Cuarto de coma significa , o 1 /4-coma significado , fue el temperamento de significado más común en los siglos XVI y XVII, y en ocasiones se usó más tarde. En este sistema la quinta justa está achatada por un cuarto de coma sintónica (81:80), respecto a su entonación justa utilizada en la afinación pitagórica ( relación de frecuencias 3:2); el resultado es 3 /2× [ 80 /81] 1 / 4 = 4 √ 5 ≈ 1,49535 ,o una quinta parte de 696,578 centavos. (La duodécima potencia de ese valor es 125, mientras que 7 octavas son 128, por lo que se quedan 41,059 centavos menos). Luego, esta quinta se repite para generar la escala diatónica y otras notas del temperamento. El objetivo es obtenerterceras mayores(con una relación de frecuencia igual a 5:4 ). Fue descrito porPietro Aronen suToscanello de la Músicade 1523, diciendo que las terceras mayores debían afinarse para ser "sonoras y justas, lo más unidas posible". [1]Los teóricos posterioresGioseffo ZarlinoyFrancisco de Salinasdescribieron la sintonización con exactitud matemática.
En una afinación de medios tonos tenemos diferentes semitonos cromáticos y diatónicos ; el semitono cromático es la diferencia entre C y C ♯ , y el semitono diatónico la diferencia entre C y D ♭ . En la afinación pitagórica, el semitono diatónico a menudo se llama limma pitagórico y el semitono cromático apótoma pitagórica , pero en la afinación pitagórica la apótoma es más grande, mientras que en 1 /4coma significa que el limma es más grande. Dicho de otra manera, en la afinación pitagórica tenemos que C ♯ es más alto que D ♭ , mientras que en 1 /4coma significa que tenemos C ♯ menor que D ♭ .
En cualquier afinación mediotonal o pitagórica, donde un tono entero se compone de un semitono de cada tipo, una tercera mayor son dos tonos enteros y por tanto consta de dos semitonos de cada tipo, una quinta justa de mediotono contiene cuatro semitonos diatónicos y tres cromáticos, y una octava siete semitonos diatónicos y cinco cromáticos, se sigue que:
Así, en la afinación pitagórica, donde se utilizan secuencias de sólo quintas ( relación de frecuencia 3:2) y octavas para producir los otros intervalos, se obtiene un tono completo.
y un tercio importante es
la diferencia es la coma sintónica , 81 / 80 .
Un intervalo de decimoséptima, que consta de dieciséis semitonos diatónicos y doce cromáticos, como el intervalo de D 4 a F ♯ 6 , se puede obtener de manera equivalente usando cualquiera de los dos.
Este gran intervalo de decimoséptima parte contiene 5 + (5 − 1) + (5 − 1) + (5 − 1) = 20 − 3 = 17 puestos de personal . En la afinación pitagórica, el tamaño de una decimoséptima se define utilizando una pila de cuatro quintas justamente afinadas (relación de frecuencia 3: 2):
En el temperamento de cuarto de coma y tono medio, donde se requiere una tercera mayor ( 5: 4) , se obtiene una decimoséptima ligeramente más estrecha apilando dos octavas y una tercera mayor:
Sin embargo, por definición, se debe obtener un decimoséptimo del mismo tamaño (5: 1) , incluso en cuarto de coma, apilando cuatro quintos. Dado que las quintas justamente afinadas, como las utilizadas en la afinación pitagórica, producen una semicorchea ligeramente más ancha, en el medio cuarto de coma las quintas deben estar ligeramente aplanadas para cumplir con este requisito. Sea x la relación de frecuencias de la quinta aplanada, se desea que cuatro quintas tengan una relación de 5:1,
lo que implica que una quinta es
un tono completo, construido moviendo dos quintas hacia arriba y una octava hacia abajo, es
y un semitono diatónico, construido moviendo tres octavas hacia arriba y cinco quintas hacia abajo, es
Observe que, en cuarto de coma significa uno, el decimoséptimo es 81 / 80 veces más estrecho que en la afinación pitagórica. Esta diferencia de tamaño, equivalente a unos 21,506 centavos , se denomina coma sintónica . Esto implica que la quinta es un cuarto de coma sintónica más estrecha que la quinta pitagórica justamente afinada. Es decir, este sistema afina las quintas en la proporción de
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
que es ligeramente más pequeño (o más plano) que la proporción de una quinta justamente afinada:
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
La diferencia entre estos dos tamaños es un cuarto de coma sintónica:
En resumen, este sistema afina las terceras mayores en la proporción justa de 5: 4 (así, por ejemplo, si A 4 está afinado a 440 Hz , C ♯ 5 está afinado a 550 Hz), la mayoría de los tonos completos (es decir, los segundos mayores ) en la proporción √ 5 :2, y la mayoría de los semitonos (es decir, los semitonos diatónicos o segundos menores ) en la proporción (8:5) 5 ⁄ 4 . Esto se logra afinando la decimoséptima coma sintónica más plana que la decimoséptima pitagórica, lo que implica afinar la quinta un cuarto de coma sintónica más plana que la proporción justa de 3 : 2. Es esto lo que le da al sistema su nombre de cuarto de coma. significó .
Toda la escala cromática (un subconjunto de la cual es la escala diatónica) se puede construir partiendo de una nota base determinada y aumentando o disminuyendo su frecuencia en una o más quintas. Este método es idéntico a la afinación pitagórica, excepto por el tamaño de la quinta, que se atempera como se explicó anteriormente. Sin embargo, los temperamentos entre tonos (excepto el 12 TET ) no pueden caber en un teclado de 12 notas; y al igual que el cuarto de coma, la mayoría requiere un número infinito de notas (aunque existe una aproximación muy cercana al cuarto de coma que puede caber en un teclado con 31 teclas). Cuando se afina en un teclado de 12 notas, muchas notas deben omitirse y, a menos que la afinación sea "templada" para pasar por alto las notas que faltan, los teclistas que sustituyen la nota más cercana disponible (que siempre es el tono incorrecto) por la nota real La nota de cuarto de coma apropiada (que sonaría consonante, si estuviera disponible) crea notas disonantes en lugar de la nota de cuarto de coma consonante .
La siguiente tabla de construcción ilustra cómo se obtienen los tonos de las notas con respecto a D (la nota base ), en una escala basada en D (ver Afinación pitagórica para una explicación más detallada). Para cada nota de la octava básica, la tabla proporciona el nombre convencional del intervalo desde D (la nota base), la fórmula para calcular su relación de frecuencia y los valores aproximados de su relación de frecuencia y tamaño en centésimas.
En las fórmulas, x = 4 √ 5 = 5 1 ⁄ 4 es el tamaño de la quinta justa templada, y las proporciones x : 1 o 1 : x representan una quinta justa templada ascendente o descendente (es decir, un aumento o disminución de la frecuencia en x ), mientras que 2 : 1 o 1 : 2 representan una octava ascendente o descendente.
Al igual que en la afinación pitagórica, este método genera 13 tonos, con La ♭ y G ♯ separados por casi un cuarto de tono. Para construir una escala de 12 tonos, normalmente se descarta A ♭ .
La tabla anterior muestra una pila de quintas basada en D (es decir, una pila en la que todas las proporciones se expresan en relación con D, y D tiene una proporción de 1/1). Dado que está centrada en D, la nota base, esta pila se puede llamar simétrica basada en D :
Con la quinta justa tomada como 4 √ 5 , los extremos de esta escala están separados por una relación de frecuencia de 125, lo que provoca una brecha de125/128(aproximadamente dos quintos de semitono) entre sus extremos si están normalizados a la misma octava. Si el último paso (aquí, G ♯ ) se reemplaza por una copia de A ♭ pero en la misma octava que G ♯ , eso aumentará el intervalo C ♯ –G ♯ a una discordia llamada quinta de lobo .
Excepto por el tamaño de la quinta, ésta es idéntica a la pila utilizada tradicionalmente en la afinación pitagórica . Algunos autores prefieren mostrar una pila de quintas basada en C, que van desde A ♭ hasta G ♯ . Dado que C no está en su centro, esta pila se denomina asimétrica basada en C :
Dado que los límites de esta pila (A ♭ y G ♯ ) son idénticos a los de la pila simétrica basada en D, los nombres de las notas de la escala de 12 tonos producida por esta pila también son idénticos. La única diferencia es que la tabla de construcción muestra intervalos de C, en lugar de D. Observe que se pueden formar 144 intervalos a partir de una escala de 12 tonos (consulte la tabla a continuación), que incluyen intervalos de C, D y cualquier otra nota. Sin embargo, la tabla de construcción muestra solo 12 de ellos, en este caso los que comienzan desde C. Esta es al mismo tiempo la principal ventaja y la principal desventaja de la pila asimétrica basada en C, ya que los intervalos de C se usan comúnmente, pero como C no está en el centro de esta pila, desafortunadamente incluyen una quinta aumentada (es decir, el intervalo de C a G ♯ ), en lugar de una sexta menor (de C a A ♭ ). Esta quinta aumentada es un intervalo de lobo extremadamente disonante , ya que se desvía en 41,1 centavos (una diesis de proporción 128:125, casi el doble de una coma sintónica ) del intervalo puro correspondiente de 8:5 o 813,7 centavos.
Por el contrario, los intervalos de D que se muestran en la tabla anterior, dado que D está en el centro de la pila, no incluyen intervalos de lobo e incluyen una sexta menor pura (de D a B ♭ ), en lugar de una quinta aumentada impura. Observe que en el conjunto de 144 intervalos mencionado anteriormente, las sextas menores puras se observan con más frecuencia que las quintas aumentadas impuras (consulte la tabla a continuación), y esta es una de las razones por las que no es deseable mostrar una quinta aumentada impura en la tabla de construcción. . También se podría utilizar una pila simétrica basada en C para evitar el inconveniente mencionado anteriormente:
En esta pila, G ♭ y F ♯ tienen una frecuencia similar y G ♭ normalmente se descarta. Además, la nota entre C y D se llama D ♭ en lugar de C ♯ , y la nota entre G y A se llama A ♭ en lugar de G ♯ . La pila simétrica basada en C rara vez se usa, posiblemente porque produce la quinta del lobo en la posición inusual de F ♯ –D ♭ en lugar de G ♯ –E ♭ , donde los músicos que usaban la afinación pitagórica lo esperaban).
Se puede construir una versión de entonación justa del temperamento de cuarto de coma de tono medio de la misma manera que la versión racional del 12-TET de Johann Kirnberger . El valor de 5 1 ⁄ 8 · 35 1 ⁄ 3 está muy cerca de 4, por lo que se crea un intervalo de 7 límites 6144 : 6125 (que es la diferencia entre la diesis de 5 límites 128 : 125 y la diesis séptima 49 : 48 ), equivalente a 5,362 centavos, aparece muy cerca del cuarto de coma (81/80) 1 ⁄ 4 de 5,377 centavos. Entonces, la quinta justa tiene una proporción de 6125: 4096, que es la diferencia entre tres terceras mayores justas y dos segundas mayores séptimas ; cuatro de esos quintos superan la proporción de 5:1 en el pequeño intervalo de 0,058 centavos. La quinta lobo allí parece ser 49: 32, la diferencia entre la séptima séptima menor y la segunda mayor séptima .
Como se analizó anteriormente, en el temperamento cuarto de coma significa tono,
Los tonos de la escala diatónica se pueden dividir en pares de semitonos. Sin embargo, como S 2 no es igual a T , cada tono debe estar compuesto por un par de semitonos desiguales, S y X :
Por eso,
Observe que S es 117,1 centavos y X es 76,0 centavos. Por tanto, S es el semitono mayor y X es el menor. S se denomina comúnmente semitono diatónico (o segunda menor ), mientras que X se denomina semitono cromático (o unísono aumentado ).
Los tamaños de S y X se pueden comparar con la proporción recién entonada 18: 17, que es 99,0 centavos. S se desvía de él en +18,2 céntimos y X en -22,9 céntimos. Estas dos desviaciones son comparables a la coma sintónica (21,5 centavos), que este sistema está diseñado para eliminar de la tercera mayor pitagórica. Sin embargo, dado que incluso la proporción recién entonada 18 : 17 suena marcadamente disonante, estas desviaciones se consideran aceptables en un semitono.
En cuarto de coma, la segunda menor se considera aceptable, mientras que el unísono aumentado suena disonante y debe evitarse.
La tabla anterior muestra solo intervalos de D. Sin embargo, se pueden formar intervalos comenzando con cada una de las 12 notas enumeradas anteriormente. Así, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo (doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos compuestos por 2 semitonos, doce intervalos compuestos por 3 semitonos, etc.).
Como se ha explicado anteriormente, una de las doce "quintas" nominales (la quinta del lobo ) tiene un tamaño diferente respecto a las otras once. Por una razón similar, cada uno de los otros tipos de intervalo (excepto los unísonos y las octavas) tiene dos tamaños diferentes en el significado de cuarto de coma cuando se trunca para caber en una octava que solo permite 12 notas (mientras que el significado de cuarto de coma real requiere aproximadamente 31 notas). por octava ). Este es el precio que se paga por intentar encajar un temperamento de muchas notas en un teclado sin suficientes tonos distintos por octava: la consecuencia son notas "falsas", por ejemplo, una de las llamadas "quintas" no es una quinta, sino en realidad una sexta disminuida con un cuarto de coma , cuyo tono es un mal sustituto de la necesaria quinta.
La tabla muestra el tamaño aproximado de los billetes en centavos: los billetes genuinos están sobre un fondo gris claro, los sustitutos desafinados están sobre un fondo rojo o naranja; el nombre de los intervalos genuinos se encuentra en la parte superior o inferior de una columna con fondo gris liso; Los nombres de los intervalos de las malas sustituciones están en el extremo opuesto, impresos sobre un fondo de color. Los nombres de los intervalos se dan en su forma abreviada estándar. [a] Por ejemplo, el tamaño del intervalo de D a A, que es una quinta justa (P5), se puede encontrar en la séptima columna de la fila denominada D. Los intervalos estrictamente justos (o puros ) se muestran en negrita . Los intervalos de Wolf están resaltados en rojo. [b]
Sorprendentemente, aunque este sistema de afinación fue diseñado para producir terceras mayores puramente consonantes, sólo ocho de los intervalos que son terceras en 12 TET son puramente justos (5: 4 o alrededor de 386,3 centavos) en el cuarto de coma truncado que se muestra en la tabla : Entre los 12 tonos disponibles faltan notas de cuarto de coma necesarias para iniciar o finalizar el intervalo de tercera, y la sustitución de notas cercanas disponibles pero incorrectas conduce a terceras disonantes.
La razón por la que los tamaños de los intervalos varían a lo largo de la escala es porque el uso de notas sustitutas, cuyos tonos están correctamente afinados para un uso diferente en la escala, en lugar de las genuinas negras de coma para el intervalo deseado, crea intervalos desafinados. Las notas reales en una escala de cuarto de coma completamente implementada (que requiere alrededor de 31 teclas por octava en lugar de solo 12) serían consonantes, como todos los intervalos sin color: la disonancia es la consecuencia de reemplazar las notas de cuarto de coma correctas con notas incorrectas. que están asignados a la misma tecla en el teclado de 12 tonos. Como se mencionó anteriormente, las frecuencias definidas por construcción para las doce notas determinan dos tipos diferentes de semitonos (es decir, intervalos entre notas adyacentes):
Por el contrario, en una escala cromática igualmente templada , por definición los doce tonos están igualmente espaciados, teniendo todos los semitonos un tamaño de exactamente
Como consecuencia, todos los intervalos de cualquier tipo dado tienen el mismo tamaño (por ejemplo, todas las terceras mayores tienen el mismo tamaño, todas las quintas tienen el mismo tamaño, etc.). El precio que se paga, en este caso, es que ninguno de ellos está justamente afinado y perfectamente consonante, salvo, claro está, el unísono y la octava.
Para una comparación con otros sistemas de tuning, consulte también esta tabla .
Por definición, en el significado de cuarto de coma 1, el llamado quinto "perfecto" (P5 en la tabla) tiene un tamaño de aproximadamente 696,6 centavos ( 700 − ε centavos, donde ε ≈ 3,422 centavos); como el tamaño medio de los 12 quintos debe ser exactamente de 700 céntimos (como en el temperamento igual), el otro debe tener un tamaño de 700 + 11 ε céntimos, lo que equivale a unos 737,6 céntimos (uno de los quintos del lobo ). Observe que, como se muestra en la tabla, el último intervalo, aunque se utiliza como sustituto de una quinta, el intervalo real es en realidad una sexta disminuida ( d6 ), que por supuesto está desafinada con la cercana pero diferente quinta a la que reemplaza. Similarmente,
En resumen, se observan diferencias similares en ancho para todos los tipos de intervalos, excepto para unísonos y octavas, y los excesos y déficits en ancho son todos múltiplos de ε , la diferencia entre el cuarto de coma significa una quinta y la quinta promedio requerida si uno es para cerrar la espiral de quintas en un círculo.
Observe que, como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12 ε centavos (≈ 41,1 centavos) más ancho o más estrecho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, la sexta disminuida (o quinta lobo) es 12 ε centavos más ancha que cada quinta perfecta, y cada segunda aumentada es 12 ε centavos más estrecha que cada tercera menor. Este intervalo de tamaño 12 ε centavos se conoce como diesis , o segundo disminuido . Esto implica que ε también puede definirse como una doceava parte de una diesis.
La tríada mayor se puede definir mediante un par de intervalos a partir de la nota fundamental: una tercera mayor (intervalo que abarca 4 semitonos) y una quinta justa (7 semitonos). La tríada menor también puede definirse por una tercera menor (3 semitonos) y una quinta justa (7 semitonos).
Como se muestra arriba, una escala cromática tiene doce intervalos que abarcan siete semitonos. Once de ellas son quintas justas, mientras que la duodécima es una sexta disminuida. Dado que abarcan el mismo número de semitonos, las quintas perfectas y las sextas disminuidas se consideran enarmónicamente equivalentes . En una escala cromática igualmente afinada, las quintas justas y las sextas disminuidas tienen exactamente el mismo tamaño. Lo mismo ocurre con todos los intervalos enarmónicamente equivalentes que abarcan 4 semitonos (tercios mayores y cuartos disminuidos), o 3 semitonos (tercios menores y segundos aumentados). Sin embargo, en el temperamento medio esto no es cierto. En este sistema de afinación, los intervalos enarmónicamente equivalentes pueden tener diferentes tamaños, y algunos intervalos pueden desviarse notablemente de sus proporciones ideales justamente afinadas . Como se explicó en la sección anterior, si la desviación es demasiado grande, entonces el intervalo dado no se puede utilizar, ni por sí solo ni en un acorde.
La siguiente tabla se centra únicamente en los tres tipos de intervalos mencionados anteriormente, utilizados para formar tríadas mayores y menores. Cada fila muestra tres intervalos de diferentes tipos pero que tienen la misma nota fundamental. Cada intervalo está especificado por un par de notas. A la derecha de cada intervalo aparece la fórmula para la relación del intervalo . Los intervalos de cuarta disminuida, sexta disminuida y segunda aumentada pueden considerarse intervalos de lobo y se han marcado en rojo . S y X indican la proporción de los dos tipos de semitonos antes mencionados (segunda menor y unísono aumentado).
Primero, mire las dos últimas columnas de la derecha. Todos los intervalos de 7 semitonos excepto uno tienen una proporción de
lo que se desvía en −5,4 centavos del justo 3:2 de 702,0 centavos. Cinco centavos es poco y aceptable. Por otro lado, la sexta disminuida de G ♯ a E ♭ tiene una proporción de
que se desvía en +35,7 centavos de la quinta justa justa. Treinta y cinco centavos está fuera del rango aceptable.
Ahora mira las dos columnas del medio. Ocho de los doce intervalos de 4 semitonos tienen una proporción de
que es exactamente un justo 5:4. Por otro lado, las cuatro cuartas disminuidas con raíces en C ♯ , F ♯ , G ♯ y B tienen una proporción de
que se desvía en +41,1 centavos del tercio principal. Una vez más, esto suena muy desafinado.
Las tríadas mayores se forman a partir de terceras mayores y quintas perfectas. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo de Wolf (d6 en lugar de P5, o d4 en lugar de M3), entonces la tríada no es aceptable. Por lo tanto, las tríadas mayores con notas fundamentales de C ♯ , F ♯ , G ♯ y B no se utilizan en escalas de mediotono cuya nota fundamental es C.
Ahora mire las dos primeras columnas de la izquierda. Nueve de los doce intervalos de 3 semitonos tienen una proporción de
que se desvía en −5,4 centavos del justo 6 : 5 de 315,6 centavos. Cinco centavos es aceptable. Por otro lado, los tres segundos aumentados cuyas raíces son E ♭ , F y B ♭ tienen una proporción de
que se desvía en −46,4 centavos del tercio menor. Sin embargo, es una coincidencia reñida para el tercio menor séptimo de 7: 6 de 266,9 centavos, desviándose en +2,3 centavos. Estas segundas aumentadas, aunque suficientemente consonantes por sí mismas, sonarán "exóticas" o atípicas cuando se toquen junto con una quinta justa.
Las tríadas menores se forman a partir de terceras y quintas menores. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo enarmónicamente equivalente (d6 en lugar de P5, o A2 en lugar de m3), entonces la tríada no sonará bien. Por lo tanto, las tríadas menores con notas fundamentales de E ♭ , F, G ♯ y B ♭ no se utilizan en la escala de medios tonos definida anteriormente.
Como se analizó anteriormente, en el temperamento de cuarto de coma significa tono truncado a solo 12 notas,
Se puede verificar mediante cálculos que la mayoría de los tonos completos (es decir, los segundos mayores) se componen de un semitono mayor y un semitono menor:
De manera similar, una quinta normalmente se compone de tres tonos y un semitono mayor:
lo que equivale a cuatro semitonos mayores y tres menores:
Se puede construir una escala diatónica comenzando desde la nota fundamental y multiplicándola por un tono medio T para subir un paso grande o por un semitono S para subir un paso pequeño.
CDEFGABC′ D′‖----|----|----|----‖----|----|----‖----| T T S T T T S T
Los tamaños de intervalo resultantes con respecto a la nota base C se muestran en la siguiente tabla. Para enfatizar el patrón repetitivo, las fórmulas usan el símbolo P ≡ T 3 S para representar una quinta justa ( penta ):
ⓘⓘⓘ
La construcción de una escala cromática de mediotono de cuarto de coma puede realizarse apilando una secuencia de 12 semitonos, cada uno de los cuales puede ser el diatónico más largo ( S ) o el cromático más corto ( Χ ).
CC ♯ DE ♭ EFF ♯ GG ♯ AB ♭ B C′ C′ ♯‖----|----|----|----|----|----|----‖----|----|---- |----|----‖----| Χ S S Χ S Χ S Χ S S Χ S Χ
Tenga en cuenta que esta escala es una extensión de la escala diatónica que se muestra en la tabla anterior. Sólo se han añadido cinco notas: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ y B ♭ (una escala pentatónica ).
Como se explicó anteriormente, originalmente se definió y produjo una escala idéntica utilizando una secuencia de quintas templadas, que van desde E ♭ (cinco quintas por debajo de D) hasta G ♯ (seis quintas por encima de D), en lugar de una secuencia de semitonos. Este enfoque más convencional, similar al sistema de afinación pitagórico basado en D , explica la razón por la cual los semitonos Χ y S están dispuestos en la secuencia particular y aparentemente arbitraria que se muestra arriba.
Los tamaños de intervalo con respecto a la nota base C se presentan en la siguiente tabla. Las relaciones de frecuencia se calculan como se muestra en las fórmulas. Delta es la diferencia en centavos entre el mediotoneal y el 12 TET ; la columna titulada "1/ 4 -c" es la diferencia en cuartos de coma entre la afinación mediada y pitagórica. Tenga en cuenta que Χ ≡ t/ S , de modo que Χ S = T ; la mayoría de los Χ pasos que aparecen en el cuadro anterior desaparecen en la tabla siguiente, porque se combinan con una S anterior y se convierten en una T.
La quinta justa de un cuarto de coma significa un tono, expresada como una fracción de octava, es1/4 log 2 5. Dado que log 2 5 es un número irracional , una cadena de quintas medias nunca se cierra (es decir, nunca es igual a una cadena de octavas). Sin embargo, las aproximaciones de fracción continua a este número de fracción irracional nos permiten encontrar divisiones iguales de la octava que sí se cierran; los denominadores de estos son 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789, ... De esto encontramos que 31 quintas con significado de cuarto de coma se acercan al cierre y, a la inversa, 31 temperamentos iguales representan una buena aproximación al significado de un cuarto de coma.
![{\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5\ }}=5^{1/4}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ff524e4ada4ac682fa8b8e7f672eed513e9351)
![{\displaystyle S_{\mathsf {ET}}={\sqrt[{12}]{2\ }}=100{\mathsf {\ cents.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06411d85459778a799cbf69377e99e9a3cbff1e)
![{\displaystyle P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{3/2}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{5/4} }}={\sqrt[{4}]{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d030302ae19405bca7c7b3408da3994a43edaca5)
