Número de Prandtl

Relación entre la difusividad cinemática y la difusividad térmica

El número de Prandtl ( Pr ) o grupo de Prandtl es un número adimensional , llamado así en honor al físico alemán Ludwig Prandtl , definido como la relación entre la difusividad del momento y la difusividad térmica . ^[1] El número de Prandtl se expresa como:

${\displaystyle \mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}}}={\frac {\mu /\rho }{k/(c_{p}\rho )}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \nu }$ : difusividad del momento ( viscosidad cinemática ), , ( unidades SI : m ² /s) ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$
• ${\displaystyle \alpha }$ : difusividad térmica , , (unidades del SI: m ² /s) ${\displaystyle \alpha =k/(\rho c_{p})}$
• ${\displaystyle \mu }$ : viscosidad dinámica , (unidades SI: Pa s = N s/m ² )
• ${\displaystyle k}$ : conductividad térmica , (unidades SI: W/(m·K))
• ${\displaystyle c_{p}}$ : calor específico , (unidades del SI: J/(kg·K))
• ${\displaystyle \rho }$ : densidad , (unidades SI: kg/m ³ ).

Tenga en cuenta que, mientras que el número de Reynolds y el número de Grashof tienen como subíndice una variable de escala, el número de Prandtl no contiene dicha escala de longitud y depende únicamente del fluido y del estado del mismo. El número de Prandtl suele encontrarse en las tablas de propiedades junto con otras propiedades, como la viscosidad y la conductividad térmica .

El análogo de transferencia de masa del número de Prandtl es el número de Schmidt y la relación entre el número de Prandtl y el número de Schmidt es el número de Lewis .

Valores experimentales

Valores típicos

Para la mayoría de los gases en un amplio rango de temperaturas y presiones, Pr es aproximadamente constante. Por lo tanto, se puede utilizar para determinar la conductividad térmica de los gases a altas temperaturas, donde es difícil medirla experimentalmente debido a la formación de corrientes de convección. ^[1]

Los valores típicos para Pr son:

• 0,003 para potasio fundido a 975 K ^[1]
• alrededor de 0,015 para el mercurio
• 0,065 para litio fundido a 975 K ^[1]
• alrededor de 0,16–0,7 para mezclas de gases nobles o gases nobles con hidrógeno
• 0,63 para el oxígeno ^[1]
• alrededor de 0,71 para el aire y muchos otros gases
• 1,38 para amoniaco gaseoso ^[1]
• Entre 4 y 5 para refrigerante R-12
• alrededor de 7,56 para el agua (a 18 °C )
• 13,4 y 7,2 para agua de mar (a 0 °C y 20 °C respectivamente)
• 50 para n -butanol ^[1]
• Entre 100 y 40.000 para aceite de motor
• 1000 para glicerol ^[1]
• 10.000 para polímeros fundidos ^[1]
• alrededor de 1 × 10²⁵ para el manto de la Tierra .

Fórmula para el cálculo del número de Prandtl del aire y del agua

Para el aire con una presión de 1 bar, los números de Prandtl en el rango de temperatura entre −100 °C y +500 °C se pueden calcular utilizando la fórmula que se indica a continuación. ^[2] La temperatura se debe utilizar en grados Celsius. Las desviaciones son de un máximo del 0,1 % con respecto a los valores de la literatura.

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\text{air}}={\frac {10^{9}}{1.1\cdot \vartheta ^{3}-1200\cdot \vartheta ^{2}+322000\cdot \vartheta +1.393\cdot 10^{9}}}}$, donde está la temperatura en Celsius. ${\displaystyle \vartheta }$

Los números de Prandtl para el agua (1 bar) se pueden determinar en el rango de temperatura entre 0 °C y 90 °C utilizando la fórmula que se indica a continuación. ^[2] La temperatura se debe utilizar en la unidad de grados Celsius. Las desviaciones son de un máximo del 1 % con respecto a los valores de la literatura.

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\text{water}}={\frac {50000}{\vartheta ^{2}+155\cdot \vartheta +3700}}}$

Interpretación física

Valores pequeños del número de Prandtl, Pr ≪ 1 , significan que la difusividad térmica domina. Mientras que con valores grandes, Pr ≫ 1 , la difusividad del momento domina el comportamiento. Por ejemplo, el valor indicado para el mercurio líquido indica que la conducción de calor es más significativa en comparación con la convección , por lo que la difusividad térmica es dominante. Sin embargo, el aceite de motor con su alta viscosidad y baja conductividad térmica, tiene una difusividad del momento más alta en comparación con la difusividad térmica. ^[3]

Los números de Prandtl de los gases son aproximadamente 1, lo que indica que tanto el momento como el calor se disipan a través del fluido aproximadamente a la misma velocidad. El calor se difunde muy rápidamente en metales líquidos ( Pr ≪ 1 ) y muy lentamente en aceites ( Pr ≫ 1 ) en relación con el momento. En consecuencia, la capa límite térmica es mucho más gruesa para los metales líquidos y mucho más delgada para los aceites en relación con la capa límite de velocidad .

En los problemas de transferencia de calor, el número de Prandtl controla el espesor relativo de las capas límite térmica y de momento . Cuando Pr es pequeño, significa que el calor se difunde rápidamente en comparación con la velocidad (momento). Esto significa que, en el caso de los metales líquidos, la capa límite térmica es mucho más gruesa que la capa límite de velocidad.

En las capas límite laminares, la relación entre el espesor de la capa límite térmica y el espesor de la capa límite de momento sobre una placa plana se aproxima bien mediante ^[4].

${\displaystyle {\frac {\delta _{t}}{\delta }}=\mathrm {Pr} ^{-{\frac {1}{3}}},\quad 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 50,}$

donde es el espesor de la capa límite térmica y es el espesor de la capa límite del momento. ${\displaystyle \delta _{t}}$ ${\displaystyle \delta }$

Para el flujo incompresible sobre una placa plana, las dos correlaciones del número de Nusselt son asintóticamente correctas: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}=0.339\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}},\quad \mathrm {Pr} \to \infty ,}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}=0.565\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{2}},\quad \mathrm {Pr} \to 0,}$

donde es el número de Reynolds . Estas dos soluciones asintóticas se pueden combinar utilizando el concepto de la norma (matemáticas) : ^[4] ${\displaystyle \mathrm {Re} }$

${\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}}}{\left(1+\left({\frac {0.0468}{\mathrm {Pr} }}\right)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.}$

Véase también

• Número turbulento de Prandtl
• Número magnético de Prandtl

Referencias

1. Coulson, JM; Richardson, JF (1999). Ingeniería química, volumen 1 (6.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-4444-0.
2. tec-science (10-05-2020). «Número de Prandtl». tec-science . Consultado el 25-06-2020 .
3. Çengel, Yunus A. (2003). Transferencia de calor: un enfoque práctico (2.ª ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0072458933.OCLC 50192222  .
4. Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). Un libro de texto sobre transferencia de calor (4.ª ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

Lectura adicional

• White, FM (2006). Flujo de fluidos viscosos (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-240231-8.