Ecuación de Hamilton-Jacobi

Formulación de la mecánica clásica basada en el cálculo de variaciones.

En física, la ecuación de Hamilton-Jacobi , llamada así en honor a William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana .

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula se puede representar como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera la "aproximación más cercana" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica . ^{[1] [2]} La forma cualitativa de esta conexión se llama analogía óptico-mecánica de Hamilton .

En matemáticas, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extrema en generalizaciones de problemas del cálculo de variaciones . Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de la programación dinámica . ^[3]

Descripción general

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\!\!\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).}$

para un sistema de partículas en coordenadas . La función es el hamiltoniano del sistema que da la energía del sistema. La solución de la ecuación es la acción funcional , ^[4] llamada función principal de Hamilton en los libros de texto más antiguos. La solución se puede relacionar con el sistema lagrangiano mediante una integral indefinida de la forma utilizada en el principio de mínima acción : ^{[5] : 431} ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$

$${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

^{[6] : 175}

formulación matemática

Notación

Variables en negrita como representan una lista de coordenadas generalizadas , ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo (consulte la notación de Newton ). Por ejemplo,

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

La notación de producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una abreviatura de la suma de los productos de componentes correspondientes, como

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

La acción funcional (también conocida como función principal de Hamilton)

Definición

Sea la matriz de Hesse invertible. La relación ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$

ecuaciones de Euler-Lagrange ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H_{\cal {L}}}$

$${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

Sean fijos un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. Los teoremas de existencia y unicidad garantizan que, para cada problema de valor inicial con las condiciones y tiene una solución localmente única. Además, deje que haya un intervalo de tiempo suficientemente pequeño como para que los extremos con diferentes velocidades iniciales no se crucen en Esto último significa que, para cualquiera y cualquiera puede haber como máximo un extremo para el cual y Sustituir en la acción funcional da como resultado la función principal de Hamilton (HPF) ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$ ${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$ ${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}$

dónde

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

Fórmula para el momento

Los momentos se definen como las cantidades. Esta sección muestra que la dependencia de desaparece una vez que se conoce el HPF. ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

De hecho, fijémonos un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración. Para cada instante de tiempo y un punto, sea el extremo (único) de la definición de la función principal de Hamilton . Llame a la velocidad en . Entonces ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$ ${\displaystyle \tau =t}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}$

Prueba

Si bien la prueba siguiente supone que el espacio de configuración es un subconjunto abierto de la técnica subyacente, se aplica igualmente a espacios arbitrarios . En el contexto de esta prueba, la letra caligráfica denota la acción funcional y la cursiva la función principal de Hamilton. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle S}$

Paso 1. Sea una ruta en el espacio de configuración y un campo vectorial a lo largo . (Para cada uno el vector se llama perturbación , variación infinitesimal o desplazamiento virtual del sistema mecánico en el punto ). Recuerde que la variación de la acción en el punto en la dirección viene dada por la fórmula ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \delta \xi }$

$${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}$$

donde se debe sustituir y después de calcular las derivadas parciales del lado derecho. (Esta fórmula se deriva de la definición de derivada de Gateaux mediante integración por partes). ${\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}$

Supongamos que es un extremo. Como ahora satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, el término integral desaparece. Si el punto de partida de es fijo, entonces, mediante la misma lógica que se utilizó para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, por lo tanto, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.}$

$${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}$$

Paso 2. Sea el extremo (único) de la definición de HPF, un campo vectorial a lo largo y una variación de "compatible" con En términos precisos, ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}$

Por definición de HPF y derivado Gateaux,

$${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}$$

Aquí tomamos eso en cuenta y optamos por la compacidad. ${\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Paso 3. Ahora sustituimos y en la expresión for del Paso 1 y comparamos el resultado con la fórmula derivada en el Paso 2. El hecho de que, para el campo vectorial , se eligió arbitrariamente completa la prueba. ${\displaystyle \xi =\gamma }$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma }$ ${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}$ ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle \delta \gamma }$

Fórmula

Dado el hamiltoniano de un sistema mecánico, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton , ^[7] ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).}$

Derivación

Para un extremo donde es la velocidad inicial (consulte la discusión que precede a la definición de HPF), ${\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}}$

$${\displaystyle {\cal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}$$

De la fórmula y la definición basada en coordenadas del hamiltoniano ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)}$

$${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),}$$

con satisfacer la (única solución para la ecuación obtener ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )}$ ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right),}$$

dónde y ${\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}$

Alternativamente, como se describe a continuación, la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede derivar de la mecánica hamiltoniana tratándola como la función generadora de una transformación canónica de la ecuación hamiltoniana clásica. ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas de con respecto a las coordenadas generalizadas ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contiene constantes indeterminadas, la primera de ellas denotada como , y la última proveniente de la integración de . ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

La relación entre y luego describe la órbita en el espacio de fases en términos de estas constantes de movimiento . Además, las cantidades ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$

^[8] ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Comparación con otras formulaciones de mecánica.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial única de primer orden para la función de las coordenadas generalizadas y el tiempo . Los momentos generalizados no aparecen, salvo como derivados de , la acción clásica . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$

A modo de comparación, en las ecuaciones de movimiento equivalentes de Euler-Lagrange de la mecánica lagrangiana , los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema de ecuaciones generalmente de segundo orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

Dado que el HJE es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton , el HJE puede ser útil en otros problemas de cálculo de variaciones y, más en general, en otras ramas de las matemáticas y la física , como los sistemas dinámicos , la geometría simpléctica y caos cuántico . Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se pueden utilizar para determinar las geodésicas en una variedad de Riemann , un problema variacional importante en la geometría de Riemann . Sin embargo, como herramienta computacional, las ecuaciones diferenciales parciales son notoriamente complicadas de resolver excepto cuando es posible separar las variables independientes; en este caso los HJE se vuelven computacionalmente útiles. ^{[5] : 444}

Derivación mediante una transformación canónica

Cualquier transformación canónica que involucre una función generadora de tipo 2 conduce a las relaciones ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}}$$

${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

Para derivar el HJE, se elige una función generadora de tal manera que forme el nuevo hamiltoniano . Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales. ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle K=0}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$

constantes de movimientocoordenadas generalizadas ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$ ${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

Establecer la función generadora igual a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$$

Cuando se resuelven , estos también nos dan las ecuaciones útiles ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$

$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales en función de las constantes y resolver así el problema original. ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$ ${\displaystyle t}$

Separación de variables

Cuando el problema permite la separación aditiva de variables , el HJE conduce directamente a constantes de movimiento . Por ejemplo, el tiempo t se puede separar si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En ese caso, la derivada del tiempo en el HJE debe ser una constante, generalmente denotada ( ), dando la solución separada ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$ ${\displaystyle -E}$

$${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$

acción abreviadafunción característica de Hamilton ^{[5] : 434 [9] : 607}nombres de principios de acción ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$

$${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.}$$

Para ilustrar la separabilidad de otras variables, se supone que una determinada coordenada generalizada y su derivada aparecen juntas como una sola función. ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$$

$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

En ese caso, la función S se puede dividir en dos funciones, una que depende sólo de q _k y otra que depende sólo de las coordenadas generalizadas restantes.

$${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (indicada aquí como ), lo que produce una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.}$$

En casos afortunados, la función se puede separar completamente en funciones. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$

$${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

En tal caso, el problema pasa a las ecuaciones diferenciales ordinarias . ${\displaystyle N}$

La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de coordenadas generalizadas . Para las coordenadas ortogonales y hamiltonianas que no dependen del tiempo y son cuadráticas en los momentos generalizados, serán completamente separables si la energía potencial es separable de forma aditiva en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de la coordenada en el término de impulso correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel ). A modo ilustrativo, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle S}$

Ejemplos en varios sistemas de coordenadas.

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, se puede escribir el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservativo U.

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que existan funciones que puedan escribirse en la forma análoga ${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

Sustitución de la solución completamente separada.

$${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

Esta ecuación puede resolverse mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación para ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$

constante del movimiento ${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E.}$$

La siguiente ecuación diferencial ordinaria involucra la coordenada generalizada ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}$$

constante del movimientoecuación diferencial ordinaria final ${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$

${\displaystyle S}$

Coordenadas cilíndricas elípticas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas elípticas se puede escribir

$${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$

focoselipses ${\displaystyle \pm a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$

${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$ ${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$

$${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$$

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$

ecuaciones diferenciales ordinarias independientes

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$$

${\displaystyle S}$

Coordenadas cilíndricas parabólicas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede escribir

$${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tenga una forma análoga ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$

${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$

$${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.}$$

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$

ecuaciones diferenciales ordinarias independientes

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$$

$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$$

${\displaystyle S}$

Ondas y partículas

Frentes y trayectorias de ondas ópticas.

El HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda . ^[10] Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como “rayos” u ondas. El frente de onda se puede definir como la superficie que ha alcanzado en ese momento la luz emitida en un momento . Los rayos de luz y los frentes de ondas son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro. ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$ ${\textstyle t=0}$ ${\textstyle t}$

Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la "acción" es el tiempo de viaje a lo largo de un camino, ${\textstyle T}$

$${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$

índice de refracción ${\textstyle n}$ ${\textstyle ds}$

La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que se derivan de un principio variacional: calcule las trayectorias usando las ecuaciones de Euler-Lagrange o los frentes de onda usando la ecuación de Hamilton-Jacobi.

El frente de onda en el tiempo , para un sistema inicialmente en el tiempo , se define como el conjunto de puntos tales que . Si se conoce, se deduce inmediatamente el impulso. ${\textstyle t}$ ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

Una vez conocida, las tangentes a las trayectorias se calculan resolviendo la ecuación ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$

${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ ${\textstyle {\cal {L}}}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

Relación con la ecuación de Schrödinger

Las isosuperficies de la función se pueden determinar en cualquier momento t . El movimiento de una isosuperficie en función del tiempo se define por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntos de la isosuperficie. El movimiento de dicha isosuperficie puede considerarse como el de una onda que se mueve a través del espacio, aunque no obedece exactamente a la ecuación de onda . Para mostrar esto, sea S la fase de una onda. ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$

constante de Planckamplitudondanúmero complejo ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

ecuación de Schrödinger

Por el contrario, partiendo de la ecuación de Schrödinger y nuestra ansatz para , se puede deducir que ^[11] ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$$

El límite clásico ( ) de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntico a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi, ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

Aplicaciones

HJE en un campo gravitacional

Usando la relación energía-momento en la forma ^[12]

$${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$

masa en reposocontravariantestensor métricométrica inversaecuaciones de campo de Einsteinvelocidad de la luzcuatro impulsocuatro gradiente ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$

${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$

campo gravitacional

HJE en campos electromagnéticos

Para una partícula de masa en reposo y carga eléctrica que se mueve en un campo electromagnético con cuatro potenciales en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métrico tiene una forma ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}$ ${\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}$

$${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$$

^[13] ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,}$$

$${\displaystyle y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,}$$

$${\displaystyle z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$

$${\displaystyle \xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$

$${\displaystyle p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x},\quad p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},}$$

$${\displaystyle p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$

${\displaystyle \xi =ct-z}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

Una onda polarizada circularmente

En el caso de la polarización circular ,

$${\displaystyle E_{x}=E_{0}\sin \omega \xi _{1},\quad E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\quad A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.}$$

Por eso

$${\displaystyle x=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle y=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle p_{x}=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle p_{y}={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$

${\displaystyle \xi _{1}=\xi /c}$ ${\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}}$ ${\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}$

Una onda plana monocromática polarizada linealmente.

Para la onda plana, monocromática, polarizada linealmente con un campo dirigido a lo largo del eje ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle x={\text{const}},}$$

$${\displaystyle y_{0}=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},}$$

$${\displaystyle y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},\quad z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\quad \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},}$$

$${\displaystyle p_{x}=0,}$$

$${\displaystyle p_{y,0}={\frac {eE_{0}}{\omega }},}$$

$${\displaystyle p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}}$$

${\displaystyle E}$

Una onda electromagnética con un campo magnético solenoidal.

Para la onda electromagnética con campo magnético axial (solenoidal): ^[14]

$${\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle x={\text{constant}},}$$

$${\displaystyle y_{0}=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},}$$

$${\displaystyle y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle C_{z}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},}$$

$${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},}$$

$${\displaystyle p_{x}=0,}$$

$${\displaystyle p_{y,0}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},}$$

$${\displaystyle p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},}$$

$${\displaystyle p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},}$$

${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle L_{s}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle \varphi }$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Transformación canónica
• constante de movimiento
• Campo vectorial hamiltoniano
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• aproximación WKB
• Coordenadas del ángulo de acción

Referencias

1. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. págs. 484–492. ISBN 978-0-201-02918-5.(particularmente la discusión que comienza en el último párrafo de la página 491)
2. Sakurai, págs. 103-107.
3. Kálmán, Rudolf E. (1963). "La Teoría del Control Óptimo y el Cálculo de Variaciones". En Bellman, Richard (ed.). Técnicas de Optimización Matemática . Berkeley: Prensa de la Universidad de California. págs. 309–331. OCLC  1033974.
4. Mano, LN; Pinzón, JD (2008). Mecánica Analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57572-0.
5. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Mecánica clásica (3, [Nachdr.] ed.). San Francisco Múnich: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
6. Coopersmith, Jennifer (2017). El universo perezoso: una introducción al principio de mínima acción. Oxford, Reino Unido / Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874304-0.
7. Mano, LN; Pinzón, JD (2008). Mecánica Analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57572-0.
8. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. pag. 440.ISBN​ 978-0-201-02918-5.
9. Hanc, Jozef; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (1 de julio de 2005). "Mecánica variacional en una y dos dimensiones". Revista Estadounidense de Física . 73 (7): 603–610. Código Bib : 2005AmJPh..73..603H. doi :10.1119/1.1848516. ISSN  0002-9505.
10. Houchmandzadeh, Bahram (2020). "La ecuación de Hamilton-Jacobi: un enfoque alternativo". Revista Estadounidense de Física . 85 (5): 10.1119/10.0000781. arXiv : 1910.09414 . Código Bib : 2020AmJPh..88..353H. doi :10.1119/10.0000781. S2CID  204800598.
11. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. págs. 490–491. ISBN 978-0-201-02918-5.
12. Wheeler, Juan; Misner, Charles; Thorne, Kip (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 649, 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.
13. Landau, L .; Lifshitz, E. (1959). La teoría clásica de los campos . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. OCLC  17966515.
14. EV Shun'ko; DE Stevenson; Contra Belkin (2014). "Reactor de plasma de acoplamiento inductivo con energía de electrones de plasma controlable en el rango de ~6 a ~100 eV". Transacciones IEEE sobre ciencia del plasma . 42, parte II (3): 774–785. Código Bib : 2014ITPS...42..774S. doi :10.1109/TPS.2014.2299954. S2CID  34765246.

Otras lecturas

• Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2 ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Hamilton, W. (1833). "Sobre un método general para expresar las trayectorias de la luz y de los planetas mediante los coeficientes de una función característica" (PDF) . Revista de la Universidad de Dublín : 795–826.
• Hamilton, W. (1834). «Sobre la Aplicación a la Dinámica de un Método Matemático General previamente aplicado a la Óptica» (PDF) . Informe de la Asociación Británica : 513–518.
• Fetter, A. y Walecka, J. (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua . Libros de Dover. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Mecánica . Ámsterdam: Elsevier.
• Sakurai, JJ (1985). Mecánica cuántica moderna . Publicación Benjamín/Cummings. ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Jacobi, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , Gesammelte Werke de CGJ Jacobi (en alemán), Berlín: G. Reimer, OL  14009561M
• Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "La historia temprana de la dinámica Hamilton-Jacobi". Centauro . 44 (3–4): 161–227. doi :10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x. PMID  17357243.