ley de darcy

Ecuación que describe el flujo de un fluido a través de un medio poroso.

La ley de Darcy es una ecuación que describe el flujo de un fluido a través de un medio poroso . La ley fue formulada por Henry Darcy basándose en los resultados de experimentos ^[1] sobre el flujo de agua a través de lechos de arena , formando la base de la hidrogeología , una rama de las ciencias de la tierra . Es análogo a la ley de Ohm en electrostática, que relaciona linealmente el caudal volumétrico del fluido con la diferencia de altura hidráulica (que a menudo es simplemente proporcional a la diferencia de presión) a través de la conductividad hidráulica .

Fondo

La ley de Darcy fue determinada experimentalmente por primera vez por Darcy, pero desde entonces se ha derivado de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante métodos de homogeneización . ^[2] Es análoga a la ley de Fourier en el campo de la conducción de calor , la ley de Ohm en el campo de las redes eléctricas y la ley de Fick en la teoría de la difusión .

Una aplicación de la ley de Darcy es el análisis del flujo de agua a través de un acuífero ; La ley de Darcy junto con la ecuación de conservación de masa simplifica a la ecuación de flujo de aguas subterráneas , una de las relaciones básicas de la hidrogeología .

Morris Muskat fue ^el primero en refinar la ecuación de Darcy para un flujo monofásico incluyendo la viscosidad en la ecuación de Darcy de fase única (fluida). Se puede entender que los fluidos viscosos tienen más dificultad para atravesar un medio poroso que los fluidos menos viscosos. Este cambio lo hizo adecuado para investigadores de la industria petrolera. Basándose en los resultados experimentales de sus colegas Wyckoff y Botset, Muskat y Meres también generalizaron la ley de Darcy para cubrir un flujo multifásico de agua, petróleo y gas en el medio poroso de un yacimiento de petróleo . Las ecuaciones generalizadas de flujo multifásico de Muskat y otros proporcionan la base analítica para la ingeniería de yacimientos que existe hasta el día de hoy.

Descripción

Diagrama que muestra definiciones e instrucciones de la ley de Darcy. A es el área de la sección transversal (m ² ) del cilindro. Q es el caudal (m ³ /s) del fluido que fluye a través del área A. El flujo de fluido a través de A es q = Q/A. L es la longitud del cilindro. Δp = p _salida - p _entrada = p _b - p _a . = Δp/L = gradiente hidráulico aplicado entre los puntos a y b. ${\displaystyle \nabla p}$

La ley de Darcy, refinada por Morris Muskat , en ausencia de fuerzas gravitacionales y en un medio homogéneamente permeable, viene dada por una relación de proporcionalidad simple entre el flujo instantáneo (unidades de : m ³ /s, unidades de : m ² , unidades de : m/s) a través de un medio poroso , la permeabilidad del medio, la viscosidad dinámica del fluido y la caída de presión en una distancia determinada , en la forma ${\displaystyle q=Q/A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu L}}\Delta p}$$

Esta ecuación, para flujo monofásico (fluido), es la ecuación que define la permeabilidad absoluta (permeabilidad monofásica).

Con referencia al diagrama de la derecha, el flujo o descarga por unidad de área se define en unidades , la permeabilidad en unidades , el área de la sección transversal en unidades , la caída de presión total en unidades , la viscosidad dinámica en unidades y es la longitud de la muestra en unidades . Varios de estos parámetros se utilizan en definiciones alternativas a continuación. Se utiliza un signo negativo en la definición del flujo siguiendo la convención física estándar de que los fluidos fluyen desde regiones de alta presión a regiones de baja presión. Tenga en cuenta que se debe tener en cuenta la altura de elevación si la entrada y la salida están a diferentes alturas. Si el cambio de presión es negativo, entonces el flujo será en la dirección x positiva . Ha habido varias propuestas para una ecuación constitutiva de la permeabilidad absoluta, y la más famosa es probablemente la ecuación de Kozeny (también llamada ecuación de Kozeny-Carman ). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$ ${\displaystyle \Delta p=p_{b}-p_{a}}$ ${\displaystyle \mathrm {(Pa)} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathrm {(Pa\cdot s)} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {(m)} }$

La forma integral de la ley de Darcy viene dada por:

$${\displaystyle Q={\frac {kA}{\mu L}}\,{\Delta p}}$$

Q³descarga totalley de Stevin

$${\displaystyle p=\rho gh}$$

$${\displaystyle Q={\frac {kAg}{\nu L}}\,{\Delta h}}$$

viscosidad cinemáticaconductividad hidráulica

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }}={\frac {kg}{\nu }}.}$

Observe que la cantidad o , a menudo denominada flujo de Darcy o velocidad de Darcy, no es la velocidad a la que el fluido viaja a través de los poros. La velocidad del flujo ( u ) está relacionada con el flujo ( q ) por la porosidad ( φ ) y toma la forma ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q/A}$

${\displaystyle u={\frac {q}{\varphi }}\,.}$

La ley de Darcy es una declaración matemática simple que resume claramente varias propiedades familiares que exhiben las aguas subterráneas que fluyen en los acuíferos , incluyendo:

• si no hay gradiente de presión a lo largo de una distancia, no se produce flujo (estas son condiciones hidrostáticas ),
• si hay un gradiente de presión, el flujo se producirá desde la presión alta hacia la presión baja (en dirección opuesta a la dirección del gradiente creciente, de ahí el signo negativo en la ley de Darcy),
• cuanto mayor sea el gradiente de presión (a través del mismo material de formación), mayor será la tasa de descarga, y
• La tasa de descarga de fluido a menudo será diferente (a través de diferentes materiales de formación (o incluso a través del mismo material, en una dirección diferente), incluso si existe el mismo gradiente de presión en ambos casos.

Una ilustración gráfica del uso de la ecuación del flujo de agua subterránea en estado estacionario (basada en la ley de Darcy y la conservación de la masa) es en la construcción de redes de flujo , para cuantificar la cantidad de agua subterránea que fluye bajo una presa .

La ley de Darcy sólo es válida para flujos lentos y viscosos ; sin embargo, la mayoría de los casos de flujo de agua subterránea entran en esta categoría. Normalmente cualquier flujo con un número de Reynolds menor que uno es claramente laminar, y sería válido aplicar la ley de Darcy. Las pruebas experimentales han demostrado que los regímenes de flujo con números de Reynolds hasta 10 aún pueden ser darcianos, como en el caso del flujo de agua subterránea. El número de Reynolds (un parámetro adimensional) para el flujo de medios porosos se expresa típicamente como

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {ud}{\nu }}\,,}$

donde ν es la viscosidad cinemática del agua , u es la descarga específica (no la velocidad de los poros, con unidades de longitud por tiempo), d ₃₀ es un diámetro de grano representativo para los medios porosos (la elección estándar es d30, que es el 30 % de tamaño de paso de un análisis de tamaño de grano usando tamices (con unidades de longitud).

Derivación

Para flujo estacionario, progresivo e incompresible, es decirD ( ρu _yo )/DT≈ 0 , la ecuación de Navier-Stokes se simplifica a la ecuación de Stokes , que al despreciar el término general es:

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}-\partial _{i}p=0\,,}$

donde μ es la viscosidad, u _i es la velocidad en la dirección i y p es la presión. Suponiendo que la fuerza de resistencia viscosa es lineal con la velocidad, podemos escribir:

${\displaystyle -\left(k^{-1}\right)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\partial _{i}p=0\,,}$

donde φ es la porosidad y k _ij es el tensor de permeabilidad de segundo orden. Esto da la velocidad en la dirección n ,

${\displaystyle k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\varphi \mu }}\partial _{i}p\,,}$

que da la ley de Darcy para la densidad de flujo volumétrico en la dirección n ,

${\displaystyle q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\partial _{i}p\,.}$

En medios porosos isotrópicos , los elementos fuera de la diagonal en el tensor de permeabilidad son cero, k _ij = 0 para i ≠ j y los elementos diagonales son idénticos, k _ii = k , y la forma común se obtiene como se muestra a continuación, lo que permite la determinación de la velocidad del flujo de líquido resolviendo un conjunto de ecuaciones en una región determinada. ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=-{\frac {k}{\mu }}\,{\boldsymbol {\nabla }}p\,.}$

La ecuación anterior es una ecuación que rige el flujo de fluido monofásico en un medio poroso.

Uso en ingeniería petrolera

Otra derivación de la ley de Darcy se utiliza ampliamente en ingeniería petrolera para determinar el flujo a través de medios permeables; la más simple de las cuales es para una formación rocosa unidimensional y homogénea con una única fase fluida y una viscosidad de fluido constante .

Casi todos los yacimientos de petróleo tienen una zona de agua debajo del tramo de petróleo, y algunos también tienen una capa de gas encima del tramo de petróleo. Cuando la presión del yacimiento cae debido a la producción de petróleo, el agua fluye hacia la zona petrolera desde abajo y el gas fluye hacia la zona petrolera desde arriba (si existe la capa de gas), y obtenemos un flujo simultáneo y una mezcla inmiscible de todas las fases del fluido en la zona petrolera. El operador del campo petrolero también puede inyectar agua (y/o gas) para mejorar la producción de petróleo. Por lo tanto, la industria petrolera está utilizando una ecuación de Darcy generalizada para flujo multifásico que fue desarrollada por Muskat et alios. Debido a que el nombre de Darcy está tan extendido y fuertemente asociado con el flujo en medios porosos, la ecuación multifásica se denota como ley de Darcy para flujo multifásico o ecuación (o ley) generalizada de Darcy o simplemente ecuación (o ley) de Darcy o simplemente ecuación de flujo si el contexto dice que el texto analiza la ecuación multifásica de Muskat et alios. El flujo multifásico en yacimientos de petróleo y gas es un tema amplio y uno de los muchos artículos sobre este tema es la ley de Darcy para el flujo multifásico .

Uso en la elaboración de café.

Varios artículos han utilizado la ley de Darcy para modelar la física de la preparación en una cafetera moka , específicamente cómo el agua caliente se filtra a través del café molido bajo presión, comenzando con un artículo de 2001 de Varlamov y Balestrino, ^[5] y continuando con un artículo de 2007. artículo de Gianino, ^[6] un artículo de 2008 de Navarini et al., ^[7] y un artículo de 2008 de W. King. ^[8] Los artículos tomarán la permeabilidad del café como constante como una simplificación o medirán el cambio a lo largo del proceso de elaboración.

Formularios adicionales

expresión diferencial

La ley de Darcy se puede expresar de manera muy general como:

${\displaystyle \mathbf {q} =-K\nabla h}$

donde q es el vector de flujo volumétrico del fluido en un punto particular del medio, h es la altura hidráulica total y K es el tensor de conductividad hidráulica en ese punto. La conductividad hidráulica a menudo se puede aproximar como un escalar . (Obsérvese la analogía con la ley de Ohm en electrostática. El vector de flujo es análogo a la densidad de corriente, la cabeza es análoga al voltaje y la conductividad hidráulica es análoga a la conductividad eléctrica).

ley cuadrática

Para flujos en medios porosos con números de Reynolds mayores que aproximadamente 1 a 10, los efectos de inercia también pueden llegar a ser significativos. A veces se añade un término inercial a la ecuación de Darcy, conocido como término de Forchheimer . Este término puede explicar el comportamiento no lineal de la diferencia de presión frente a los datos de flujo. ^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-{\frac {\mu }{k}}q-{\frac {\rho }{k_{1}}}q^{2}\,,}$

donde el término adicional k ₁ se conoce como permeabilidad inercial, en unidades de longitud . ${\displaystyle \mathrm {(m)} }$

El flujo en medio de un yacimiento de arenisca es tan lento que generalmente no se necesita la ecuación de Forchheimer, pero el flujo de gas hacia un pozo de producción de gas puede ser lo suficientemente alto como para justificar el uso de la ecuación de Forchheimer. En este caso, los cálculos del rendimiento del flujo de entrada para el pozo, no la celda de la cuadrícula del modelo 3D, se basan en la ecuación de Forchheimer. El efecto de esto es que aparece una capa adicional dependiente de la tasa en la fórmula de rendimiento del flujo de entrada.

Algunos yacimientos carbonatados tienen muchas fracturas, y la ecuación de Darcy para el flujo multifásico se generaliza para regular tanto el flujo en las fracturas como el flujo en la matriz (es decir, la roca porosa tradicional). La superficie irregular de las paredes de la fractura y el alto caudal en las fracturas pueden justificar el uso de la ecuación de Forchheimer.

Corrección para gases en medios finos (difusión Knudsen o efecto Klinkenberg)

Para el flujo de gas en dimensiones características pequeñas (p. ej., arena muy fina, estructuras nanoporosas, etc.), las interacciones partícula-pared se vuelven más frecuentes, dando lugar a una fricción adicional en la pared (fricción de Knudsen). Para un flujo en esta región, donde están presentes tanto la fricción viscosa como la de Knudsen , es necesario utilizar una nueva formulación. Knudsen presentó un modelo semiempírico para el flujo en régimen de transición basado en sus experimentos con capilares pequeños. ^{[10] [11]} Para un medio poroso, la ecuación de Knudsen se puede dar como ^[11]

${\displaystyle N=-\left({\frac {k}{\mu }}{\frac {p_{a}+p_{b}}{2}}+D_{\mathrm {K} }^{\mathrm {eff} }\right){\frac {1}{R_{\mathrm {g} }T}}{\frac {p_{\mathrm {b} }-p_{\mathrm {a} }}{L}}\,,}$

donde N es el flujo molar, R _g es la constante de los gases, T es la temperatura, D^eff
_kes la difusividad Knudsen efectiva de los medios porosos. El modelo también se puede derivar del modelo de fricción binaria (BFM) basado en el primer principio. ^{[12] [13]} La ecuación diferencial del flujo de transición en medios porosos basada en BFM se da como ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}N\,.}$

Esta ecuación es válida tanto para capilares como para medios porosos. La terminología de efecto Knudsen y difusividad de Knudsen es más común en ingeniería mecánica y química . En ingeniería geológica y petroquímica, este efecto se conoce como efecto Klinkenberg . Usando la definición de flujo molar, la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}{\dfrac {p}{R_{\mathrm {g} }T}}q\,.}$

Esta ecuación se puede reorganizar en la siguiente ecuación

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right){\frac {\partial p}{\partial x}}\,.}$

Comparando esta ecuación con la ley de Darcy convencional, se puede dar una nueva formulación como

${\displaystyle q=-{\frac {k^{\mathrm {eff} }}{\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\,,}$

dónde

${\displaystyle k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right)\,.}$

Esto es equivalente a la formulación de permeabilidad efectiva propuesta por Klinkenberg: ^[14]

${\displaystyle k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {b}{p}}\right)\,.}$

donde b se conoce como parámetro de Klinkenberg, que depende del gas y de la estructura del medio poroso. Esto es bastante evidente si comparamos las formulaciones anteriores. El parámetro b de Klinkenberg depende de la permeabilidad, la difusividad de Knudsen y la viscosidad (es decir, las propiedades tanto del gas como del medio poroso).

Ley de Darcy para escalas de tiempo cortas.

Para escalas de tiempo muy cortas, se puede agregar una derivada temporal del flujo a la ley de Darcy, lo que da como resultado soluciones válidas en tiempos muy pequeños (en transferencia de calor, esto se llama la forma modificada de la ley de Fourier ).

${\displaystyle \tau {\frac {\partial q}{\partial t}}+q=-k\nabla h\,,}$

donde τ es una constante de tiempo muy pequeña que hace que esta ecuación se reduzca a la forma normal de la ley de Darcy en tiempos "normales" (> nanosegundos ). La razón principal para hacer esto es que la ecuación regular del flujo de agua subterránea ( ecuación de difusión ) conduce a singularidades en límites de carga constantes en tiempos muy pequeños. Esta forma es matemáticamente más rigurosa, pero conduce a una ecuación hiperbólica del flujo de agua subterránea, que es más difícil de resolver y sólo es útil en momentos muy breves, normalmente fuera del ámbito del uso práctico.

Forma Brinkman de la ley de Darcy

Otra extensión de la forma tradicional de la ley de Darcy es el término de Brinkman, que se utiliza para explicar el flujo de transición entre fronteras (introducido por Brinkman en 1949 ^[15] ),

${\displaystyle -\beta \nabla ^{2}q+q=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p\,,}$

donde β es un término de viscosidad efectiva . Este término de corrección tiene en cuenta el flujo a través del medio donde los granos del medio son porosos en sí mismos, pero es difícil de usar y normalmente se descuida.

Validez de la ley de Darcy

La ley de Darcy es válida para el flujo laminar a través de sedimentos . En los sedimentos de grano fino, las dimensiones de los intersticios son pequeñas y, por tanto, el flujo es laminar. Los sedimentos de grano grueso también se comportan de manera similar, pero en los sedimentos de grano muy grueso el flujo puede ser turbulento . ^[16] Por lo tanto, la ley de Darcy no siempre es válida en tales sedimentos. Para el flujo a través de tuberías circulares comerciales, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es menor que 2000 y turbulento cuando es mayor que 4000, pero en algunos sedimentos se ha encontrado que el flujo es laminar cuando el valor del número de Reynolds es menor que 1. ^[17 ]

Ver también

• El darcy , una unidad de permeabilidad a los fluidos.
• hidrogeología
• Ecuación del flujo de agua subterránea
• Modelo matemático
• Ecuaciones de aceite negro

Referencias

1. Darcy, H. (1856). Les fontaines publiques de la ville de Dijon . París: Dalmont.
2. Whitaker, S. (1986). "Flujo en medios porosos I: una derivación teórica de la ley de Darcy". Transporte en Medios Porosos . 1 : 3–25. doi :10.1007/BF01036523. S2CID  121904058.
3. Lea "Homenajes conmemorativos: Volumen 14" en NAP.edu. 2011. doi : 10.17226/12884. ISBN 978-0-309-15218-1.
4. Adaptación de medios porosos para un flujo capilar controlable Journal of Colloid and Interface Science 539 (2019) 379–387
5. A. Varlamov y G. Balestrino, “La fisica di un buon caffè”, Il Nuovo Saggiatore 17 ̏ 3-4 ̏ , 59–66 ̏ 2001 ̏.
6. Gianino, Concetto. Análisis experimental de la cafetera italiana "moka". Revista Estadounidense de Física (2007)
7. "Investigación experimental de la extracción de café a presión de vapor en una cafetera de estufa" L. Navarini, E. Nobile, F. Pinto, A. Scheri, F. Suggi-Liverani
8. Rey, Warren. "La física de una máquina de café expreso de estufa". Revista Estadounidense de Física (2008)
9. Bejan, A. (1984). Transferencia de calor por convección . John Wiley e hijos.
10. Cunningham, RE; Williams, RJJ (1980). Difusión en Gases y Medios Porosos . Nueva York: Plenum Press.
11. Carrigy, N.; Pantalón, LM; Mitra, SK; Secanell, M. (2013). "Difusividad y permeabilidad de Knudsen de capas de difusión de gas recubiertas microporosas de pemfc para diferentes cargas de politetrafluoroetileno". Revista de la Sociedad Electroquímica . 160 (2): F81–89. doi : 10.1149/2.036302jes.
12. Pantalón, LM; Mitra, SK; Secanell, M. (2012). "Medidas de permeabilidad absoluta y difusividad de Knudsen en capas de difusión de gas PEMFC y capas microporosas". Revista de fuentes de energía . 206 : 153-160. doi :10.1016/j.jpowsour.2012.01.099.
13. Kerkhof, P. (1996). "Un modelo de Maxwell-Stefan modificado para el transporte a través de membranas inertes: el modelo de fricción binaria". Revista de Ingeniería Química y Revista de Ingeniería Bioquímica . 64 (3): 319–343. doi :10.1016/S0923-0467(96)03134-X.
14. Klinkenberg, LJ (1941). "La permeabilidad de medios porosos a líquidos y gases". Práctica de Perforación y Producción . Instituto Americano de Petróleo. págs. 200–213.
15. Brinkman, HC (1949). "Un cálculo de la fuerza viscosa ejercida por un fluido que fluye sobre un denso enjambre de partículas". Investigación Científica Aplicada . 1 : 27–34. CiteSeerX 10.1.1.454.3769 . doi :10.1007/BF02120313. 
16. Jin, Y.; Uth, M.-F.; Kuznetsov, AV; Herwig, H. (2 de febrero de 2015). "Investigación numérica de la posibilidad de turbulencia macroscópica en medios porosos: un estudio de simulación numérica directa". Revista de mecánica de fluidos . 766 : 76-103. Código Bib : 2015JFM...766...76J. doi :10.1017/jfm.2015.9. S2CID  119946306.
17. Arora, KR (1989). Mecánica de Suelos e Ingeniería de Cimentaciones . Editores estándar.