Pierre-Louis Lions ( francés: [ljɔ̃ːs] ; [1] nacido el 11 de agosto de 1956) es un matemático francés . Es conocido por una serie de contribuciones a los campos de las ecuaciones diferenciales parciales y el cálculo de variaciones . Recibió la Medalla Fields de 1994 y el Premio de 1991 de la empresa tabacalera y de cigarrillos Philip Morris . [2]
Lions ingresó en la École normale supérieure en 1975 y recibió su doctorado en la Universidad de Pierre y Marie Curie en 1979. [3] Ocupa el cargo de profesor de ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones en el Collège de France en París, así como un puesto en la École Polytechnique . [4] [5] Desde 2014, también ha sido profesor visitante en la Universidad de Chicago . [6]
En 1979, Lions se casó con Lila Laurenti, con quien tiene un hijo. Los padres de Lions eran Andrée Olivier y el renombrado matemático Jacques-Louis Lions , en ese momento profesor de la Universidad de Nancy , y de 1991 a 1994 presidente de la Unión Matemática Internacional .
En 1994, mientras trabajaban en la Universidad Paris Dauphine , los Leones recibieron la prestigiosa Medalla Fields de la Unión Matemática Internacional . Fue citado por sus contribuciones a las soluciones de viscosidad , la ecuación de Boltzmann y el cálculo de variaciones . También recibió el Premio Paul Doistau-Émile Blutet de la Academia Francesa de Ciencias (en 1986) y el Premio Ampère (en 1992).
Fue profesor invitado en el Conservatoire national des arts et métiers (2000). [7] Es doctor honoris causa de la Universidad Heriot-Watt [8] ( Edimburgo ), EPFL (2010), [9] Narvik University College (2014) y de la City University of Hong-Kong y está catalogado como Investigador altamente citado del ISI . [10]
Los primeros trabajos de Lions versaron sobre el análisis funcional de los espacios de Hilbert . Su primer artículo publicado, en 1977, fue una contribución a la vasta literatura sobre la convergencia de ciertos algoritmos iterativos a puntos fijos de un automapa no expansivo dado de un subconjunto convexo cerrado del espacio de Hilbert. [L77] [11] En colaboración con su asesor de tesis Haïm Brézis , Lions proporcionó nuevos resultados sobre operadores monótonos máximos en el espacio de Hilbert, demostrando uno de los primeros resultados de convergencia para el algoritmo del punto proximal de Bernard Martinet y R. Tyrrell Rockafellar . [BL78] [12] Desde entonces, ha habido un gran número de modificaciones y mejoras de dichos resultados. [13]
Con Bertrand Mercier, Lions propuso un "algoritmo de división hacia adelante y hacia atrás" para encontrar el cero de la suma de dos operadores monótonos máximos. [LM79] Su algoritmo puede verse como una versión abstracta de los conocidos algoritmos numéricos de Douglas-Rachford y Peaceman-Rachford para el cálculo de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Los algoritmos de Lions-Mercier y su prueba de convergencia han sido particularmente influyentes en la literatura sobre la teoría de operadores y sus aplicaciones al análisis numérico . Un método similar fue estudiado al mismo tiempo por Gregory Passty. [14] [12]
El estudio matemático de la ecuación de Schrödinger-Newton en estado estacionario , también llamada ecuación de Choquard , se inició en un artículo fundamental de Elliott Lieb . [15] Está inspirado en la física del plasma a través de una técnica de aproximación estándar en química cuántica . Lions demostró que se podían aplicar métodos estándar como el teorema del paso de montaña , junto con algunos trabajos técnicos de Walter Strauss , para demostrar que una ecuación generalizada de Schrödinger-Newton en estado estacionario con una generalización radialmente simétrica del potencial gravitacional es necesariamente solucionable. por una función radialmente simétrica. [L80]
La ecuación diferencial parcial
ha recibido mucha atención en la literatura matemática. El extenso trabajo de Lions sobre esta ecuación se ocupa de la existencia de soluciones rotacionalmente simétricas, así como de estimaciones y existencia de problemas de valores en la frontera de diversos tipos. [L82a] Con el interés de estudiar soluciones en todo el espacio euclidiano , donde no se aplica la teoría de la compacidad estándar, Lions estableció una serie de resultados de compacidad para funciones con simetría. [L82b] Con Henri Berestycki y Lambertus Peletier, los Leones utilizaron métodos de disparo ODE estándar para estudiar directamente la existencia de soluciones rotacionalmente simétricas. [BLP81] Sin embargo, dos años más tarde, Berestycki y Lions obtuvieron resultados más nítidos mediante métodos variacionales. Consideraron las soluciones de la ecuación como cambios de escala de mínimos de un problema de optimización restringido, basado en una energía de Dirichlet modificada . Haciendo uso de la simetrización de Schwarz, existe una secuencia minimizadora para el problema de infimización que consta de funciones positivas y rotacionalmente simétricas. Así pudieron demostrar que existe un mínimo que también es rotacionalmente simétrico y no negativo. [BL83a] Al adaptar los métodos de puntos críticos de Felix Browder , Paul Rabinowitz y otros, Berestycki y Lions también demostraron la existencia de infinitas soluciones (no siempre positivas) radialmente simétricas al PDE. [BL83b] María Esteban y Lions investigaron la inexistencia de soluciones en varios dominios ilimitados con datos de límites de Dirichlet. [EL82] Su herramienta básica es una identidad de tipo Pohozaev, previamente reelaborada por Berestycki y Lions. [BL83a] Demostraron que tales identidades pueden usarse efectivamente con el teorema de continuación único de Nachman Aronszajn para obtener la trivialidad de las soluciones bajo algunas condiciones generales. [16] Los Leones, en colaboración con Djairo Guedes de Figueiredo y Roger Nussbaum , encontraron importantes estimaciones "a priori" de soluciones . [FLN82]
En entornos más generales, Lions introdujo el "principio de concentración-compacidad", que caracteriza cuando la minimización de secuencias de funcionales puede no converger posteriormente. Su primer trabajo abordó el caso de la traslación-invariancia, con aplicaciones a varios problemas de matemática aplicada , incluida la ecuación de Choquard. [L84a] También pudo extender partes de su trabajo con Berestycki a escenarios sin ninguna simetría rotacional. [L84b] Al hacer uso de los métodos topológicos de Abbas Bahri y la teoría mín-máx, Bahri y Lions pudieron establecer resultados de multiplicidad para estos problemas. [BL88] Lions también consideró el problema de la invariancia de la dilatación, con aplicaciones naturales para optimizar funciones para desigualdades funcionales invariantes de la dilatación, como la desigualdad de Sobolev . [L85a] Pudo aplicar sus métodos para dar una nueva perspectiva a trabajos anteriores sobre problemas geométricos como el problema de Yamabe y los mapas armónicos . [L85b] Con Thierry Cazenave, Lions aplicó sus resultados de concentración-compacidad para establecer la estabilidad orbital de ciertas soluciones simétricas de ecuaciones de Schrödinger no lineales que admiten interpretaciones variacionales y soluciones de conservación de energía. [CL82]
En 1988, François Golse , Lions, Benoît Perthame y Rémi Sentis estudiaron la ecuación de transporte , que es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden. [GLPS88] Demostraron que si los coeficientes de primer orden se eligen aleatoriamente de acuerdo con alguna distribución de probabilidad , entonces los valores de la función correspondiente se distribuyen con regularidad, lo que se mejora con respecto a la distribución de probabilidad original. Estos resultados fueron ampliados posteriormente por DiPerna, Lions y Meyer. [DLM91] En el sentido físico, tales resultados, conocidos como lemas de promedio de velocidad , corresponden al hecho de que los observables macroscópicos tienen una mayor suavidad de lo que sus reglas microscópicas indican directamente. Según Cédric Villani , se desconoce si es posible utilizar la representación explícita de soluciones de la ecuación de transporte para derivar estas propiedades. [17]
El teorema clásico de Picard-Lindelöf trata de curvas integrales de campos vectoriales continuos de Lipschitz . Al considerar las curvas integrales como curvas características de una ecuación de transporte en múltiples dimensiones, Lions y Ronald DiPerna iniciaron el estudio más amplio de las curvas integrales de los campos vectoriales de Sobolev . [DL89a] Los resultados de DiPerna y Lions sobre la ecuación de transporte fueron posteriormente extendidos por Luigi Ambrosio al escenario de variación acotada , y por Alessio Figalli al contexto de procesos estocásticos . [18]
DiPerna y Lions pudieron demostrar la existencia global de soluciones a la ecuación de Boltzmann . [DL89b] Posteriormente, aplicando los métodos de los operadores integrales de Fourier , Lions estableció estimaciones para el operador de colisión de Boltzmann, encontrando así resultados de compacidad para las soluciones de la ecuación de Boltzmann. [L94] Como una aplicación particular de su teoría de la compacidad, pudo demostrar que las soluciones convergen posteriormente en un tiempo infinito a distribuciones de Maxwell. [17] DiPerna y Lions también establecieron un resultado similar para las ecuaciones de Maxwell-Vlasov . [DL89c] [19]
Michael Crandall y Lions introdujeron la noción de solución de viscosidad , que es una especie de solución generalizada de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . Su definición es significativa ya que pudieron establecer una teoría del buen planteamiento en un contexto tan generalizado. [CL83] La teoría básica de las soluciones de viscosidad se desarrolló en mayor profundidad en colaboración con Lawrence Evans . [CEL84] Utilizando una cantidad mínima-máxima, Lions y Jean-Michel Lasry consideraron la apaciguamiento de funciones en el espacio de Hilbert que preservan los fenómenos analíticos. [LL86] Sus aproximaciones son naturalmente aplicables a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, mediante la regularización de subsoluciones o supersoluciones. Utilizando tales técnicas, Crandall y Lions ampliaron su análisis de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi al caso de dimensión infinita, demostrando un principio de comparación y un teorema de unicidad correspondiente. [CL85]
Crandall y Lions investigaron el análisis numérico de sus soluciones de viscosidad, demostrando resultados de convergencia tanto para un esquema de diferencias finitas como para viscosidad artificial . [CL84]
El principio de comparación que subyace a la noción de solución de viscosidad de Crandall y Lions hace que su definición sea naturalmente aplicable a ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , dado el principio de máximo . [20] [IL90] El artículo de estudio de Crandall, Ishii y Lions sobre soluciones de viscosidad para tales ecuaciones se ha convertido en un trabajo de referencia estándar. [CIL92]
Con Jean-Michel Lasry, Lions ha contribuido al desarrollo de la teoría de los juegos de campo medio . [LL07]
Artículos.
Libros de texto.
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