La proyección de Mercator ( / m ər ˈ k eɪ t ər / ) es una proyección cartográfica cilíndrica conforme presentada por primera vez por el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator en 1569. En el siglo XVIII, se convirtió en la proyección cartográfica estándar para la navegación debido a su propiedad de representar las líneas de rumbo como líneas rectas. Cuando se aplica a los mapas del mundo, la proyección de Mercator infla el tamaño de las tierras cuanto más lejos están del ecuador . Por lo tanto, las masas de tierra como Groenlandia y la Antártida parecen mucho más grandes de lo que realmente son en relación con las masas de tierra cercanas al ecuador. Hoy en día, la proyección de Mercator se usa ampliamente porque, además de la navegación marítima, es muy adecuada para los mapas web de Internet . [1]
Joseph Needham , un historiador de China, especuló que algunos mapas estelares de la dinastía Song china pueden haber sido elaborados según la proyección de Mercator; [2] sin embargo, esta afirmación se presentó sin evidencia, y el historiador astronómico Kazuhiko Miyajima concluyó, utilizando un análisis cartométrico, que estos mapas utilizaban en su lugar una proyección equirectangular . [3]
En el siglo XIII, las primeras cartas portulanas existentes del mar Mediterráneo, que generalmente no se cree que estén basadas en ninguna proyección cartográfica deliberada, incluían redes de rosas de los vientos de líneas entrecruzadas que podían usarse para ayudar a establecer el rumbo de un barco al navegar entre ubicaciones en la carta; la región de la Tierra cubierta por tales cartas era lo suficientemente pequeña como para que un curso de rumbo constante fuera aproximadamente recto en la carta. [4] [5] Las cartas tienen una precisión sorprendente que no se encuentra en los mapas construidos por eruditos europeos o árabes contemporáneos, y su construcción sigue siendo enigmática; basándose en un análisis cartométrico que parece contradecir el consenso académico, se ha especulado que se originaron en alguna tradición cartográfica premedieval desconocida, posiblemente evidencia de alguna comprensión antigua de la proyección de Mercator. [6]
El erudito alemán Erhard Etzlaub grabó "mapas de brújula" en miniatura (de unos 10 × 8 cm) de Europa y partes de África que abarcaban latitudes entre 0° y 67° para permitir el ajuste de sus relojes de sol portátiles de bolsillo . La proyección encontrada en estos mapas, que datan de 1511, fue declarada por John Snyder en 1987 como la misma proyección que la de Mercator. [7] Sin embargo, dada la geometría de un reloj de sol, estos mapas bien podrían haberse basado en la proyección cilíndrica central similar , un caso límite de la proyección gnomónica , que es la base de un reloj de sol. Snyder modificó su evaluación a "una proyección similar" en 1993. [8]
El matemático y cosmógrafo portugués Pedro Nunes fue el primero en describir el principio matemático de la loxodrómica , una trayectoria con rumbo constante medido en relación con el norte verdadero, que puede utilizarse en la navegación marítima para elegir el rumbo de la brújula que se debe seguir. En 1537, propuso construir un atlas náutico compuesto por varias hojas a gran escala en proyección equirrectangular como forma de minimizar la distorsión de las direcciones. Si estas hojas se llevaran a la misma escala y se ensamblaran, se aproximarían a la proyección de Mercator.
En 1541, el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator incluyó una red de líneas de rumbo en un globo terrestre que hizo para Nicolas Perrenot . [9]
En 1569, Mercator anunció una nueva proyección al publicar un gran mapamundi de 202 x 124 cm (80 x 49 pulgadas) impreso en dieciocho hojas separadas. Mercator tituló el mapa Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : "Una descripción nueva y aumentada de la Tierra corregida para el uso de los navegantes". Este título, junto con una explicación elaborada para el uso de la proyección que aparece como una sección de texto en el mapa, muestra que Mercator comprendió exactamente lo que había logrado y que pretendía que la proyección ayudara a la navegación. Mercator nunca explicó el método de construcción ni cómo llegó a él. Se han propuesto varias hipótesis a lo largo de los años, pero en cualquier caso, la amistad de Mercator con Pedro Nunes y su acceso a las tablas loxodrómicas que Nunes creó probablemente ayudaron en sus esfuerzos. [10]
El matemático inglés Edward Wright publicó las primeras tablas precisas para construir la proyección en 1599 y, con más detalle, en 1610, en su tratado titulado "Certaine Errors in Navigation" (Ciertos errores en la navegación). La primera formulación matemática fue publicada alrededor de 1645 por un matemático llamado Henry Bond ( c. 1600-1678 ). Sin embargo, las matemáticas involucradas fueron desarrolladas pero nunca publicadas por el matemático Thomas Harriot a partir de 1589 aproximadamente. [11]
El desarrollo de la proyección Mercator supuso un gran avance en la cartografía náutica del siglo XVI. Sin embargo, se adelantó mucho a su tiempo, ya que las antiguas técnicas de navegación y topografía no eran compatibles con su uso en la navegación. Dos problemas principales impidieron su aplicación inmediata: la imposibilidad de determinar la longitud en el mar con la precisión adecuada y el hecho de que en la navegación se utilizaban direcciones magnéticas, en lugar de direcciones geográficas . Sólo a mediados del siglo XVIII, tras la invención del cronómetro marino y el conocimiento de la distribución espacial de la declinación magnética , la proyección Mercator pudo ser adoptada plenamente por los navegantes.
A pesar de estas limitaciones en la determinación de la posición, la proyección de Mercator se puede encontrar en muchos mapamundis en los siglos posteriores a su primera publicación. Sin embargo, no empezó a dominar los mapas mundiales hasta el siglo XIX, cuando el problema de la determinación de la posición se había resuelto en gran medida. Una vez que la proyección de Mercator se convirtió en la proyección habitual para los mapas comerciales y educativos, fue objeto de críticas persistentes por parte de los cartógrafos por su representación desequilibrada de las masas continentales y su incapacidad para mostrar de forma útil las regiones polares.
Las críticas que se hicieron al uso inadecuado de la proyección Mercator dieron lugar a una oleada de nuevos inventos a finales del siglo XIX y principios del XX, a menudo promocionados directamente como alternativas a la proyección Mercator. Debido a estas presiones, los editores redujeron gradualmente su uso de la proyección a lo largo del siglo XX. Sin embargo, la llegada de los mapas web le dio a la proyección un resurgimiento abrupto en forma de la proyección Web Mercator .
En la actualidad, el Mercator se puede encontrar en cartas náuticas, mapas del mundo ocasionales y servicios de cartografía web, pero los atlas comerciales lo han abandonado en gran medida y los mapas murales del mundo se pueden encontrar en muchas proyecciones alternativas. Google Maps , que dependía de él desde 2005, todavía lo usa para mapas de área local, pero eliminó la proyección de las plataformas de escritorio en 2017 para mapas que se amplían fuera de las áreas locales. Muchos otros servicios de cartografía en línea todavía usan exclusivamente el Web Mercator.
La proyección de Mercator puede visualizarse como el resultado de envolver un cilindro firmemente alrededor de una esfera, con las dos superficies tangentes entre sí (tocándose) a lo largo de un círculo a medio camino entre los polos de su eje común, y luego desplegar conformemente la superficie de la esfera hacia afuera sobre el cilindro, lo que significa que en cada punto la proyección escala uniformemente la imagen de una pequeña porción de la superficie esférica sin distorsionarla de otra manera, preservando los ángulos entre las curvas que se cruzan. Después, este cilindro se desenrolla sobre una superficie plana para hacer un mapa. En esta interpretación, la escala de la superficie se conserva exactamente a lo largo del círculo donde el cilindro toca la esfera, pero aumenta de manera no lineal para los puntos más alejados del círculo de contacto. Sin embargo, al encoger uniformemente el mapa plano resultante, como paso final, se puede elegir cualquier par de círculos paralelos y equidistantes del círculo de contacto para que conserven su escala, llamados paralelos estándar ; entonces, la región entre los círculos elegidos tendrá su escala más pequeña que en la esfera, alcanzando un mínimo en el círculo de contacto. Esto a veces se visualiza como una proyección sobre un cilindro que es secante a (corta) la esfera, aunque esta imagen es engañosa en la medida en que los paralelos estándar no están espaciados a la misma distancia en el mapa que la distancia más corta entre ellos a través del interior de la esfera. [12]
El aspecto original y más común de la proyección de Mercator para los mapas de la Tierra es el aspecto normal, para el cual el eje del cilindro es el eje de rotación de la Tierra que pasa por los polos Norte y Sur, y el círculo de contacto es el ecuador de la Tierra . Como en todas las proyecciones cilíndricas en aspecto normal, los círculos de latitud y los meridianos de longitud son rectos y perpendiculares entre sí en el mapa, formando una cuadrícula de rectángulos. Si bien los círculos de latitud en la Tierra son más pequeños cuanto más cerca están de los polos, se estiran en dirección Este-Oeste para tener una longitud uniforme en cualquier proyección de mapa cilíndrica. Entre las proyecciones cilíndricas, la proyección de Mercator es la única proyección que equilibra este estiramiento Este-Oeste con un estiramiento Norte-Sur exactamente correspondiente, de modo que en cada ubicación la escala es localmente uniforme y se conservan los ángulos.
La proyección de Mercator en aspecto normal convierte trayectorias de rumbo constante (llamadas líneas loxodrómicas ) en una esfera en líneas rectas en el mapa, y por lo tanto es especialmente adecuada para la navegación marítima : los cursos y rumbos se miden utilizando una rosa de los vientos o un transportador, y las direcciones correspondientes se transfieren fácilmente de un punto a otro en el mapa, por ejemplo, con la ayuda de una regla paralela .
Como la escala lineal de un mapa de Mercator en aspecto normal aumenta con la latitud, distorsiona el tamaño de los objetos geográficos alejados del ecuador y transmite una percepción distorsionada de la geometría general del planeta. En latitudes superiores a 70° norte o sur, la proyección de Mercator es prácticamente inutilizable, [¿ según quién? ] porque la escala lineal se vuelve infinitamente grande en los polos. Por lo tanto, un mapa de Mercator nunca puede mostrar completamente las áreas polares (pero véase Usos a continuación para aplicaciones de las proyecciones oblicua y transversal de Mercator).
La proyección de Mercator se compara y confunde a menudo con la proyección cilíndrica central , que es el resultado de proyectar puntos de la esfera sobre un cilindro tangente a lo largo de líneas radiales rectas, como si se tratara de una fuente de luz colocada en el centro de la Tierra. [13] Ambas tienen una distorsión extrema lejos del ecuador y no pueden mostrar los polos. Sin embargo, son proyecciones diferentes y tienen propiedades diferentes.
Como ocurre con todas las proyecciones cartográficas , las formas o tamaños son distorsiones de la disposición real de la superficie de la Tierra. La proyección de Mercator exagera las zonas alejadas del ecuador ; cuanto más cerca de los polos de la Tierra, mayor es la distorsión.
Debido a las grandes distorsiones de la superficie terrestre, críticos como George Kellaway e Irving Fisher consideran que la proyección no es adecuada para los mapas mundiales generales. Se ha conjeturado que ha influido en la visión que la gente tiene del mundo: como muestra los países cercanos al ecuador como demasiado pequeños en comparación con los de Europa y América del Norte, se supone que ha hecho que la gente considere a esos países como menos importantes. [15] El propio Mercator utilizó la proyección sinusoidal de áreas iguales para mostrar áreas relativas. Sin embargo, a pesar de tales críticas, la proyección de Mercator fue, especialmente a fines del siglo XIX y principios del XX, quizás la proyección más común utilizada en los mapas mundiales. [16] [17] [18]
En los años 1940, los atlas dejaron de utilizar la proyección de Mercator para los mapas del mundo o para las áreas alejadas del ecuador, y prefirieron otras proyecciones cilíndricas o formas de proyección de áreas iguales . Sin embargo, la proyección de Mercator todavía se usa comúnmente para áreas cercanas al ecuador donde la distorsión es mínima. También se encuentra con frecuencia en mapas de zonas horarias. [19]
Arno Peters generó controversia a partir de 1972 cuando propuso lo que ahora se suele llamar la proyección de Gall-Peters para remediar los problemas de la proyección de Mercator, afirmando que era su propio trabajo original sin hacer referencia a trabajos anteriores de cartógrafos como el trabajo de Gall de 1855. La proyección que promovió es una parametrización específica de la proyección cilíndrica de áreas iguales . En respuesta, una resolución de 1989 de siete grupos geográficos norteamericanos desacreditó el uso de proyecciones cilíndricas para mapas mundiales de propósito general, que incluirían tanto la proyección de Mercator como la de Gall-Peters. [20]
Prácticamente todas las cartas náuticas impresas se basan en la proyección de Mercator debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para la navegación. También se utiliza habitualmente en los servicios de mapas callejeros alojados en Internet, debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para los mapas de áreas locales calculados a pedido. [21] Las proyecciones de Mercator también fueron importantes en el desarrollo matemático de la tectónica de placas en la década de 1960. [22]
La proyección Mercator fue diseñada para su uso en la navegación marítima debido a su propiedad única de representar cualquier rumbo de rumbo constante como un segmento recto. Este tipo de rumbo, conocido como loxodrómica (también llamada línea loxodrómica) es el preferido en la navegación marítima porque los barcos pueden navegar en una dirección de brújula constante. Esto reduce las difíciles y propensas a errores correcciones de rumbo que de otro modo serían necesarias al navegar con un rumbo diferente.
Para distancias pequeñas (en comparación con el radio de la Tierra), la diferencia entre la dirección y el rumbo máximo es insignificante. Incluso para distancias más largas, la simplicidad del rumbo constante lo hace atractivo. Como observó Mercator, en un rumbo así, el barco no llegaría por la ruta más corta, pero seguramente llegará. Navegar en dirección loxodrómica significaba que todo lo que los marineros tenían que hacer era mantener un rumbo constante siempre que supieran dónde estaban al comenzar, dónde pretendían estar al finalizar y tuvieran un mapa en proyección Mercator que mostrara correctamente esas dos coordenadas. [23]
Muchos de los principales servicios de mapas de calles en línea ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps y otros) utilizan una variante de la proyección Mercator para sus imágenes de mapas [24] llamada Web Mercator o Google Web Mercator. A pesar de su obvia variación de escala a nivel mundial (escalas pequeñas), la proyección es adecuada como un mapa mundial interactivo que se puede ampliar sin problemas a mapas locales (a gran escala), donde hay relativamente poca distorsión debido a la casi conformidad de la proyección variante .
Los sistemas de mosaicos de los principales servicios de mapeo de calles en línea muestran la mayor parte del mundo con el nivel de zoom más bajo como una única imagen cuadrada, excluyendo las regiones polares mediante el truncamiento en latitudes de φ max = ±85,05113°. (Véase más abajo.) Los valores de latitud fuera de este rango se representan utilizando una relación diferente que no diverge en φ = ±90°. [ cita requerida ]
Una proyección transversal de Mercator inclina el eje del cilindro de modo que quede perpendicular al eje de la Tierra. La línea estándar tangente coincide entonces con un meridiano y su meridiano opuesto, lo que da un factor de escala constante a lo largo de esos meridianos y hace que la proyección sea útil para cartografiar regiones que se extienden predominantemente de norte a sur. En su forma elipsoidal más compleja, la mayoría de los sistemas de cuadrícula nacionales de todo el mundo utilizan la proyección transversal de Mercator, al igual que el sistema de coordenadas transversal universal de Mercator .
Una proyección oblicua de Mercator inclina el eje del cilindro lejos del eje de la Tierra en un ángulo elegido, de modo que sus líneas tangentes o secantes de contacto son círculos que también están inclinados en relación con los paralelos de latitud de la Tierra. [26] Los usos prácticos de la proyección oblicua, como los sistemas de cuadrícula nacionales, utilizan desarrollos elipsoidales de la proyección oblicua de Mercator para mantener baja la variación de escala a lo largo de la proyección de la superficie del eje del cilindro.
Aunque la superficie de la Tierra se modela mejor mediante un elipsoide de revolución achatado , para mapas a pequeña escala el elipsoide se aproxima mediante una esfera de radio a , donde a es aproximadamente 6.371 km. Esta aproximación esférica de la Tierra se puede modelar mediante una esfera más pequeña de radio R , llamada globo en esta sección. El globo determina la escala del mapa. Las diversas proyecciones cilíndricas especifican cómo se transfiere el detalle geográfico del globo a un cilindro tangencial a él en el ecuador. Luego, el cilindro se desenrolla para dar el mapa plano. [27] [28] [ página necesaria ] La fracción R/a se denomina fracción representativa (FR) o escala principal de la proyección. Por ejemplo, un mapa de Mercator impreso en un libro podría tener un ancho ecuatorial de 13,4 cm correspondiente a un radio del globo de 2,13 cm y una FR de aproximadamente 1/300M (M se utiliza como abreviatura de 1.000.000 al escribir un RF), mientras que el mapa original de Mercator de 1569 tiene un ancho de 198 cm correspondiente a un radio de globo de 31,5 cm y un RF de aproximadamente 1/20 millones .
Una proyección cartográfica cilíndrica se especifica mediante fórmulas que vinculan las coordenadas geográficas de latitud φ y longitud λ con las coordenadas cartesianas del mapa con origen en el ecuador y eje x a lo largo del ecuador. Por construcción, todos los puntos del mismo meridiano se encuentran en la misma generatriz [a] del cilindro con un valor constante de x , pero la distancia y a lo largo de la generatriz (medida desde el ecuador) es una función arbitraria [b] de la latitud, y ( φ ). En general, esta función no describe la proyección geométrica (como la de los rayos de luz sobre una pantalla) desde el centro del globo hasta el cilindro, que es solo una de las ilimitadas formas de proyectar conceptualmente un mapa cilíndrico.
Como el cilindro es tangente al globo en el ecuador, el factor de escala entre el globo y el cilindro es la unidad en el ecuador, pero en ningún otro lugar. En particular, dado que el radio de un paralelo, o círculo de latitud, es R cos φ , el paralelo correspondiente en el mapa debe haberse estirado por un factor de 1/porque φ = sec φ . Este factor de escala en el paralelo se denota convencionalmente por k y el factor de escala correspondiente en el meridiano se denota por h . [29]
La proyección de Mercator es conforme . Una implicación de esto es la "isotropía de los factores de escala", lo que significa que el factor de escala de puntos es independiente de la dirección, de modo que la proyección conserva las formas pequeñas. Esto implica que el factor de escala vertical, h , es igual al factor de escala horizontal, k . Como k = sec φ , también debe ser h .
El gráfico muestra la variación de este factor de escala con la latitud. A continuación se indican algunos valores numéricos.
El factor de escala de área es el producto de las escalas de paralelos y meridianos hk = sec 2 φ . Para Groenlandia, tomando 73° como latitud media, hk = 11,7. Para Australia, tomando 25° como latitud media, hk = 1,2. Para Gran Bretaña, tomando 55° como latitud media, hk = 3,04.
La variación con la latitud a veces se indica mediante múltiples escalas de barras como se muestra a continuación.
La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot . Nicolas Tissot observó que los factores de escala en un punto de una proyección cartográfica, especificados por los números h y k , definen una elipse en ese punto. En el caso de las proyecciones cilíndricas, los ejes de la elipse están alineados con los meridianos y paralelos. [30] [c] En el caso de la proyección de Mercator, h = k , por lo que las elipses degeneran en círculos con un radio proporcional al valor del factor de escala para esa latitud. Estos círculos se representan en el mapa proyectado con una variación extrema de tamaño, lo que indica las variaciones de escala de Mercator.
Como se ha comentado anteriormente, la condición de isotropía implica que h = k = sec φ . Consideremos un punto del globo de radio R con longitud λ y latitud φ . Si φ se incrementa en una cantidad infinitesimal, dφ , el punto se mueve R dφ a lo largo de un meridiano del globo de radio R , por lo que el cambio correspondiente en y , dy , debe ser hR dφ = R sec φ dφ . Por lo tanto y′ ( φ ) = R sec φ . De forma similar, aumentar λ en dλ mueve el punto R cos φ dλ a lo largo de un paralelo del globo, por lo que dx = kR cos φ dλ = R dλ . Es decir, x′ ( λ ) = R . Integrando las ecuaciones
con x ( λ 0 ) = 0 e y (0) = 0, se obtiene x(λ) e y(φ) . El valor λ 0 es la longitud de un meridiano central arbitrario que normalmente, pero no siempre, es el de Greenwich (es decir, cero). Los ángulos λ y φ se expresan en radianes. Por la integral de la función secante , [31] [32]
La función y ( φ ) se representa gráficamente junto a φ para el caso R = 1: tiende al infinito en los polos. Los valores lineales del eje y no suelen mostrarse en los mapas impresos; en cambio, algunos mapas muestran la escala no lineal de los valores de latitud a la derecha. La mayoría de las veces, los mapas muestran solo una retícula de meridianos y paralelos seleccionados.
La expresión a la derecha de la segunda ecuación define la función Gudermanniana ; es decir, φ = gd( y/R ): por lo tanto, la ecuación directa puede escribirse como y = R ·gd −1 ( φ ). [31]
Hay muchas expresiones alternativas para y ( φ ), todas derivadas mediante manipulaciones elementales. [32]
Las inversas correspondientes son:
Para ángulos expresados en grados:
Las fórmulas anteriores se escriben en términos del radio del globo R . A menudo es conveniente trabajar directamente con el ancho del mapa W = 2 π R . Por ejemplo, las ecuaciones de transformación básicas se convierten en
La ordenada y de la proyección de Mercator se vuelve infinita en los polos y el mapa debe truncarse en alguna latitud menor a noventa grados. Esto no tiene por qué hacerse de manera simétrica. El mapa original de Mercator está truncado en 80°N y 66°S, con el resultado de que los países europeos se desplazaron hacia el centro del mapa. La relación de aspecto de su mapa es 198/120 = 1,65. Se han utilizado truncamientos aún más extremos: un atlas escolar finlandés se truncó aproximadamente en 76°N y 56°S, una relación de aspecto de 1,97.
Muchos mapas basados en la Web utilizan una versión ampliable de la proyección Mercator con una relación de aspecto de uno. En este caso, la latitud máxima alcanzada debe corresponder a y = ± Yo/2 , o equivalentemente y/R = π . Se puede utilizar cualquiera de las fórmulas de transformación inversa para calcular las latitudes correspondientes:
Las relaciones entre y ( φ ) y las propiedades de la proyección, como la transformación de ángulos y la variación de escala, se desprenden de la geometría de los pequeños elementos correspondientes en el globo y el mapa. La figura siguiente muestra un punto P en latitud φ y longitud λ en el globo y un punto cercano Q en latitud φ + δφ y longitud λ + δλ . Las líneas verticales PK y MQ son arcos de meridianos de longitud Rδφ . [d] Las líneas horizontales PM y KQ son arcos de paralelos de longitud R (cos φ ) δλ . Los puntos correspondientes en la proyección definen un rectángulo de ancho δx y altura δy .
Para elementos pequeños, el ángulo PKQ es aproximadamente un ángulo recto y, por lo tanto,
Los factores de escala mencionados anteriormente de globo a cilindro se dan por
Como los meridianos se asignan a líneas de constante x , debemos tener x = R ( λ − λ 0 ) y δx = Rδλ , ( λ en radianes). Por lo tanto, en el límite de elementos infinitesimalmente pequeños
En el caso de la proyección de Mercator, y' ( φ ) = R sec φ , por lo que esto nos da h = k y α = β . El hecho de que h = k es la isotropía de los factores de escala discutidos anteriormente. El hecho de que α = β refleja otra implicación de que el mapeo sea conforme, a saber, el hecho de que un curso de navegación de acimut constante en el globo se mapea en la misma dirección de cuadrícula constante en el mapa.
La conversión de la distancia de la regla en el mapa de Mercator a la distancia real ( máximo círculo ) en la esfera es sencilla en el ecuador, pero en ningún otro lugar. Un problema es la variación de la escala con la latitud, y otro es que las líneas rectas en el mapa ( líneas de rumbo ), que no sean los meridianos o el ecuador, no corresponden a los círculos máximos.
Mercator comprendió claramente la distinción entre distancia loxodrómica (de navegación) y distancia ortodrómica (verdadera). (Véase la Leyenda 12 del mapa de 1569). Subrayó que la distancia loxodrómica es una aproximación aceptable de la distancia ortodrómica verdadera para trayectos de corta o moderada distancia, en particular en latitudes bajas. Incluso cuantificó su afirmación: "Cuando las distancias ortodrómicas que se han de medir en las proximidades del ecuador no superan los 20 grados de un círculo máximo, o los 15 grados cerca de España y Francia, u 8 e incluso 10 grados en las zonas del norte, es conveniente utilizar distancias loxodrómicas".
Para una medición con regla de una línea corta , con punto medio en la latitud φ , donde el factor de escala es k = sec φ = 1/porque φ:
Con un radio y una circunferencia máxima iguales a 6.371 km y 40.030 km respectivamente, un RF de 1/300M , para la cual R = 2,12 cm y W = 13,34 cm, implica que una medida con regla de 3 mm. en cualquier dirección desde un punto del ecuador corresponde aproximadamente a 900 km. Las distancias correspondientes para las latitudes 20°, 40°, 60° y 80° son 846 km, 689 km, 450 km y 156 km respectivamente.
Las distancias más largas requieren enfoques diferentes.
La escala es la unidad en el ecuador (para una proyección no secante). Por lo tanto, interpretar las medidas de la regla en el ecuador es simple:
Para el modelo anterior, con RF = 1/300M , 1 cm corresponde a 3.000 km.
En cualquier otro paralelo el factor de escala es sec φ de modo que
Para el modelo anterior, 1 cm corresponde a 1.500 km a una latitud de 60°.
Esta no es la distancia más corta entre los puntos finales elegidos en el paralelo porque un paralelo no es un círculo máximo. La diferencia es pequeña para distancias cortas, pero aumenta a medida que aumenta λ , la separación longitudinal. Para dos puntos, A y B, separados por 10° de longitud en el paralelo a 60°, la distancia a lo largo del paralelo es aproximadamente 0,5 km mayor que la distancia del círculo máximo. (La distancia AB a lo largo del paralelo es ( a cos φ ) λ . La longitud de la cuerda AB es 2( a cos φ ) sen la/2 . Esta cuerda subtiende un ángulo en el centro igual a 2arcsin(cos φ sen la/2) y la distancia del círculo máximo entre A y B es 2 a arcsin(cos φ sen la/2 ).) En el caso extremo en que la separación longitudinal es de 180°, la distancia a lo largo del paralelo es la mitad de la circunferencia de ese paralelo; es decir, 10.007,5 km. Por otro lado, la geodésica entre estos puntos es un arco de círculo máximo que pasa por el polo y que subtiende un ángulo de 60° en el centro: la longitud de este arco es una sexta parte de la circunferencia del círculo máximo, unos 6.672 km. La diferencia es de 3.338 km, por lo que la distancia de la regla medida desde el mapa es bastante engañosa incluso después de corregir la variación de latitud del factor de escala.
El meridiano del mapa es un gran círculo en el globo terráqueo, pero la variación continua de la escala significa que la medición con una regla por sí sola no puede proporcionar la distancia real entre puntos distantes en el meridiano. Sin embargo, si el mapa está marcado con una escala de latitud precisa y finamente espaciada desde la cual se puede leer la latitud directamente, como es el caso del mapamundi de Mercator de 1569 (hojas 3, 9, 15) y todas las cartas náuticas posteriores, la distancia meridiana entre dos latitudes φ 1 y φ 2 es simplemente
Si no se pueden determinar con seguridad las latitudes de los puntos finales, se pueden encontrar mediante un cálculo de la distancia de la regla. Si se denominan meridianos a las distancias de la regla de los puntos finales del mapa, medidos desde el ecuador, y 1 e y 2 , la distancia real entre estos puntos en la esfera se obtiene utilizando cualquiera de las fórmulas inversas de Mercator:
donde R puede calcularse a partir del ancho W del mapa mediante R = Yo/2π . Por ejemplo, en un mapa con R = 1 los valores de y = 0, 1, 2, 3 corresponden a latitudes de φ = 0°, 50°, 75°, 84° y por lo tanto los intervalos sucesivos de 1 cm en el mapa corresponden a intervalos de latitud en el globo de 50°, 25°, 9° y distancias de 5.560 km, 2.780 km y 1.000 km en la Tierra.
Una línea recta en el mapa de Mercator en un ángulo α con los meridianos es una línea de rumbo . Cuando α = π/2 o 3π/2 el rumbo corresponde a uno de los paralelos; solo uno, el ecuador, es un círculo máximo. Cuando α = 0 o π corresponde a un círculo máximo meridiano (si se continúa alrededor de la Tierra). Para todos los demás valores es una espiral de polo a polo en el globo que interseca todos los meridianos en el mismo ángulo y, por lo tanto, no es un círculo máximo. [32] Esta sección analiza solo el último de estos casos.
Si α no es ni 0 ni π , entonces la figura anterior de los elementos infinitesimales muestra que la longitud de una línea de rumbo infinitesimal en la esfera entre las latitudes φ ; y φ + δφ es un segundo α δφ . Como α es constante en la línea de rumbo, esta expresión se puede integrar para obtener, para líneas de rumbo finitas en la Tierra:
Una vez más, si Δ φ se puede leer directamente a partir de una escala de latitud precisa en el mapa, entonces la distancia loxodrómica entre los puntos del mapa con latitudes φ 1 y φ 2 se obtiene de la siguiente manera. Si no existe dicha escala, entonces las distancias de la regla entre los puntos finales y el ecuador, y 1 e y 2 , dan el resultado mediante una fórmula inversa:
Estas fórmulas proporcionan distancias loxodrómicas en la esfera que pueden diferir en gran medida de las distancias reales, cuya determinación requiere cálculos más sofisticados. [e]
Cuando la Tierra se modela mediante un esferoide ( elipsoide de revolución), la proyección de Mercator debe modificarse para que siga siendo conforme . Las ecuaciones de transformación y el factor de escala para la versión no secante son [33]
El factor de escala es la unidad en el ecuador, como debe ser ya que el cilindro es tangente al elipsoide en el ecuador. La corrección elipsoidal del factor de escala aumenta con la latitud, pero nunca es mayor que e 2 , una corrección de menos del 1%. (El valor de e 2 es de aproximadamente 0,006 para todos los elipsoides de referencia). Esto es mucho menor que la inexactitud de la escala, excepto muy cerca del ecuador. Solo las proyecciones precisas de Mercator de regiones cercanas al ecuador necesitarán las correcciones elipsoidales.
La inversa se resuelve iterativamente, ya que está involucrada la latitud isométrica .
![{\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ea14e55f1e378a2a82a2ff70bee9d2f8cabf8d)
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc1b673f6fcbd95688246bf8c30af7fdd9214ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae347eb9bffadb5f8004faa0d0c1e212839b58a1)
![{\displaystyle x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln [\tan (45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc9392cd18cd854770761b77b8d37a0633c1354)
![{\displaystyle x={\frac {W}{2\pi }}(\lambda -\lambda _{0}),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7abeaed8bf4f766e4eb931035dfbbf787caa6c0)
![{\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e455a07f94771d84de1d2c0de4e0ed371c3858c)
![{\displaystyle m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47121a7581ab0e8d755c23df8ac6708bfe8d57c4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi } {4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\ frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\ derecha),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378a7fde0b2ede2f7f7b1b663f9e00c5aa34cea9)
