En matemáticas , un cuadro de Young ( / t æ ˈ b l oʊ , ˈ t æ b l oʊ / ; plural: tableaux ) es un objeto combinatorio útil en la teoría de la representación y el cálculo de Schubert . Proporciona una manera conveniente de describir las representaciones de grupo de los grupos lineales generales y simétricos y de estudiar sus propiedades. Los cuadros de Young fueron introducidos por Alfred Young , un matemático de la Universidad de Cambridge , en 1900. [1] [2] Luego, Georg Frobenius los aplicó al estudio del grupo simétrico en 1903. Su teoría fue desarrollada aún más por muchos matemáticos, incluido Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B. Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .
Nota: este artículo utiliza la convención inglesa para mostrar diagramas y cuadros de Young .
Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , particularmente cuando se representa mediante puntos) es una colección finita de cuadros o celdas, dispuestas en filas justificadas a la izquierda, con las longitudes de las filas en orden no creciente. Al enumerar el número de cuadros en cada fila se obtiene una partición λ de un número entero no negativo n , el número total de cuadros del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene forma λ y contiene la misma información que esa partición. La contención de un diagrama de Young en otro define un ordenamiento parcial en el conjunto de todas las particiones, que en realidad es una estructura reticular , conocida como red de Young . Al enumerar el número de cuadros de un diagrama de Young en cada columna se obtiene otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; se obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.
Existe un acuerdo casi universal de que al etiquetar cuadros de diagramas de Young por pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo índice selecciona el cuadro dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, en consecuencia, cuadros: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, la segunda apila cada fila encima de la anterior. Puesto que la primera convención es utilizada principalmente por los anglófonos mientras que la segunda es a menudo preferida por los francófonos , es habitual referirse a estas convenciones respectivamente como notación inglesa y notación francesa ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonald aconseja a los lectores que prefieran la convención francesa "leer este libro al revés en un espejo" (Macdonald 1979, p. 2). Esta nomenclatura probablemente comenzó siendo jocosa. La notación inglesa corresponde a la utilizada universalmente para las matrices, mientras que la notación francesa se acerca más a la convención de coordenadas cartesianas ; sin embargo, la notación francesa difiere de esa convención al colocar primero la coordenada vertical. La figura de la derecha muestra, usando la notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, midiendo las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).
En muchas aplicaciones, por ejemplo al definir funciones de Jack , es conveniente definir la longitud del brazo a λ ( s ) de una caja s como el número de cajas a la derecha de s en el diagrama λ en notación inglesa. De manera similar, la longitud del cateto l λ ( s ) es el número de casillas debajo de s . La longitud del gancho de una caja s es el número de cajas a la derecha de s o debajo de s en notación inglesa, incluida la propia caja s ; en otras palabras, la longitud del gancho es a λ ( s ) + l λ ( s ) + 1.
Un cuadro de Young se obtiene rellenando las casillas del diagrama de Young con símbolos tomados de algún alfabeto , que normalmente se requiere que sea un conjunto totalmente ordenado . Originalmente ese alfabeto era un conjunto de variables indexadas x 1 , x 2 , x 3 ..., pero ahora se suele utilizar un conjunto de números por motivos de brevedad. En su aplicación original a las representaciones del grupo simétrico , los cuadros de Young tienen n entradas distintas, asignadas arbitrariamente a cuadros del diagrama. Un cuadro se llama estándar si las entradas en cada fila y cada columna son crecientes. El número de cuadros de Young estándar distintos en n entradas viene dado por los números de involución
En otras aplicaciones, es natural permitir que el mismo número aparezca más de una vez (o ninguna) en un cuadro. Un cuadro se llama semiestándar o estricto de columnas , si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente en cada columna. Al registrar el número de veces que aparece cada número en un cuadro, se obtiene una secuencia conocida como peso del cuadro. Por lo tanto, los cuadros estándar de Young son precisamente los cuadros semiestándar de peso (1,1,...,1), que requieren que cada número entero hasta n ocurra exactamente una vez.
En un cuadro estándar de Young, el número entero es un descenso si aparece en una fila estrictamente debajo de . La suma de los descensos se denomina índice mayor del cuadro. [3]
Hay varias variaciones de esta definición: por ejemplo, en un cuadro de filas estrictas, las entradas aumentan estrictamente a lo largo de las filas y aumentan débilmente a lo largo de las columnas. Además, se han considerado cuadros con entradas decrecientes , notablemente, en la teoría de particiones planas . También hay generalizaciones como cuadros de dominó o cuadros de cinta, en los que se pueden agrupar varias casillas antes de asignarles entradas.
Una forma sesgada es un par de particiones ( λ , μ ) tales que el diagrama de Young de λ contiene el diagrama de Young de μ ; se denota por λ / μ . Si λ = ( λ 1 , λ 2 , ...) y μ = ( μ 1 , μ 2 , ...) , entonces la contención de diagramas significa que μ i ≤ λ i para todo i . El diagrama sesgado de una forma sesgada λ / μ es la diferencia teórica de conjuntos de los diagramas de Young de λ y μ : el conjunto de cuadrados que pertenecen al diagrama de λ pero no al de μ . Se obtiene un cuadro sesgado de forma λ / μ llenando los cuadrados del diagrama sesgado correspondiente; dicho cuadro es semiestándar si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna, y es estándar si, además, todos los números desde 1 hasta el número de cuadrados del diagrama sesgado ocurren exactamente una vez. Si bien el mapa desde las particiones hasta sus diagramas de Young es inyectivo, este no es el caso del mapa desde las formas sesgadas hasta los diagramas sesgados; [4] por lo tanto, la forma de un diagrama sesgado no siempre se puede determinar únicamente a partir del conjunto de cuadrados rellenos. Aunque muchas propiedades de los cuadros sesgados sólo dependen de los cuadrados rellenos, algunas operaciones definidas en ellos requieren un conocimiento explícito de λ y μ , por lo que es importante que los cuadros sesgados registren esta información: dos cuadros sesgados distintos pueden diferir sólo en su forma, mientras ocupan el mismo conjunto de cuadrados, cada uno lleno con las mismas entradas. [5] Los cuadros jóvenes se pueden identificar con cuadros sesgados en los que μ es la partición vacía (0) (la partición única de 0).
Cualquier cuadro semiestándar sesgado T de forma λ / μ con entradas enteras positivas da lugar a una secuencia de particiones (o diagramas de Young), comenzando con μ y tomando como partición i coloca más adelante en la secuencia aquella cuyo diagrama se obtiene de el de μ sumando todas las casillas que contienen un valor ≤ i en T ; esta partición finalmente se vuelve igual a λ . Cualquier par de formas sucesivas en tal secuencia es una forma sesgada cuyo diagrama contiene como máximo un cuadro en cada columna; Estas formas se llaman franjas horizontales . Esta secuencia de particiones determina completamente T y, de hecho, es posible definir (sesgar) cuadros semiestándar como tales secuencias, como lo hace Macdonald (Macdonald 1979, p. 4). Esta definición incorpora las particiones λ y μ en los datos que componen el cuadro sesgado.
Los cuadros jóvenes tienen numerosas aplicaciones en combinatoria , teoría de la representación y geometría algebraica . Se han explorado varias formas de contar cuadros de Young que conducen a la definición y las identidades de las funciones de Schur .
Se conocen muchos algoritmos combinatorios en cuadros, incluido el jeu de taquin de Schützenberger y la correspondencia Robinson-Schensted-Knuth . Lascoux y Schützenberger estudiaron un producto asociativo en el conjunto de todos los cuadros semiestándar de Young, dándole la estructura llamada monoide plactico (francés: le monoïde plaxique ).
En teoría de la representación, los cuadros estándar de Young de tamaño k describen bases en representaciones irreducibles del grupo simétrico en k letras. La base monomial estándar en una representación irreducible de dimensión finita del grupo lineal general GL n está parametrizada por el conjunto de cuadros de Young semiestándar de forma fija sobre el alfabeto {1, 2, ..., n }. Esto tiene importantes consecuencias para la teoría invariante , a partir del trabajo de Hodge sobre el anillo de coordenadas homogéneo del Grassmanniano y explorado más a fondo por Gian-Carlo Rota con sus colaboradores, de Concini y Procesi , y Eisenbud . La regla de Littlewood-Richardson que describe (entre otras cosas) la descomposición de productos tensoriales de representaciones irreducibles de GL n en componentes irreducibles se formula en términos de ciertos cuadros semiestándar sesgados.
Las aplicaciones a la geometría algebraica se centran en el cálculo de Schubert sobre los Grassmannianos y las variedades de banderas . Ciertas clases de cohomología importantes pueden representarse mediante polinomios de Schubert y describirse en términos de cuadros de Young.
Los diagramas de Young están en correspondencia uno a uno con representaciones irreductibles del grupo simétrico sobre los números complejos . Proporcionan una manera conveniente de especificar los simetrizadores de Young a partir de los cuales se construyen las representaciones irreducibles . Del diagrama correspondiente se pueden deducir muchos datos sobre una representación. A continuación, describimos dos ejemplos: determinación de la dimensión de una representación y representaciones restringidas. En ambos casos, veremos que algunas propiedades de una representación se pueden determinar usando simplemente su diagrama. Los cuadros jóvenes participan en el uso del grupo simétrico en los estudios de química cuántica de átomos, moléculas y sólidos. [6] [7]
Los diagramas de Young también parametrizan las representaciones polinómicas irreducibles del grupo lineal general GL n (cuando tienen como máximo n filas no vacías), o las representaciones irreducibles del grupo lineal especial SL n (cuando tienen como máximo n − 1 filas no vacías), o las representaciones complejas irreducibles del grupo unitario especial SU n (nuevamente cuando tienen como máximo n − 1 filas no vacías). En estos casos, los cuadros semiestándar con entradas hasta n juegan un papel central, en lugar de los cuadros estándar; en particular es el número de esos cuadros lo que determina la dimensión de la representación.
La dimensión de la representación irreducible π λ del grupo simétrico S n correspondiente a una partición λ de n es igual al número de cuadros de Young estándar diferentes que se pueden obtener del diagrama de la representación. Este número se puede calcular mediante la fórmula de longitud del anzuelo .
Un gancho de longitud de gancho ( x ) de una caja x en el diagrama de Young Y ( λ ) de forma λ es el número de cajas que están en la misma fila a la derecha de ella más las cajas en la misma columna debajo de ella, más uno ( para la propia caja). Según la fórmula de la longitud del gancho, la dimensión de una representación irreducible es n . dividido por el producto de las longitudes de los ganchos de todas las cajas en el diagrama de la representación:
La figura de la derecha muestra las longitudes de los ganchos para todas las cajas en el diagrama de la partición 10 = 5 + 4 + 1. Así
De manera similar, la dimensión de la representación irreducible W ( λ ) de GL r correspondiente a la partición λ de n (con como máximo r partes) es el número de cuadros de Young semiestándar de forma λ (que contienen solo las entradas de 1 a r ), que viene dada por la fórmula de longitud del gancho:
donde el índice i da la fila y j la columna de un cuadro. [8] Por ejemplo, para la partición (5,4,1) obtenemos como dimensión de la correspondiente representación irreducible de GL 7 (atravesando las cajas por filas):
Una representación del grupo simétrico en n elementos, S n es también una representación del grupo simétrico en n − 1 elementos, S n −1 . Sin embargo, una representación irreducible de S n puede no ser irreducible para S n −1 . En cambio, puede ser una suma directa de varias representaciones que son irreducibles para S n −1 . Estas representaciones se denominan entonces factores de la representación restringida (ver también representación inducida ).
La cuestión de determinar esta descomposición de la representación restringida de una representación irreducible dada de S n , correspondiente a una partición λ de n , se responde de la siguiente manera. Se forma el conjunto de todos los diagramas de Young que se pueden obtener del diagrama de forma λ quitando solo un cuadro (que debe estar al final tanto de su fila como de su columna); la representación restringida luego se descompone como una suma directa de las representaciones irreducibles de S n −1 correspondientes a esos diagramas, cada una de las cuales aparece exactamente una vez en la suma.
Alfred Young introdujo tales disposiciones en 1900..
