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Espacio Lindelöf

En matemáticas , un espacio de Lindelöf [1] [2] es un espacio topológico en el que cada cobertura abierta tiene una subcobertura contable . La propiedad de Lindelöf es un debilitamiento de la noción más comúnmente utilizada de compacidad , que requiere la existencia de una subcobertura finita .

AEl espacio hereditario de Lindelöf [3]es un espacio topológico tal que cada subespacio del mismo es Lindelöf. A veces, a un espacio de este tipo se lo denominacon fuerza Lindelöf, pero, de manera confusa, a veces se usa esa terminología con un significado completamente diferente.[4]El términohereditario Lindelöfes más común e inequívoco.

Los espacios de Lindelöf reciben su nombre en honor al matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf .

Propiedades de los espacios de Lindelöf

Propiedades de los espacios de Lindelöf hereditarios

Ejemplo: el avión de Sorgenfrey no es Lindelöf

El producto de los espacios de Lindelöf no es necesariamente Lindelöf. El ejemplo habitual de esto es el plano de Sorgenfrey , que es el producto de la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto consigo misma. Los conjuntos abiertos en el plano de Sorgenfrey son uniones de rectángulos semiabiertos que incluyen los bordes sur y oeste y omiten los bordes norte y este, incluidas las esquinas noroeste, noreste y sureste. La antidiagonal de es el conjunto de puntos tales que

Consideremos la cubierta abierta que consta de:

  1. El conjunto de todos los rectángulos donde está en la antidiagonal.
  2. El conjunto de todos los rectángulos donde está en la antidiagonal.

Lo que hay que tener en cuenta aquí es que cada punto de la antidiagonal está contenido en exactamente un conjunto de la cubierta, por lo que se necesitan todos los conjuntos (incontables) del elemento (2) anterior.

Otra forma de ver que no es Lindelöf es notar que la antidiagonal define un subespacio discreto cerrado e incontable de Este subespacio no es Lindelöf, y por lo tanto el espacio entero tampoco puede ser Lindelöf (ya que los subespacios cerrados de los espacios de Lindelöf también son Lindelöf).

Generalización

La siguiente definición generaliza las definiciones de compacto y Lindelöf: un espacio topológico es -compacto (o -Lindelöf ), donde es cualquier cardinal , si cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad estrictamente menor que . Compacto es entonces -compacto y Lindelöf es entonces -compacto.

ElGrado de Lindelöf , onúmero de Lindelöf es el cardinal más pequeñotal que toda cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño como máximoEn esta notación,es Lindelöf siEl número de Lindelöf tal como se definió anteriormente no distingue entre espacios compactos y espacios no compactos de Lindelöf. Algunos autores dieron el nombre de númerode Lindelöfa una noción diferente: el cardinal más pequeñotal que toda cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño estrictamente menor que[17]En este último sentido (y menos utilizado), el número de Lindelöf es el cardinal más pequeñotal que un espacio topológicoes-compacto. Esta noción a veces también se denominagrado de compacidad del espacio[18]

Véase también

Notas

  1. ^ Steen y Seebach, pág. 19
  2. ^ Willard, Def. 16.5, pág. 110
  3. ^ Willard, 16E, pág. 114
  4. ^ Ganster, M. (1989). "Una nota sobre los espacios fuertemente Lindelöf" (PDF) . Universidad Técnica de Graz . S2CID  208002077.
  5. ^ Willard, teorema 16.9, pág. 111
  6. ^ Willard, teorema 16.11, pág. 112
  7. ^ Willard, teorema 16.8, pág. 111
  8. ^ Michael, Ernest (1953). "Una nota sobre espacios paracompactos". Actas de la American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . MR  0056905.
  9. ^ Willard, teorema 16.6, pág. 110
  10. ^ "Ejemplos de espacios de Lindelof que no son hereditariamente Lindelof". 15 de abril de 2012.
  11. ^ Willard, teorema 16.6, pág. 110
  12. ^ "El lema del tubo". 2 de mayo de 2011.
  13. ^ "Una nota sobre la línea Sorgenfrey". 27 de septiembre de 2009.
  14. ^ Engelking, 3.8.A(b), pág. 194
  15. ^ Engelking, 3.8.A(c), pág. 194
  16. ^ "Topología general - Otra pregunta sobre el espacio de Lindelöf hereditario".
  17. ^ Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, pág. 4, recuperable en Google Books [1]
  18. ^ Hušek, Miroslav (1969). "La clase de espacios k-compactos es simple". Mathematische Zeitschrift . 110 (2): 123–126. doi : 10.1007/BF01124977 . SEÑOR  0244947. S2CID  120212653..

Referencias