James W. Cannon (nacido el 30 de enero de 1943) es un matemático estadounidense que trabaja en las áreas de topología de baja dimensión y teoría geométrica de grupos . Fue profesor de matemáticas de la cátedra Orson Pratt en la Universidad Brigham Young .
James W. Cannon nació el 30 de enero de 1943 en Bellefonte , Pensilvania . [1] Cannon recibió un doctorado en Matemáticas de la Universidad de Utah en 1969, bajo la dirección de C. Edmund Burgess.
Fue profesor en la Universidad de Wisconsin, Madison de 1977 a 1985. [1] En 1986, Cannon fue nombrado profesor Orson Pratt de Matemáticas en la Universidad Brigham Young . [2] Ocupó este puesto hasta su jubilación en septiembre de 2012. [3]
Cannon dio un discurso invitado de la AMS en la reunión de la Sociedad Matemática Americana en Seattle en agosto de 1977, un discurso invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Helsinki en 1978 y pronunció las Conferencias Hedrick de la Asociación Matemática de América de 1982 en Toronto , Canadá. [1] [4]
Cannon fue elegido miembro del Consejo de la Sociedad Americana de Matemáticas en 2003 con un período de servicio del 1 de febrero de 2004 al 31 de enero de 2007. [2] [5] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Americana de Matemáticas . [6]
En 1993, Cannon pronunció la 30.ª Conferencia Anual de Profesores Distinguidos Karl G. Maeser en la Universidad Brigham Young . [7]
James Cannon es un devoto miembro de la Iglesia de Jesucristo de los Santos de los Últimos Días . [8]
Los primeros trabajos de Cannon se centraron en los aspectos topológicos de las superficies integradas en R 3 y en la comprensión de la diferencia entre superficies "domesticas" y "salvajes".
Su primer resultado famoso llegó a finales de los años 1970, cuando Cannon dio una solución completa a un antiguo problema de "doble suspensión" planteado por John Milnor . Cannon demostró que la doble suspensión de una esfera de homología es una esfera topológica. [9] [10] RD Edwards ya había demostrado esto en muchos casos.
Los resultados del artículo de Cannon [10] fueron utilizados por Cannon, Bryant y Lacher para demostrar (1979) [11] un caso importante de la llamada conjetura de caracterización para variedades topológicas. La conjetura dice que una n -variedad generalizada , donde , que satisface la "propiedad del disco disjunto" es una variedad topológica. Cannon, Bryant y Lacher establecieron [11] que la conjetura se cumple bajo el supuesto de que sea una variedad excepto posiblemente en un conjunto de dimensión . Más tarde, Frank Quinn [12] completó la prueba de que la conjetura de caracterización se cumple si hay incluso un solo punto de la variedad. En general, la conjetura es falsa como fue demostrado por John Bryant, Steven Ferry, Washington Mio y Shmuel Weinberger . [13]
En la década de 1980, el enfoque del trabajo de Cannon se trasladó al estudio de las 3-variedades , la geometría hiperbólica y los grupos kleinianos y se le considera una de las figuras clave en el nacimiento de la teoría geométrica de grupos como un tema distinto a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990. El artículo de Cannon de 1984 "La estructura combinatoria de los grupos hiperbólicos discretos cocompactos" [14] fue uno de los precursores en el desarrollo de la teoría de los grupos hiperbólicos de palabras , una noción que se introdujo y desarrolló tres años más tarde en una monografía seminal de 1987 de Mikhail Gromov . [15] El artículo de Cannon exploró los aspectos combinatorios y algorítmicos de los gráficos de Cayley de los grupos kleinianos y los relacionó con las características geométricas de las acciones de estos grupos en el espacio hiperbólico . En particular, Cannon demostró que los grupos kleinianos convexos-cocompactos admiten presentaciones finitas donde el algoritmo de Dehn resuelve el problema de palabras . La última condición resultó más tarde dar una caracterización equivalente de ser palabra-hiperbólica y, además, la prueba original de Cannon esencialmente continuó sin cambios para mostrar que el problema de palabras en grupos de palabras-hiperbólicos es solucionable por el algoritmo de Dehn. [16] El artículo de Cannon de 1984 [14] también introdujo una noción importante un tipo de cono de un elemento de un grupo finitamente generado (aproximadamente, el conjunto de todas las extensiones geodésicas de un elemento). Cannon demostró que un grupo kleiniano convexo-cocompacto tiene solo un número finito de tipos de cono (con respecto a un conjunto generador finito fijo de ese grupo) y mostró cómo usar este hecho para concluir que la serie de crecimiento del grupo es una función racional . Estos argumentos también resultaron generalizables al contexto del grupo de palabras-hiperbólico . [15] Ahora las pruebas estándar [17] del hecho de que el conjunto de palabras geodésicas en un grupo de palabras-hiperbólico es un lenguaje regular también usan la finitud del número de tipos de cono.
El trabajo de Cannon también introdujo una noción importante de casi convexidad para los gráficos de Cayley de grupos finitamente generados , [18] una noción que condujo a estudios y generalizaciones adicionales sustanciales. [19] [20] [21]
Un influyente artículo de Cannon y William Thurston "Curvas de Peano invariantes de grupo", [22] que circuló por primera vez en forma de preimpresión a mediados de la década de 1980, [23] introdujo la noción de lo que ahora se llama el mapa de Cannon-Thurston . Consideraron el caso de una 3-variedad hiperbólica cerrada M que se fibrila sobre el círculo con la fibra siendo una superficie hiperbólica cerrada S . En este caso la cubierta universal de S , que se identifica con el plano hiperbólico , admite una incrustación en la cubierta universal de M , que es el 3-espacio hiperbólico . Cannon y Thurston demostraron que esta incrustación se extiende a una función sobreyectiva continua π 1 ( S )-equivariante (ahora llamada función de Cannon-Thurston ) desde el límite ideal del plano hiperbólico (el círculo) hasta el límite ideal del 3-espacio hiperbólico (la 2-esfera ). Aunque el artículo de Cannon y Thurston fue finalmente publicado recién en 2007, desde entonces ha generado considerables investigaciones adicionales y una serie de generalizaciones significativas (tanto en los contextos de grupos kleinianos como de grupos hiperbólicos de palabras), incluido el trabajo de Mahan Mitra , [24] [25] Erica Klarreich, [26] Brian Bowditch [27] y otros.
Cannon fue uno de los coautores del libro Word Processing in Groups [17] de 1992 , que introdujo, formalizó y desarrolló la teoría de grupos automáticos . La teoría de grupos automáticos aportó nuevas ideas computacionales de la ciencia informática a la teoría de grupos geométricos y desempeñó un papel importante en el desarrollo de la materia en la década de 1990.
Un artículo de 1994 de Cannon proporcionó una prueba del " teorema de mapeo combinatorio de Riemann " [28] que estaba motivado por el teorema de mapeo clásico de Riemann en análisis complejo . El objetivo era entender cuándo una acción de un grupo por homeomorfismos en una 2-esfera es (hasta una conjugación topológica) una acción en la esfera estándar de Riemann por transformaciones de Möbius . El "teorema de mapeo combinatorio de Riemann" de Cannon proporcionó un conjunto de condiciones suficientes cuando una secuencia de subdivisiones combinatorias cada vez más finas de una superficie topológica determina, en el sentido apropiado y después de pasar al límite, una estructura conforme real en esa superficie. Este artículo de Cannon condujo a una conjetura importante, formulada explícitamente por primera vez por Cannon y Swenson en 1998 [29] (pero también sugerida en forma implícita en la Sección 8 del artículo de Cannon de 1994) y ahora conocida como la conjetura de Cannon , con respecto a la caracterización de grupos hiperbólicos de palabras con la 2-esfera como límite. La conjetura (Conjetura 5.1 en [29] ) establece que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomorfo a la 2-esfera , entonces G admite una acción isométrica cocompacta discontinua apropiada en el 3-espacio hiperbólico (de modo que G es esencialmente un grupo kleiniano tridimensional ). En términos analíticos, la conjetura de Cannon equivale a decir que si el límite ideal de un grupo hiperbólico de palabras G es homeomorfo a la 2-esfera , entonces este límite, con la métrica visual proveniente del gráfico de Cayley de G , es cuasisimétrico a la 2-esfera estándar.
El artículo de 1998 de Cannon y Swenson [29] proporcionó una aproximación inicial a esta conjetura al demostrar que la conjetura se cumple bajo un supuesto adicional de que la familia de "discos" estándar en el límite del grupo satisface una propiedad "conforme" combinatoria. El resultado principal del artículo de Cannon de 1994 [28] jugó un papel clave en la demostración. Este enfoque a la conjetura de Cannon y los problemas relacionados fue impulsado más adelante en el trabajo conjunto de Cannon, Floyd y Parry. [30] [31] [32]
La conjetura de Cannon motivó gran parte del trabajo posterior de otros matemáticos y en gran medida informó la interacción posterior entre la teoría de grupos geométricos y la teoría del análisis en espacios métricos. [33] [34] [35] [36] [37 ] [38] La conjetura de Cannon fue motivada (ver [29] ) por la Conjetura de Geometrización de Thurston y por tratar de entender por qué en la dimensión tres la curvatura negativa variable puede ser promovida a una curvatura negativa constante. Aunque la conjetura de Geometrización fue resuelta recientemente por Perelman , la conjetura de Cannon permanece abierta y es considerada uno de los problemas abiertos clave pendientes en la teoría de grupos geométricos y la topología geométrica .
Las ideas de geometría conforme combinatoria que subyacen a la prueba de Cannon del "teorema de mapeo combinatorio de Riemann", [28] fueron aplicadas por Cannon, Floyd y Parry (2000) al estudio de patrones de crecimiento a gran escala de organismos biológicos. [39] Cannon, Floyd y Parry produjeron un modelo matemático de crecimiento que demostró que algunos sistemas determinados por reglas simples de subdivisión finita pueden dar como resultado objetos (en su ejemplo, un tronco de árbol) cuya forma a gran escala oscila enormemente con el tiempo aunque las leyes de subdivisión locales permanezcan iguales. [39] Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de rata. [39] Sugirieron que la naturaleza "negativamente curvada" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o formas poliédricas sino que, de hecho, en muchos casos se parecen a fractales autosimilares . [39] En particular, sugirieron (ver sección 3.4 de [39] ) que dicha estructura local "curvada negativamente" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada del tejido cerebral y pulmonar.
