Métodos de Monte Carlo para la determinación del precio de las opciones

En finanzas matemáticas , un modelo de opciones de Monte Carlo utiliza métodos de Monte Carlo ^{[Notas 1]} para calcular el valor de una opción con múltiples fuentes de incertidumbre o con características complicadas. ^[1] La primera aplicación a la fijación de precios de opciones fue por Phelim Boyle en 1977 (para opciones europeas ). En 1996, M. Broadie y P. Glasserman mostraron cómo fijar el precio de las opciones asiáticas mediante Monte Carlo. Un desarrollo importante fue la introducción en 1996 por Carriere de los métodos de Monte Carlo para opciones con características de ejercicio temprano .

Metodología

En términos teóricos , la valoración de Monte Carlo se basa en una valoración neutral al riesgo. ^[1] Aquí el precio de la opción es su valor esperado descontado ; véase neutralidad al riesgo y fijación racional de precios . La técnica que se aplica entonces es (1) generar una gran cantidad de posibles, pero aleatorias , trayectorias de precios para el subyacente (o subyacentes) mediante simulación , y (2) calcular luego el valor de ejercicio asociado (es decir, "recompensa") de la opción para cada trayectoria. (3) Luego se promedian estas recompensas y (4) se descuentan al día de hoy. Este resultado es el valor de la opción. ^[2]

Este enfoque, aunque relativamente sencillo, permite una complejidad creciente:

• Una opción sobre acciones puede modelarse con una fuente de incertidumbre: el precio de la acción subyacente en cuestión. ^[2] Aquí el precio del instrumento subyacente generalmente se modela de tal manera que sigue un movimiento browniano geométrico con deriva y volatilidad constantes . Entonces: , donde se encuentra a través de un muestreo aleatorio de una distribución normal ; vea más en Black–Scholes . Dado que el proceso aleatorio subyacente es el mismo, para suficientes trayectorias de precios, el valor de una opción europea aquí debería ser el mismo que bajo Black–Scholes . Sin embargo, de manera más general, la simulación se emplea para derivados exóticos dependientes de la trayectoria , como las opciones asiáticas . ${\displaystyle \ S_{t}\,}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

• En otros casos, la fuente de incertidumbre puede estar alejada. Por ejemplo, para las opciones sobre bonos ^[3] el subyacente es un bono , pero la fuente de incertidumbre es la tasa de interés anualizada (es decir, la tasa a corto plazo ). Aquí, para cada curva de rendimiento generada aleatoriamente observamos un precio de bono resultante diferente en la fecha de ejercicio de la opción; este precio de bono es entonces el insumo para la determinación del pago de la opción. El mismo enfoque se utiliza para valorar swaptions ^[4] , donde el valor del swap subyacente también es una función de la tasa de interés en evolución. (Mientras que estas opciones se valoran más comúnmente utilizando modelos basados ​​en celosía , como se mencionó anteriormente, para los derivados de tasa de interés dependientes de la trayectoria , como los CMO , la simulación es la técnica principal empleada. ^[5] ) Para los modelos utilizados para simular la tasa de interés, consulte más información en Modelo de tasa a corto plazo ; "para crear simulaciones de tasa de interés realistas" . A veces se emplean modelos de tasa a corto plazo multifactoriales . ^[6] Para aplicar la simulación a los IRD, el analista primero debe "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo se ajusten mejor a los precios de mercado observados.

• Los métodos de Monte Carlo permiten la capitalización de la incertidumbre . ^[7] Por ejemplo, cuando el subyacente está denominado en una moneda extranjera, una fuente adicional de incertidumbre será el tipo de cambio : el precio del subyacente y el tipo de cambio deben simularse por separado y luego combinarse para determinar el valor del subyacente en la moneda local. En todos estos modelos, también se incorpora la correlación entre las fuentes subyacentes de riesgo; véase la descomposición de Cholesky § Simulación de Monte Carlo . También se pueden introducir otras complicaciones, como el impacto de los precios de las materias primas o la inflación en el subyacente. Dado que la simulación puede dar cabida a problemas complejos de este tipo, a menudo se utiliza para analizar opciones reales ^[1] donde la decisión de la dirección en cualquier momento es una función de múltiples variables subyacentes.

• La simulación también se puede utilizar para valorar opciones en las que el resultado depende del valor de múltiples activos subyacentes ^[8], como una opción de cesta o una opción arcoíris . En este caso, también se incorpora la correlación entre los rendimientos de los activos. ^{[ ¿Según quién? ]}

• Según sea necesario, la simulación de Monte Carlo se puede utilizar con cualquier tipo de distribución de probabilidad , incluidas las distribuciones cambiantes: el modelador no está limitado a retornos normales o log-normales ; ^[9] véase, por ejemplo, el método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales . Además, el proceso estocástico del subyacente puede especificarse de modo que presente saltos o reversión a la media o ambos; esta característica hace que la simulación sea el principal método de valoración aplicable a los derivados de energía . ^[10] Además, algunos modelos incluso permiten variar (aleatoriamente) los parámetros estadísticos (y otros) de las fuentes de incertidumbre. Por ejemplo, en los modelos que incorporan volatilidad estocástica , la volatilidad del subyacente cambia con el tiempo; véase el modelo de Heston . ^{[ cita requerida ]}

Mínimo cuadrado Monte Carlo

El método Monte Carlo de mínimos cuadrados es una técnica para valorar opciones de ejercicio temprano (es decir, opciones bermudeñas o americanas ). Fue introducido por primera vez por Jacques Carriere en 1996. ^[11]

Se basa en la iteración de un procedimiento de dos pasos:

• En primer lugar, se lleva a cabo un proceso de inducción hacia atrás en el que se asigna recursivamente un valor a cada estado en cada paso de tiempo. El valor se define como la regresión de mínimos cuadrados contra el precio de mercado del valor de la opción en ese estado y momento (paso). El valor de la opción para esta regresión se define como el valor de las posibilidades de ejercicio (que dependen del precio de mercado) más el valor del paso de tiempo en el que se produciría ese ejercicio (definido en el paso anterior del proceso). ^[12]
• En segundo lugar, cuando se valoran todos los estados para cada paso de tiempo, el valor de la opción se calcula moviéndose a través de los pasos de tiempo y estados tomando una decisión óptima sobre el ejercicio de la opción en cada paso de la mano de una trayectoria de precios y el valor del estado que resultaría. Este segundo paso se puede realizar con múltiples trayectorias de precios para agregar un efecto estocástico al procedimiento. ^[11]

Solicitud

Como se puede observar, los métodos de Monte Carlo son particularmente útiles en la valoración de opciones con múltiples fuentes de incertidumbre o con características complicadas, lo que las haría difíciles de valorar a través de un cálculo sencillo de estilo Black-Scholes o basado en retículas . Por lo tanto, la técnica se usa ampliamente en la valoración de estructuras dependientes de la trayectoria como las opciones retrospectivas y asiáticas ^[9] y en el análisis de opciones reales . ^{[1] [7]} Además, como se mencionó anteriormente, el modelador no está limitado en cuanto a la distribución de probabilidad asumida. ^[9]

Por el contrario, si existe una técnica analítica para valorar la opción (o incluso una técnica numérica , como un árbol de precios (modificado) ^[9] ), los métodos de Monte Carlo normalmente serán demasiado lentos para ser competitivos. Son, en cierto sentido, un método de último recurso; ^[9] véase más adelante en Métodos de Monte Carlo en finanzas . Con una capacidad de cálculo más rápida, esta restricción computacional es una preocupación menor. ^{[ ¿según quién? ]}

Véase también

• Métodos de Monte Carlo en finanzas
• Métodos cuasi-Monte Carlo en finanzas
• Modelado estocástico (seguros)
• Modelo de activos estocásticos

Referencias

Notas

1. Aunque el término "método de Montecarlo" fue acuñado por Stanislaw Ulam en la década de 1940, algunos remontan estos métodos al naturalista francés del siglo XVIII Buffon , y a una pregunta que formuló sobre los resultados de dejar caer una aguja al azar sobre un suelo o una mesa rayados. Véase La aguja de Buffon .

Fuentes

1. Marco Dias: Opciones reales con simulación de Monte Carlo
2. Don Chance: Nota de enseñanza 96-03: Simulación de Monte Carlo
3. Peter Carr y Guang Yang: Simulación de opciones de bonos estadounidenses en un marco de HJM
4. Carlos Blanco, Josh Gray y Marc Hazzard: Métodos de valoración alternativos para swaptions: el diablo está en los detalles Archivado el 2 de diciembre de 2007 en Wayback Machine.
5. Frank J. Fabozzi : Valoración de títulos de renta fija y derivados, pág. 138
6. Donald R. van Deventer (Kamakura Corporation): Dificultades en la gestión de activos y pasivos: modelos de estructura temporal de un factor Archivado el 3 de abril de 2012 en Wayback Machine.
7. Gonzalo Cortazar, Miguel Gravet y Jorge Urzua: La valoración de opciones reales americanas multidimensionales utilizando el método de simulación LSM
8. global-derivatives.com: Opciones de cesta – Simulación
9. Rich Tanenbaum: La batalla de los modelos de precios: árboles vs. Monte Carlo
10. Les Clewlow, Chris Strickland y Vince Kaminski: Ampliación de la difusión de salto con reversión a la media
11. Carriere, Jacques (1996). "Valoración del precio de ejercicio anticipado de opciones mediante simulaciones y regresión no paramétrica". Seguros: Matemáticas y Economía . 19 : 19–30. doi :10.1016/S0167-6687(96)00004-2.
12. Longstaff, Francis. "Valoración de opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados" (PDF) . Consultado el 18 de diciembre de 2019 .

Referencias primarias

• Boyle, Phelim P. (1977). "Opciones: un enfoque de Monte Carlo". Journal of Financial Economics . 4 (3): 323–338. doi :10.1016/0304-405x(77)90005-8 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Broadie, M.; Glasserman, P. (1996). "Estimating Security Price Derivatives Using Simulation" (Estimación de derivados de precios de valores mediante simulación) (PDF) . Management Science . 42 (2): 269–285. CiteSeerX  10.1.1.196.1128 . doi :10.1287/mnsc.42.2.269 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). "Valoración de opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados". Review of Financial Studies . 14 : 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi :10.1093/rfs/14.1.113 . Consultado el 28 de junio de 2012 .

Bibliografía

• Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: metodologías y aplicaciones para la fijación de precios y la gestión del riesgo . Riesgo.
• Paul Glasserman (2003). Métodos de Monte Carlo en ingeniería financiera . Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-00451-8.
• Peter Jaeckel (2002). Métodos de Monte Carlo en finanzas . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-49741-7.
• Don L. McLeish (2005). Simulación de Monte Carlo y finanzas . ISBN 978-0-471-67778-9.
• Christian P. Robert, George Casella (2004). Métodos estadísticos de Monte Carlo. ISBN 978-0-387-21239-5.

Enlaces externos

Herramientas en línea

• Serie temporal de precios de acciones simulados con Monte Carlo y generador de números aleatorios (permite elegir la distribución), Steven Whitney

Documentos y documentos de debate

• Simulación de Monte Carlo, Prof. Don M. Chance, Universidad Estatal de Luisiana
• Determinación de precios de opciones complejas mediante una simulación de Monte Carlo simple, Peter Fink (reimpresión en quantnotes.com)
• Simulación de Montecarlo en finanzas, global-derivatives.com
• Valoración derivada de Monte Carlo, continuación, Timothy L. Krehbiel, Universidad Estatal de Oklahoma–Stillwater
• Aplicaciones de los métodos de Monte Carlo en finanzas: fijación de precios de opciones, Y. Lai y J. Spanier, Claremont Graduate University
• Fijación de precios de opciones mediante simulación, Bernt Arne Ødegaard, Norwegian School of Management
• Fijación de precios y cobertura de opciones exóticas con simulaciones de Monte Carlo, Augusto Perilla, Diana Oancea, Prof. Michael Rockinger, HEC Lausanne
• Método de Monte Carlo, riskglossary.com