqui- están justamente afinados, y su relación de frecuencias , que se muestra en la tabla, es un número superparticular (o relación epimórica). Lo mismo ocurre con la octava.
El sistema data de la antigua Mesopotamia, [4] y consistía en alternar quintas ascendentes y cuartas descendentes; ver Música de Mesopotamia § Teoría musical . Dentro de la música griega antigua, los autores modernos de teoría musical habían atribuido el sistema principalmente a Pitágoras (que vivió alrededor del año 500 a. C.); Los antiguos griegos tomaron prestada gran parte de su teoría musical de Mesopotamia, incluida la escala diatónica, la afinación pitagórica y los modos. La escala china Shí-èr-lǜ utiliza los mismos intervalos que la escala pitagórica y se inventó entre el 600 a. C. y el 240 d. C. [2] [9]
Debido al intervalo de lobo cuando se usa un temperamento pitagórico de 12 tonos, esta afinación rara vez se usa hoy en día, aunque se cree que estaba muy extendida. En música que no cambia de tono muy a menudo, o que no es muy aventurera armónicamente , el intervalo de lobo probablemente no sea un problema, ya que no se escucharán todas las quintas posibles en tales piezas. En la afinación pitagórica extendida no existe el intervalo de lobo, todas las quintas perfectas son exactamente 3:2.
Debido a que la mayoría de las quintas en el temperamento pitagórico de 12 tonos están en una proporción simple de 3:2, suenan muy "suaves" y consonantes. Las terceras, por el contrario, la mayoría de las cuales están en proporciones relativamente complejas de 81:64 (para terceras mayores) y 32:27 (para terceras menores), suenan menos suaves según el instrumento. [10]
Desde aproximadamente 1510 en adelante, cuando las terceras pasaron a ser tratadas como consonancias, el temperamento de mediostonos , y en particular el mediotono de cuarto de coma , que afina las terceras en una proporción relativamente simple de 5:4 , se convirtió en el sistema más popular para afinar teclados. Al mismo tiempo, la entonación justa sintónico-diatónica fue propuesta primero por Ramos y luego por Zarlino como la afinación normal para los cantantes.
Sin embargo, meanone presentó sus propios desafíos armónicos. Sus intervalos de lobo resultaron ser incluso peores que los de la afinación pitagórica (hasta el punto de que a menudo requería 19 teclas por octava, frente a las 12 de la afinación pitagórica). Como consecuencia de ello, Mestone no era apto para toda la música. Alrededor del siglo XVIII, a medida que crecía el deseo de que los instrumentos cambiaran de tonalidad y, por tanto, de evitar un intervalo de lobo, esto llevó al uso generalizado de temperamentos bien y, finalmente, temperamento igual .
El temperamento pitagórico todavía se puede escuchar en algunas partes de la música clásica moderna en cantantes y en instrumentos sin afinación fija, como la familia del violín . Cuando un intérprete tiene un pasaje no acompañado basado en escalas, tenderá a usar la entonación pitagórica, ya que eso hará que la escala suene mejor afinada, y luego volverá a otros temperamentos para otros pasajes (solo entonación para figuras de acordes o arpegiados, y temperamento igual cuando acompañado con piano u orquesta). Estos cambios nunca se anotan explícitamente y el público apenas los nota, simplemente suenan "afinados".
![{\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ centavos}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e3fb3b0b08eacfa4f426c6d8d29bb7b28e168f)
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