Relación de congruencia

Relación de equivalencia en álgebra

En álgebra abstracta , una relación de congruencia (o simplemente congruencia ) es una relación de equivalencia en una estructura algebraica (como un grupo , un anillo o un espacio vectorial ) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes. ^[1] Cada relación de congruencia tiene una estructura de cociente correspondiente , cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia ) para la relación. ^[2]

Definición

La definición de congruencia depende del tipo de estructura algebraica que se considere. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , semigrupos , retículos , etc. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia .

General

La noción general de una relación de congruencia se puede definir formalmente en el contexto del álgebra universal , un campo que estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas . En este contexto, una relación en una estructura algebraica dada se denomina compatible si ${\displaystyle R}$

para cada una de las operaciones -arias definidas en la estructura: siempre que y ... y , entonces . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$ ${\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}$

Una relación de congruencia en la estructura se define entonces como una relación de equivalencia que también es compatible. ^{[3] [4]}

Ejemplos

Ejemplo básico

El ejemplo prototípico de una relación de congruencia es la congruencia módulo en el conjunto de los números enteros . Para un número entero positivo dado , dos números enteros y se denominan congruentes módulo , escrito ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

si es divisible por (o equivalentemente si y tienen el mismo resto cuando se dividen por ). ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, y son congruentes módulo , ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle 57}$ ${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

ya que es múltiplo de 10, o equivalentemente ya que tanto y tienen un resto de cuando se dividen por . ${\displaystyle 37-57=-20}$ ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle 57}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 10}$

La congruencia módulo (para un número fijo ) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros. Es decir, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

si

${\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$y ${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

entonces

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ y ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$

La suma y multiplicación correspondientes de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular . Desde el punto de vista del álgebra abstracta, la congruencia módulo es una relación de congruencia en el anillo de números enteros, y la aritmética módulo se da en el anillo de cocientes correspondiente . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplo: Grupos

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una única operación binaria , que satisface ciertos axiomas. Si es un grupo con la operación , una relación de congruencia sobre es una relación de equivalencia sobre los elementos de la que satisface ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$y ${\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

para todos . Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento identidad es siempre un subgrupo normal , y las otras clases de equivalencia son las otras clases laterales de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente . ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}$

Ejemplo: Anillos

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee tanto la suma como la multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}$y ${\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

siempre que y . Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal bilateral , y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente. ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$ ${\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}$

Relación con homomorfismos

Si es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos , o una función lineal entre espacios vectoriales ), entonces la relación definida por ${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ Si y sólo si ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

es una relación de congruencia en . Por el primer teorema de isomorfismo , la imagen de A bajo es una subestructura de B isomorfa al cociente de A por esta congruencia. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Por otra parte, la relación de congruencia induce un homomorfismo único dado por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A/R}$

${\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}$.

Por tanto, existe una correspondencia natural entre las congruencias y los homomorfismos de cualquier estructura algebraica dada.

Congruencias de grupos, subgrupos normales e ideales

En el caso particular de los grupos , las relaciones de congruencia se pueden describir en términos elementales de la siguiente manera: Si G es un grupo (con elemento identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria en G , entonces ~ es una congruencia siempre que:

1. Dado cualquier elemento a de G , a ~ a ( reflexividad );
2. Dados cualesquiera elementos a y b de G , si a ~ b , entonces b ~ a ( simetría );
3. Dados cualesquiera elementos a , b y c de G , si a ~ b y b ~ c , entonces a ~ c ( transitividad );
4. Dados cualesquiera elementos a , a ′, b y b ′ de G , si a ~ a ′ y b ~ b ′ , entonces a * b ~ a ′ * b ′ ;
5. Dados cualesquiera elementos a y a ′ de G , si a ~ a ′ , entonces a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ (esto está implícito en los otros cuatro, ^{[nota 1]} por lo que es estrictamente redundante).

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia .

Una congruencia ~ está determinada enteramente por el conjunto { a ∈ G | a ~ e } de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal . Específicamente, a ~ b si y solo si b ⁻¹ * a ~ e . Entonces, en lugar de hablar de congruencias en grupos, la gente suele hablar en términos de subgrupos normales de ellos; de hecho, cada congruencia corresponde únicamente a algún subgrupo normal de G .

Ideales de anillos y el caso general

Un truco similar permite hablar de núcleos en la teoría de anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

Una situación más general en la que este truco es posible es con los grupos Omega (en el sentido general que permiten operadores con aridad múltiple). Pero esto no se puede hacer con, por ejemplo, los monoides , por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de los monoides.

Álgebra universal

La noción general de congruencia es particularmente útil en el álgebra universal . Una formulación equivalente en este contexto es la siguiente: ^[4]

Una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es a la vez una relación de equivalencia en A y un subálgebra de A × A .

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, toda congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia dada ~ en A , al conjunto A / ~ de clases de equivalencia se le puede dar la estructura de un álgebra de manera natural, el álgebra del cociente . La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

La red Con ( A ) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica .

John M. Howie describió cómo la teoría de semigrupos ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal:

En un grupo, la congruencia se determina si conocemos una única clase de congruencia, en particular si conocemos el subgrupo normal, que es la clase que contiene la identidad. De manera similar, en un anillo, la congruencia se determina si conocemos el ideal, que es la clase de congruencia que contiene el cero. En los semigrupos no se da tal circunstancia afortunada, y por lo tanto nos enfrentamos a la necesidad de estudiar las congruencias como tales. Más que cualquier otra cosa, es esta necesidad la que da a la teoría de los semigrupos su sabor característico. Los semigrupos son, de hecho, el primer y más simple tipo de álgebra al que deben aplicarse los métodos del álgebra universal... ^[5]

Véase también

• Teorema del resto chino
• Problema de red de congruencia
• Tabla de congruencias

Notas explicativas

1. Dado que a ′ ⁻¹ = a ′ ⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ * a ′ * a ⁻¹ = a ⁻¹

Notas

1. Hungerford (1974), pág. 27
2. Hungerford (1974), pág. 26
3. Barendregt (1990), pág. 338, def. 3.1.1
4. Bergman (2011), Sect. 1.5 y Ejercicio 1(a) en el Conjunto de ejercicios 1.26 (Bergman utiliza la expresión que tiene la propiedad de sustitución para ser compatible )
5. Howie (1975), pág.

Referencias

• Barendregt, Henk (1990). "Programación funcional y cálculo lambda". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de informática teórica. Vol. B. Elsevier. págs. 321–364. ISBN 0-444-88074-7.
• Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados , Taylor & Francis
• Horn; Johnson (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38632-2(La sección 4.5 analiza la congruencia de matrices).
• Howie, JM (1975), Introducción a la teoría de semigrupos , Academic Press
• Hungerford, Thomas W. (1974), Álgebra , Springer-Verlag
• Rosen, Kenneth H (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones . McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.