Número de Nusselt

Relación de las tasas de transferencia de calor por convección y conducción de un fluido

En dinámica de fluidos térmicos , el número de Nusselt ( Nu , por Wilhelm Nusselt ^{[1] : 336} ) es la relación entre la transferencia de calor total y la transferencia de calor conductiva en un límite en un fluido . La transferencia de calor total combina conducción y convección . La convección incluye tanto la advección (movimiento del fluido) como la difusión (conducción). El componente conductivo se mide en las mismas condiciones que el convectivo pero para un fluido hipotéticamente inmóvil. Es un número adimensional , estrechamente relacionado con el número de Rayleigh del fluido . ^{[1] : 466}

Un número de Nusselt de orden uno representa la transferencia de calor por conducción pura. ^{[1] : 336} Un valor entre uno y 10 es característico del flujo slug o flujo laminar . ^[2] Un número de Nusselt mayor corresponde a una convección más activa, con un flujo turbulento típicamente en el rango 100-1000. ^[2]

Una propiedad adimensional similar es el número de Biot , que se refiere a la conductividad térmica de un cuerpo sólido en lugar de un fluido. El análogo de transferencia de masa del número de Nusselt es el número de Sherwood .

Definición

El número de Nusselt es la relación entre la transferencia total de calor (convección + conducción) y la transferencia de calor conductiva a través de un límite. Los flujos de calor por convección y conducción son paralelos entre sí y a la normal de la superficie del límite, y todos son perpendiculares al flujo medio del fluido en el caso simple.

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {\mbox{Total heat transfer }}{\mbox{Conductive heat transfer }}}={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}$

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección del flujo, L es la longitud característica y k es la conductividad térmica del fluido.

• La selección de la longitud característica debe realizarse en la dirección del crecimiento (o espesor) de la capa límite; algunos ejemplos de longitud característica son: el diámetro exterior de un cilindro en flujo transversal (externo) (perpendicular al eje del cilindro), la longitud de una placa vertical que experimenta convección natural o el diámetro de una esfera. Para formas complejas, la longitud puede definirse como el volumen del cuerpo de fluido dividido por el área de la superficie.
• La conductividad térmica del fluido normalmente (pero no siempre) se evalúa a la temperatura de la película , que para fines de ingeniería puede calcularse como la media de la temperatura del fluido en masa y la temperatura de la superficie de la pared.

A diferencia de la definición dada anteriormente, conocida como número de Nusselt promedio , el número de Nusselt local se define tomando la longitud como la distancia desde el límite de la superficie ^{[1] [ página necesaria ]} hasta el punto de interés local.

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}={\frac {h_{x}x}{k}}}$

El número medio o promedio se obtiene integrando la expresión en el rango de interés, como por ejemplo: ^[3]

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}={\frac {{\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}h_{x}\ dx\ L}{k}}={\frac {{\overline {h}}L}{k}}}$

Contexto

Es necesario comprender las capas límite de convección para comprender la transferencia de calor por convección entre una superficie y un fluido que fluye a su alrededor. Una capa límite térmica se desarrolla si la temperatura de la corriente libre del fluido y las temperaturas de la superficie difieren. Existe un perfil de temperatura debido al intercambio de energía que resulta de esta diferencia de temperatura.

Capa límite térmica

La tasa de transferencia de calor se puede escribir utilizando la ley de enfriamiento de Newton como

${\displaystyle Q_{y}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}$,

donde h es el coeficiente de transferencia de calor y A es el área de la superficie de transferencia de calor. Como la transferencia de calor en la superficie se realiza por conducción, la misma cantidad se puede expresar en términos de la conductividad térmica k :

${\displaystyle Q_{y}=-kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}}$.

Estos dos términos son iguales; por lo tanto

${\displaystyle -kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}$.

Reorganizando,

${\displaystyle {\frac {h}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}}}$.

Multiplicando por una longitud representativa L se obtiene una expresión adimensional:

${\displaystyle {\frac {hL}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\frac {\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}{L}}}}$.

El lado derecho es ahora la relación entre el gradiente de temperatura en la superficie y el gradiente de temperatura de referencia, mientras que el lado izquierdo es similar al módulo de Biot. Este se convierte en la relación entre la resistencia térmica conductiva y la resistencia térmica convectiva del fluido, también conocida como el número de Nusselt, Nu.

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}$.

Derivación

El número de Nusselt se puede obtener mediante un análisis adimensional de la ley de Fourier, ya que es igual al gradiente de temperatura adimensional en la superficie:

${\displaystyle q=-kA\nabla T}$, donde q es la tasa de transferencia de calor , k es la conductividad térmica constante y T la temperatura del fluido .

En efecto, si: y ${\displaystyle \nabla '=L\nabla }$ ${\displaystyle T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}}$

llegamos a

${\displaystyle -\nabla 'T'={\frac {L}{kA(T_{h}-T_{c})}}q={\frac {hL}{k}}}$

Luego definimos

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {hL}{k}}}$

Entonces la ecuación se convierte en

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}=-\nabla 'T'}$

Mediante integración sobre la superficie del cuerpo:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\mathrm {d} S'\!}$,

dónde . ${\displaystyle S'={\frac {S}{L^{2}}}}$

Correlaciones empíricas

Normalmente, para la convección libre, el número de Nusselt promedio se expresa como una función del número de Rayleigh y el número de Prandtl , escrito como:

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Ra} ,\mathrm {Pr} )}$

De lo contrario, para la convección forzada, el número de Nusselt generalmente es una función del número de Reynolds y del número de Prandtl , o

${\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Re} ,\mathrm {Pr} )}$

Existen correlaciones empíricas para una amplia variedad de geometrías que expresan el número de Nusselt en las formas mencionadas anteriormente. Véase también Coeficiente de transferencia de calor#Convective_heat_transfer_correlations .

Convección libre

Convección libre en una pared vertical

Citado ^{[4] : 493} como procedente de Churchill y Chu:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.68+{\frac {0.663\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}}{\left[1+(0.492/\mathrm {Pr} )^{9/16}\,\right]^{4/9}\,}}\quad \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{8}}$

Convección libre de placas horizontales

Si se define la longitud característica

${\displaystyle L\ ={\frac {A_{s}}{P}}}$

donde es el área de la superficie de la placa y es su perímetro. ${\displaystyle \mathrm {A} _{s}}$ ${\displaystyle P}$

Luego, para la superficie superior de un objeto caliente en un entorno más frío o la superficie inferior de un objeto frío en un entorno más caliente ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.54\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}\,\quad 10^{4}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{7}}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.15\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\,\quad 10^{7}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{11}}$

Y para la superficie inferior de un objeto caliente en un entorno más frío o la superficie superior de un objeto frío en un entorno más caliente ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.52\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}\,\quad 10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{10}}$

Convección libre desde un recinto calentado desde abajo

Citado ^[5] como procedente de Bejan:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.069\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}Pr^{0.074}\,\quad 3*10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 7*10^{9}}$

Esta ecuación "se cumple cuando la capa horizontal es suficientemente ancha como para que el efecto de los lados verticales cortos sea mínimo".

Fue determinado empíricamente por Globe y Dropkin en 1959: ^[6] “Se realizaron pruebas en contenedores cilíndricos con tapas y fondos de cobre y paredes aislantes”. Los contenedores utilizados tenían alrededor de 5” de diámetro y 2” de alto.

Placa plana en flujo laminar

El número de Nusselt local para el flujo laminar sobre una placa plana, a una distancia aguas abajo del borde de la placa, está dado por ^{[4] : ​​490} ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}\ =0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

El número de Nusselt promedio para el flujo laminar sobre una placa plana, desde el borde de la placa hasta una distancia aguas abajo , se da por ^{[4] : ​​490} ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}\ ={2}\cdot 0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\ =0.664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}$

Esfera en flujo convectivo

En algunas aplicaciones, como la evaporación de gotas esféricas de líquido en el aire, se utiliza la siguiente correlación: ^[7]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}\ ={2}+0.4\,\mathrm {Re} _{D}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\,}$

Convección forzada en flujo turbulento en tuberías

Correlación de Gnielinski

Correlación de Gnielinski para flujo turbulento en tubos: ^{[4] : 490, 515  [8]}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}={\frac {\left(f/8\right)\left(\mathrm {Re} _{D}-1000\right)\mathrm {Pr} }{1+12.7(f/8)^{1/2}\left(\mathrm {Pr} ^{2/3}-1\right)}}}$

donde f es el factor de fricción de Darcy que puede obtenerse a partir del diagrama de Moody o, para tubos lisos, de la correlación desarrollada por Petukhov: ^{[4] : 490}

${\displaystyle f=\left(0.79\ln \left(\mathrm {Re} _{D}\right)-1.64\right)^{-2}}$

La correlación de Gnielinski es válida para: ^{[4] : 490}

${\displaystyle 0.5\leq \mathrm {Pr} \leq 2000}$

${\displaystyle 3000\leq \mathrm {Re} _{D}\leq 5\times 10^{6}}$

Ecuación de Dittus-Boelter

La ecuación de Dittus-Boelter (para flujo turbulento) introducida por WH McAdams ^[9] es una función explícita para calcular el número de Nusselt. Es fácil de resolver, pero es menos precisa cuando hay una gran diferencia de temperatura en el fluido. Está diseñada para tubos lisos, por lo que se recomienda su uso en tubos rugosos (la mayoría de las aplicaciones comerciales). La ecuación de Dittus-Boelter es:

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.023\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{n}}$

dónde:

${\displaystyle D}$es el diámetro interior del conducto circular

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$es el numero de Prandtl

${\displaystyle n=0.4}$para el fluido que se calienta y para el fluido que se enfría. ^{[4] : 493} ${\displaystyle n=0.3}$

La ecuación de Dittus-Boelter es válida para ^{[4] : 514}

${\displaystyle 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 160}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\gtrsim 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

La ecuación de Dittus-Boelter es una buena aproximación en la que las diferencias de temperatura entre el fluido a granel y la superficie de transferencia de calor son mínimas, lo que evita la complejidad de la ecuación y la resolución iterativa. Si tomamos agua con una temperatura promedio de fluido a granel de 20 °C (68 °F), la viscosidad10,07 × 10 ⁻⁴  Pa.s y una temperatura de superficie de transferencia de calor de 40 °C (104 °F) (viscosidad6,96 × 10 ⁻⁴  Pa.s , se puede obtener un factor de corrección de viscosidad de 1,45. Este aumenta a 3,57 con una temperatura de superficie de transferencia de calor de 100 °C (212 °F) (viscosidad ${\displaystyle ({\mu }/{\mu _{s}})}$2,82 × 10 ⁻⁴  Pa.s ), lo que supone una diferencia significativa en el número de Nusselt y en el coeficiente de transferencia de calor.

Correlación Sieder-Tate

La correlación de Sieder-Tate para flujo turbulento es una función implícita , ya que analiza el sistema como un problema de valor límite no lineal . El resultado de Sieder-Tate puede ser más preciso ya que tiene en cuenta el cambio en la viscosidad ( y ) debido al cambio de temperatura entre la temperatura promedio del fluido a granel y la temperatura de la superficie de transferencia de calor, respectivamente. La correlación de Sieder-Tate normalmente se resuelve mediante un proceso iterativo, ya que el factor de viscosidad cambiará a medida que cambie el número de Nusselt. ^[10] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{s}}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.027\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\left({\frac {\mu }{\mu _{s}}}\right)^{0.14}}$^{[4] : 493}

dónde:

${\displaystyle \mu }$es la viscosidad del fluido a la temperatura del fluido en masa

${\displaystyle \mu _{s}}$es la viscosidad del fluido en la temperatura de la superficie límite de transferencia de calor

La correlación de Sieder-Tate es válida para ^{[4] : ​​493}

${\displaystyle 0.7\leq \mathrm {Pr} \leq 16\,700}$

${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\geq 10\,000}$

${\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}$

Convección forzada en flujo laminar tubular completamente desarrollado

Para un flujo laminar interno completamente desarrollado, los números de Nusselt tienden hacia un valor constante para tuberías largas.

Para flujo interno:

${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hD_{h}}{k_{f}}}}$

dónde:

D _h = Diámetro hidráulico

k _f = conductividad térmica del fluido

h = coeficiente de transferencia de calor por convección

Convección con temperatura uniforme para tubos circulares

De Incropera y DeWitt, ^{[4] : ​​486–487}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.66}$

La secuencia OEIS A282581 da este valor como . ${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.6567934577632923619...}$

Convección con flujo de calor uniforme para tubos circulares

Para el caso de flujo de calor superficial constante, ^{[4] : 486–487}

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=4.36}$

Véase también

• Número de Sherwood (número de Nusselt de transferencia de masa)
• Ecuación de Churchill-Bernstein
• Número de Biot
• Número de Reynolds
• Transferencia de calor por convección
• Coeficiente de transferencia de calor
• Conductividad térmica

Referencias

1. Çengel, Yunus A. (2002). Transferencia de calor y masa (2.ª ed.). McGraw-Hill.
2. "El número de Nusselt". Whiting School of Engineering . Consultado el 3 de abril de 2019 .
3. E. Sanvicente; et al. (2012). "Flujo de convección natural transicional y transferencia de calor en un canal abierto". Revista Internacional de Ciencias Térmicas . 63 : 87–104. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2012.07.004.
4. Incropera, Frank P. ; DeWitt, David P. (2007). Fundamentos de transferencia de calor y masa (6.ª ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-471-45728-2.
5. Bejan, Adrian (2013). Transferencia de calor por convección (PDF) (4.ª ed.). Wiley. ISBN  978-0-470-90037-6.
6. Globe, Samuel; Dropkin, David (1959). "Transferencia de calor por convección natural en líquidos confinados por dos placas horizontales y calentados desde abajo". J. Heat Transfer . 81 (1): 24–28. doi :10.1115/1.4008124 – vía ASME Digital Collection.
7. McAllister, Sara; Chen, Jyh-Yuan; Fernández Pello, Carlos (2011). "Vaporización de gotitas en flujo convectivo". Fundamentos de los procesos de combustión . Ingeniería mecánica. Nueva York: Springer. p. 159. doi :10.1007/978-1-4419-7943-8. ISBN 978-1-4419-7942-1. Número de serie LCCN  2011925371.
8. Gnielinski, Volker (1975). "Neue Gleichungen für den Wärme- und den Stoffübergang in turbulento durchströmten Rohren und Kanälen". Forsch. Ing.-Wes . 41 (1): 8–16. doi :10.1007/BF02559682. S2CID  124105274.
9. Winterton, RHS (febrero de 1998). "¿De dónde surgió la ecuación de Dittus y Boelter?" (PDF) . Revista internacional de transferencia de calor y masa . 41 (4–5). Elsevier: 809–810. Código bibliográfico : 1998IJHMT..41..809W. doi : 10.1016/S0017-9310(97)00177-4.
10. "Perfil de temperatura en el metal del tubo de un generador de vapor" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 23 de septiembre de 2009 .

Enlaces externos

• Derivación simple del número de Nusselt a partir de la ley de enfriamiento de Newton (consultado el 23 de septiembre de 2009)
• ThermoTurb: una calculadora de coeficientes de transferencia de calor