Opción de retrospectiva

Las opciones retrospectivas , en la terminología financiera , son un tipo de opción exótica con dependencia de trayectoria, entre muchos otros tipos de opciones . El pago depende del precio óptimo (máximo o mínimo) del activo subyacente que se produzca durante la vida de la opción. La opción permite al titular "mirar hacia atrás" en el tiempo para determinar el pago. Existen dos tipos de opciones retrospectivas: con rumbo flotante y con rumbo fijo.

Opción retrospectiva con strike flotante

Como su nombre lo indica, el precio de ejercicio de la opción es flotante y se determina al vencimiento. El ejercicio flotante es el valor óptimo del precio del activo subyacente durante la vida de la opción. El pago es la diferencia máxima entre el precio del activo de mercado al vencimiento y el precio de ejercicio flotante. Para la opción de compra, el precio de ejercicio se fija en el precio más bajo del activo durante la vida de la opción y, para la opción de venta, se fija en el precio más alto del activo. Tenga en cuenta que estas opciones no son realmente opciones, ya que siempre serán ejercidas por su titular. De hecho, la opción nunca está fuera de precio, lo que la hace más cara que una opción estándar. Las funciones de pago para la llamada al pasado y la venta al pasado, respectivamente, vienen dadas por:

${\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},~~{\text{and}}~~LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0)=S_{max}-S_{T},}$

donde es el precio máximo del activo durante la vida de la opción, es el precio mínimo del activo durante la vida de la opción y es el precio del activo subyacente al vencimiento . ${\displaystyle S_{max}}$ ${\displaystyle S_{min}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle T}$

Opción retrospectiva con strike fijo

En cuanto a las opciones europeas estándar , el precio de ejercicio de la opción es fijo. La diferencia es que la opción no se ejerce al precio de vencimiento: el pago es la diferencia máxima entre el precio óptimo del activo subyacente y el precio de ejercicio. Para la opción de compra, el titular elige ejercerla en el momento en que el precio del activo subyacente esté en su nivel más alto. Para la opción de venta, el titular elige ejercerla al precio más bajo del activo subyacente. Las funciones de pago para la llamada al pasado y la venta al pasado, respectivamente, vienen dadas por:

${\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{and}}~~LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}$

donde es el precio máximo del activo durante la vida de la opción, es el precio mínimo del activo durante la vida de la opción y es el precio de ejercicio. ${\displaystyle S_{max}}$ ${\displaystyle S_{min}}$ ${\displaystyle K}$

Precio sin arbitraje de opciones retroactivas con ejercicio flotante

Utilizando el modelo de Black-Scholes y sus notaciones, podemos fijar el precio de las opciones retrospectivas europeas con un ejercicio flotante. El método de fijación de precios es mucho más complicado que el de las opciones europeas estándar y se puede encontrar en Musiela . ^[1] Supongamos que existe una tasa de interés libre de riesgo continuamente compuesta y una volatilidad constante de las acciones . Supongamos que el tiempo hasta el vencimiento es , y que fijaremos el precio de la opción en el momento , aunque la vida de la opción comenzó en el momento cero. Definir . Finalmente, establezca eso ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle t<T}$ ${\displaystyle \tau =T-t}$

${\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u\leq t}S_{u}{\text{ and }}S_{t}=S.}$

Entonces, el precio de la opción call retrospectiva con ejercicio flotante viene dado por:

${\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}$

dónde

${\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}$

y donde está la función de distribución acumulativa normal estándar , . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$

De manera similar, el precio de la opción de venta retrospectiva con ejercicio flotante viene dado por:

${\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}$

Opciones de retrospectiva parcial

Las opciones retrospectivas parciales son una subclase de opciones retrospectivas con la misma estructura de pagos, pero con el objetivo de reducir su precio justo. Una forma es escalar el precio justo linealmente con constante , donde . ^[2] Por lo tanto, el pago es: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$

${\displaystyle \lambda (\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T})}$

Seleccionar fechas específicas es una forma más compleja de crear opciones de retrospectiva parciales y otras opciones parciales que dependen de la ruta. El principio consiste en seleccionar un subconjunto de fechas de seguimiento, de modo que la condición retrospectiva sea menos fuerte y, por tanto, reduzca la prima. Los ejemplos incluyen la opción de retrospectiva parcial propuesta por Heynen y Kat, ^[3] y la opción de retrospectiva amnésica propuesta por Chang y Li. ^[4] Las opciones discretas que dependen parcialmente de la trayectoria están sobrevaloradas bajo supuestos continuos; su fijación de precios es compleja y normalmente se realiza mediante métodos numéricos. ^{[5] [6]}

Referencias

1. Musiela, Marcos; Rutkowski, Marek (25 de noviembre de 2004). Métodos de martingala en modelos financieros . Saltador. ISBN 978-3-540-20966-9.
2. Conze, Antoine; Viswanathan (1991). "Opciones dependientes de la ruta: el caso de las opciones al pasado". La Revista de Finanzas . 46 (5): 1893-1907. doi :10.1111/j.1540-6261.1991.tb04648.x.
3. Heynen, Robert; Harry, Kat (1995). "Opciones lookback con seguimiento discreto y parcial del precio del subyacente". Finanzas Matemáticas Aplicadas . 2 (4): 273–284. doi :10.1080/13504869500000014.
4. Chang, Ho-Chun Herbert; Li, Kevin (2018). "La opción retrospectiva amnésica: criptomonedas y opciones retrospectivas monitoreadas selectivamente". Fronteras en Matemática Aplicada y Estadística . 4 . doi : 10.3389/fams.2018.00010 .
5. Boyárchenko, Svetlana; Levendorski, Sergei (2013). "Inversión eficiente de Laplace, factorización de Wiener-Hopf y retrospectiva de precios". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 16 (3): 1350011. doi : 10.1142/S0219024913500118.
6. Feng, encalado; Linetsky, Vadim (2009). "Cálculo de momentos exponenciales del máximo discreto de un proceso de Lévy y opciones retrospectivas". Finanzas y Estocástica . 13 (3): 1350011. doi : 10.1142/S0219024913500118.