Pierre-Louis Lions ( nacido el 11 de agosto de 1956) es un matemático francés . Es conocido por una serie de contribuciones en los campos de las ecuaciones diferenciales parciales y el cálculo de variaciones . Recibió la Medalla Fields en 1994 y el Premio de 1991 de la compañía de tabaco y cigarrillos Philip Morris . [2]
Lions ingresó en la École normale supérieure en 1975 y recibió su doctorado de la Universidad Pierre y Marie Curie en 1979. [3] Ocupa el puesto de profesor de ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones en el Collège de France en París, así como un puesto en la École Polytechnique . [4] [5] Desde 2014, también ha sido profesor visitante en la Universidad de Chicago . [6]
En 1979, Lions se casó con Lila Laurenti, con quien tuvo un hijo. Los padres de Lions fueron Andrée Olivier y el renombrado matemático Jacques-Louis Lions , en ese momento profesor de la Universidad de Nancy y, entre 1991 y 1994, presidente de la Unión Matemática Internacional .
En 1994, mientras trabajaba en la Universidad Paris Dauphine , Lions recibió la prestigiosa Medalla Fields de la Unión Matemática Internacional . Fue reconocido por sus contribuciones a las soluciones de viscosidad , la ecuación de Boltzmann y el cálculo de variaciones . También recibió el Premio Paul Doistau-Émile Blutet (en 1986) y el Premio Ampère (en 1992) de la Academia Francesa de Ciencias .
Fue profesor invitado del Conservatorio Nacional de Artes y Oficios (2000). [7] Es doctor honoris causa de la Universidad Heriot-Watt [8] ( Edimburgo ), EPFL (2010), [9] Narvik University College (2014) y de la City University of Hong-Kong y figura como investigador altamente citado por el ISI . [10]
El primer trabajo de Lions se ocupó del análisis funcional de los espacios de Hilbert . Su primer artículo publicado, en 1977, fue una contribución a la vasta literatura sobre la convergencia de ciertos algoritmos iterativos a puntos fijos de un automapa no expansivo dado de un subconjunto convexo cerrado del espacio de Hilbert. [L77] [11] En colaboración con su asesor de tesis Haïm Brézis , Lions proporcionó nuevos resultados sobre operadores monótonos maximalistas en el espacio de Hilbert, demostrando uno de los primeros resultados de convergencia para el algoritmo de punto proximal de Bernard Martinet y R. Tyrrell Rockafellar . [BL78] [12] Desde entonces, ha habido una gran cantidad de modificaciones y mejoras de dichos resultados. [13]
Junto con Bertrand Mercier, Lions propuso un "algoritmo de división hacia adelante-hacia atrás" para encontrar un cero de la suma de dos operadores monótonos máximos. [LM79] Su algoritmo puede considerarse una versión abstracta de los conocidos algoritmos numéricos de Douglas−Rachford y Peaceman−Rachford para el cálculo de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Los algoritmos de Lions−Mercier y su prueba de convergencia han sido particularmente influyentes en la literatura sobre la teoría de operadores y sus aplicaciones al análisis numérico . Gregory Passty estudió un método similar al mismo tiempo. [14] [12]
El estudio matemático de la ecuación de Schrödinger-Newton en estado estacionario , también llamada ecuación de Choquard , se inició en un artículo seminal de Elliott Lieb . [15] Está inspirada en la física del plasma a través de una técnica de aproximación estándar en química cuántica . Lions demostró que se podían aplicar métodos estándar como el teorema del paso de montaña , junto con algunos trabajos técnicos de Walter Strauss , para demostrar que una ecuación de Schrödinger-Newton en estado estacionario generalizada con una generalización radialmente simétrica del potencial gravitacional es necesariamente solucionable mediante una función radialmente simétrica. [L80]
La ecuación diferencial parcial
ha recibido mucha atención en la literatura matemática. El extenso trabajo de Lions sobre esta ecuación se ocupa de la existencia de soluciones rotacionalmente simétricas, así como de estimaciones y existencia para problemas de valores en la frontera de varios tipos. [L82a] Con el interés de estudiar soluciones en todo el espacio euclidiano , donde no se aplica la teoría de compacidad estándar, Lions estableció una serie de resultados de compacidad para funciones con simetría. [L82b] Con Henri Berestycki y Lambertus Peletier, Lions utilizó métodos estándar de disparo de EDO para estudiar directamente la existencia de soluciones rotacionalmente simétricas. [BLP81] Sin embargo, dos años después, Berestycki y Lions obtuvieron resultados más precisos mediante métodos variacionales. Consideraron las soluciones de la ecuación como reescalamientos de mínimos de un problema de optimización restringido, basado en una energía de Dirichlet modificada . Haciendo uso de la simetrización de Schwarz, existe una secuencia minimizadora para el problema de infimización que consiste en funciones positivas y rotacionalmente simétricas. Así pudieron demostrar que hay un mínimo que también es rotacionalmente simétrico y no negativo. [BL83a] Al adaptar los métodos del punto crítico de Felix Browder , Paul Rabinowitz y otros, Berestycki y Lions también demostraron la existencia de infinitas soluciones radialmente simétricas (no siempre positivas) para la EDP. [BL83b] Maria Esteban y Lions investigaron la inexistencia de soluciones en varios dominios no acotados con datos de contorno de Dirichlet. [EL82] Su herramienta básica es una identidad de tipo Pohozaev, como fue previamente reelaborada por Berestycki y Lions. [BL83a] Demostraron que tales identidades pueden usarse efectivamente con el teorema de continuación único de Nachman Aronszajn para obtener la trivialidad de las soluciones bajo algunas condiciones generales. [16] Lions encontró estimaciones "a priori" significativas para las soluciones en colaboración con Djairo Guedes de Figueiredo y Roger Nussbaum . [FLN82]
En contextos más generales, Lions introdujo el "principio de concentración-compacidad", que caracteriza cuando la minimización de secuencias de funcionales puede fallar en converger posteriormente. Su primer trabajo abordó el caso de la invariancia de la traslación, con aplicaciones a varios problemas de matemáticas aplicadas , incluida la ecuación de Choquard. [L84a] También pudo extender partes de su trabajo con Berestycki a contextos sin ninguna simetría rotacional. [L84b] Al hacer uso de los métodos topológicos de Abbas Bahri y la teoría min-max, Bahri y Lions pudieron establecer resultados de multiplicidad para estos problemas. [BL88] Lions también consideró el problema de la invariancia de dilatación, con aplicaciones naturales para optimizar funciones para desigualdades funcionales invariantes de dilatación como la desigualdad de Sobolev . [L85a] Pudo aplicar sus métodos para dar una nueva perspectiva a trabajos previos sobre problemas geométricos como el problema de Yamabe y los mapas armónicos . [L85b] Con Thierry Cazenave, Lions aplicó sus resultados de concentración-compacidad para establecer la estabilidad orbital de ciertas soluciones simétricas de ecuaciones de Schrödinger no lineales que admiten interpretaciones variacionales y soluciones que conservan la energía. [CL82]
En 1988, François Golse , Lions, Benoît Perthame y Rémi Sentis estudiaron la ecuación de transporte , que es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden. [GLPS88] Demostraron que si los coeficientes de primer orden se eligen aleatoriamente de acuerdo con alguna distribución de probabilidad , entonces los valores de la función correspondiente se distribuyen con regularidad que se mejora con respecto a la distribución de probabilidad original. Estos resultados fueron ampliados posteriormente por DiPerna, Lions y Meyer. [DLM91] En el sentido físico, estos resultados, conocidos como lemas de promediado de velocidad , corresponden al hecho de que los observables macroscópicos tienen una mayor suavidad de lo que sus reglas microscópicas indican directamente. Según Cédric Villani , se desconoce si es posible utilizar en cambio la representación explícita de soluciones de la ecuación de transporte para derivar estas propiedades. [17]
El teorema clásico de Picard-Lindelöf trata de las curvas integrales de los campos vectoriales Lipschitz-continuos . Al considerar las curvas integrales como curvas características de una ecuación de transporte en múltiples dimensiones, Lions y Ronald DiPerna iniciaron el estudio más amplio de las curvas integrales de los campos vectoriales de Sobolev . [DL89a] Los resultados de DiPerna y Lions sobre la ecuación de transporte fueron ampliados posteriormente por Luigi Ambrosio al contexto de la variación acotada y por Alessio Figalli al contexto de los procesos estocásticos . [18]
DiPerna y Lions pudieron demostrar la existencia global de soluciones para la ecuación de Boltzmann . [DL89b] Más tarde, al aplicar los métodos de los operadores integrales de Fourier , Lions estableció estimaciones para el operador de colisión de Boltzmann, encontrando así resultados de compacidad para soluciones de la ecuación de Boltzmann. [L94] Como una aplicación particular de su teoría de compacidad, pudo demostrar que las soluciones convergen subsiguientemente en tiempo infinito a distribuciones de Maxwell. [17] DiPerna y Lions también establecieron un resultado similar para las ecuaciones de Maxwell−Vlasov . [DL89c] [19]
Michael Crandall y Lions introdujeron la noción de solución de viscosidad , que es un tipo de solución generalizada de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . Su definición es significativa ya que pudieron establecer una teoría de la formulación correcta en un contexto tan generalizado. [CL83] La teoría básica de las soluciones de viscosidad se elaboró más a fondo en colaboración con Lawrence Evans . [CEL84] Utilizando una cantidad mínima-máxima, Lions y Jean-Michel Lasry consideraron la suavización de funciones en el espacio de Hilbert que preservan los fenómenos analíticos. [LL86] Sus aproximaciones son naturalmente aplicables a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, mediante la regularización de subsoluciones o supersoluciones. Utilizando tales técnicas, Crandall y Lions extendieron su análisis de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi al caso de dimensión infinita, demostrando un principio de comparación y un teorema de unicidad correspondiente. [CL85]
Crandall y Lions investigaron el análisis numérico de sus soluciones de viscosidad, demostrando resultados de convergencia tanto para un esquema de diferencias finitas como para una viscosidad artificial . [CL84]
El principio de comparación subyacente a la noción de solución de viscosidad de Crandall y Lions hace que su definición sea naturalmente aplicable a ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , dado el principio del máximo . [20] [IL90] El artículo de investigación de Crandall, Ishii y Lions sobre soluciones de viscosidad para tales ecuaciones se ha convertido en una obra de referencia estándar. [CIL92]
Junto con Jean-Michel Lasry, Lions ha contribuido al desarrollo de la teoría de juegos de campo medio . [LL07]
Artículos.
Libros de texto.
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