En geometría , un prisma es un poliedro que comprende una base poligonal de n lados , una segunda base que es una copia trasladada (movida rígidamente sin rotación) de la primera, y n otras caras , necesariamente todas ellas paralelogramos , que unen los lados correspondientes de las dos bases. . Todas las secciones transversales paralelas a las bases son traslaciones de las bases. Los prismas reciben el nombre de sus bases; por ejemplo, un prisma con base pentagonal se llama prisma pentagonal. Los prismas son una subclase de prismatoides . [2]
Como muchos términos geométricos básicos, la palabra prisma (del griego πρίσμα (prisma) 'algo aserrado') se utilizó por primera vez en los Elementos de Euclides . Euclides definió el término en el Libro XI como “una figura sólida contenida por dos planos opuestos, iguales y paralelos, siendo el resto paralelogramos”. Sin embargo, esta definición ha sido criticada por no ser lo suficientemente específica con respecto a la naturaleza de las bases (una causa de cierta confusión entre generaciones de escritores de geometría posteriores). [3] [4]
Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas y caras de unión no son perpendiculares a las caras de la base.
Ejemplo: un paralelepípedo es un prisma oblicuo cuya base es un paralelogramo , o equivalentemente un poliedro con seis caras de paralelogramo.
Un prisma recto es un prisma en el que las aristas y caras de unión son perpendiculares a las caras de la base. [5] Esto se aplica si y sólo si todas las caras de unión son rectangulares .
El dual de un n- prisma recto es una n - bipirámide derecha .
Un prisma recto (con lados rectangulares) con bases regulares de n -gón tiene el símbolo de Schläfli { }×{ n }. Se acerca a un cilindro cuando n se acerca al infinito . [6]
Nota: algunos textos pueden aplicar el término prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma recto de base rectangular como a un prisma recto de base cuadrada.
Un prisma regular es un prisma con bases regulares .
Un prisma uniforme o prisma semirregular es un prisma recto con bases regulares y todas las aristas de la misma longitud.
Por tanto, todas las caras laterales de un prisma uniforme son cuadrados .
Por tanto, todas las caras de un prisma uniforme son polígonos regulares. Además, dichos prismas son isogonales ; por tanto son poliedros uniformes . Forman una de las dos series infinitas de poliedros semirregulares , estando la otra serie formada por los antiprismas .
Un prisma uniforme n -gonal tiene el símbolo de Schläfli t{2, n }.
El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura, es decir, la distancia entre las dos caras de la base (en el caso de un prisma no recto, tenga en cuenta que esto significa la distancia perpendicular).
Por tanto el volumen es:
donde B es el área de la base y h es la altura.
Por lo tanto , el volumen de un prisma cuya base es un polígono regular de n lados con longitud de lado s es:
El área de superficie de un prisma recto es:
donde B es el área de la base, h la altura y P el perímetro de la base .
Por lo tanto , el área de superficie de un prisma recto cuya base es un polígono regular de n lados con longitud de lado s y altura h es:
El grupo de simetría de un prisma recto de n lados con base regular es D n h de orden 4 n , excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría mayor Oh h de orden 48, que tiene tres versiones de D 4h como subgrupos . El grupo de rotación es D n de orden 2 n , excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría mayor O de orden 24, que tiene tres versiones de D 4 como subgrupos.
El grupo de simetría D n h contiene inversión si ff n es par.
Los hosoedros y los dipedros también poseen simetría diédrica, y se puede construir un prisma n -gonal mediante el truncamiento geométrico de un hosoedro n -gonal, así como mediante la cantelación o expansión de un dipedro n -gonal.
Un prisma truncado se forma cuando el prisma es cortado por un plano que no es paralelo a sus bases. Las bases de un prisma truncado no son congruentes y sus lados no son paralelogramos. [7]
Un prisma retorcido es un poliedro no convexo construido a partir de un n -prisma uniforme con cada cara lateral dividida en dos en la diagonal cuadrada, girando la parte superior, generalmente porπ/norteradianes (180/nortegrados) en la misma dirección, lo que hace que los lados sean cóncavos. [8] [9]
Un prisma torcido no se puede dividir en tetraedros sin agregar nuevos vértices. El prisma retorcido más simple tiene bases triangulares y se llama poliedro de Schönhardt .
Un prisma torcido n -gonal es topológicamente idéntico al antiprisma uniforme n -gonal , pero tiene la mitad del grupo de simetría : D n , [ n ,2] + , orden 2 n . Puede verse como un antiprisma no convexo, con tetraedros eliminados entre pares de triángulos.
Un tronco es una construcción similar a un prisma, con caras laterales trapezoidales y polígonos superiores e inferiores de diferentes tamaños.
Un prisma estrella es un poliedro no convexo construido por dos caras poligonales estrella idénticas en la parte superior e inferior, paralelas y desplazadas una distancia y conectadas por caras rectangulares. Un prisma de estrella uniforme tendrá el símbolo de Schläfli { p / q } × { }, con p rectángulos y 2 { p / q } caras. Es topológicamente idéntico a un prisma p -gonal.
Un prisma cruzado es un poliedro no convexo construido a partir de un prisma, donde los vértices de una base están invertidos alrededor del centro de esta base (o girados 180°). Esto transforma las caras rectangulares laterales en rectángulos cruzados . Para una base de polígono regular, la apariencia es un reloj de arena n -gonal . Todos los bordes oblicuos pasan por un único centro del cuerpo. Nota: no hay ningún vértice en este centro del cuerpo. Un prisma cruzado es topológicamente idéntico a un prisma n -gonal.
Un prisma toroidal es un poliedro no convexo como un prisma cruzado , pero sin caras de base superior e inferior, y con caras laterales rectangulares simples que cierran el poliedro. Esto sólo se puede hacer para polígonos de base de lados pares. Estos son toros topológicos, con la característica de Euler de cero. La red poliédrica topológica se puede cortar a partir de dos filas de un mosaico cuadrado (con configuración de vértice 4.4.4.4 ): una banda de n cuadrados, cada uno unido a un rectángulo cruzado . Un prisma toroidal n -gonal tiene 2 n vértices, 2 n caras: n cuadrados y n rectángulos cruzados, y 4 n aristas. Es topológicamente autodual .
Un politopo prismático es una generalización de un prisma de dimensiones superiores. Un politopo prismático de n dimensiones se construye a partir de dos politopos de dimensiones ( n − 1 ), trasladados a la siguiente dimensión.
Los elementos prismáticos n -politopos se duplican a partir de los elementos ( n − 1 ) -politopos y luego se crean nuevos elementos a partir del siguiente elemento inferior.
Tome un n -politopo con F i i -elementos de cara ( i = 0, ..., n ). Su prisma politopo ( n + 1 ) tendrá 2 F i + F i −1 i -elementos de cara. (Con F −1 = 0 , F norte = 1 .)
Por dimensión:
Un n -politopo regular representado por el símbolo de Schläfli { p , q ,..., t } puede formar un politopo prismático uniforme ( n + 1 ) representado por un producto cartesiano de dos símbolos de Schläfli : { p , q ,... , t }×{ }.
Por dimensión:
, Cuadrado, { }×{ }, dos segmentos de línea paralelos, conectados por dos lados del segmento de línea .
, Prisma pentagonal , {5}×{ }, dos pentágonos paralelos conectados por 5 lados rectangulares .
, Prisma dodecaédrico , {5,3}×{ }, dos dodecaedros paralelos conectados por 12 lados de prisma pentagonal .
Los politopos prismáticos de orden superior también existen como productos cartesianos de dos o más politopos cualesquiera. La dimensión de un politopo de producto es la suma de las dimensiones de sus elementos. Los primeros ejemplos de estos existen en el espacio de 4 dimensiones; se les llama duoprismas como el producto de dos polígonos en 4 dimensiones.
Los duoprismas regulares se representan como { p }×{ q }, con pq vértices, 2 pq aristas, pq caras cuadradas, p q -caras de gón, q p -caras de gón y delimitados por p q -prismas gonales y q p -gonal prismas.
Por ejemplo, {4}×{4}, un duoprisma 4-4 es una forma de simetría inferior de un teseracto , al igual que {4,3}×{ }, un prisma cúbico . {4}×{4}×{ } (prisma de duoprisma 4-4), {4,3}×{4} (duoprisma de cubo-4) y {4,3,3}×{ } (prisma teseráctico) son más bajos Formas de simetría de un cubo de 5 .
