Este artículo ofrece algunos antecedentes muy generales sobre la idea matemática del topos . Se trata de un aspecto de la teoría de categorías y tiene fama de ser abstruso. El nivel de abstracción implicado no se puede reducir más allá de cierto punto; pero, por otra parte, se puede dar un contexto. Esto se hace en parte en términos de desarrollo histórico, pero también en cierta medida como una explicación de las diferentes actitudes hacia la teoría de categorías. [ cita requerida ]
A finales de la década de 1950 se reescribieron los fundamentos de la geometría algebraica y es aquí donde se encuentran los orígenes del concepto de topos . En ese momento, las conjeturas de Weil fueron una motivación destacada para la investigación. Como ahora sabemos, el camino hacia su demostración y otros avances se encontraba en la construcción de la cohomología étale .
Con el beneficio de la retrospectiva, se puede decir que la geometría algebraica había estado luchando con dos problemas durante mucho tiempo. El primero tenía que ver con sus puntos : en los días de la geometría proyectiva estaba claro que la ausencia de "suficientes" puntos en una variedad algebraica era una barrera para tener una buena teoría geométrica (en la que era algo así como una variedad compacta ). También estaba la dificultad, que quedó clara tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo XX, de que la topología de las variedades algebraicas tenía "muy pocos" conjuntos abiertos.
En 1950, la cuestión de los puntos estaba cerca de resolverse; Alexander Grothendieck dio un paso radical (invocando el lema de Yoneda ) que la eliminó, naturalmente a costa de que cada variedad o esquema más general se convirtiera en un funtor . Sin embargo, no era posible agregar conjuntos abiertos. El camino a seguir era otro.
La definición de topos apareció por primera vez de manera algo oblicua, alrededor de 1960. Se consideraron problemas generales de la llamada " descendencia " en geometría algebraica, en el mismo período en que el grupo fundamental se generalizó al ámbito de la geometría algebraica (como un grupo pro-finito ). A la luz de trabajos posteriores (c. 1970), "descendencia" es parte de la teoría de las comonadas ; aquí podemos ver una forma en que la escuela de Grothendieck se bifurca en su enfoque de los teóricos de categorías "puros", un tema que es importante para la comprensión de cómo se trató posteriormente el concepto de topos.
Tal vez había una ruta más directa disponible: el concepto de categoría abeliana había sido introducido por Grothendieck en su trabajo fundacional sobre álgebra homológica , para unificar categorías de haces de grupos abelianos y de módulos . Se supone que una categoría abeliana está cerrada bajo ciertas operaciones de teoría de categorías; al usar este tipo de definición, uno puede enfocarse completamente en la estructura, sin decir nada en absoluto sobre la naturaleza de los objetos involucrados. Este tipo de definición se puede rastrear, en una línea, hasta el concepto de red de la década de 1930. Era una pregunta posible de hacer, alrededor de 1957, para una caracterización puramente teórica de categorías de haces de conjuntos , el caso de los haces de grupos abelianos había sido subsumido por el trabajo de Grothendieck (el artículo de Tôhoku ).
Cinco años más tarde, alrededor de 1962, Grothendieck y Verdier dieron finalmente una definición de topos (véase el seminario de Verdier sobre Nicolas Bourbaki Analysis Situs ). La caracterización se hizo mediante categorías «con suficientes colímites » y se aplicó a lo que hoy se denomina un topos de Grothendieck . La teoría se completó estableciendo que un topos de Grothendieck era una categoría de haces, donde ahora la palabra haz había adquirido un significado más amplio, ya que implicaba una topología de Grothendieck .
La idea de una topología de Grothendieck (también conocida como sitio ) ha sido caracterizada por John Tate como un audaz juego de palabras sobre los dos sentidos de la superficie de Riemann . [ cita requerida ] Técnicamente hablando, permitió la construcción de la buscada cohomología étale (así como otras teorías refinadas como la cohomología plana y la cohomología cristalina ). En este punto, alrededor de 1964, los desarrollos impulsados por la geometría algebraica habían seguido en gran medida su curso. La discusión sobre el "conjunto abierto" se había resumido efectivamente en la conclusión de que las variedades tenían un sitio suficientemente rico de conjuntos abiertos en cubiertas no ramificadas de sus conjuntos abiertos de Zariski (ordinarios) .
La definición actual de topos se remonta a William Lawvere y Myles Tierney . Si bien el momento es muy similar al descrito anteriormente, históricamente la actitud es diferente y la definición es más inclusiva. Es decir, hay ejemplos de topos que no son un topos de Grothendieck . Es más, estos pueden ser de interés para varias disciplinas lógicas .
La definición de Lawvere y Tierney destaca el papel central que desempeña en la teoría de topos el clasificador de subobjetos . En la categoría habitual de conjuntos, este es el conjunto de dos elementos de valores de verdad booleanos , verdadero y falso . Es casi tautológico decir que los subconjuntos de un conjunto X dado son los mismos (tan buenos como) las funciones en X para cualquier conjunto de dos elementos dado: fije el "primer" elemento y haga que un subconjunto Y corresponda a la función que envía a Y allí y su complemento en X al otro elemento.
Ahora bien, en la teoría de haces se pueden encontrar clasificadores de subobjetos . Todavía de manera tautológica, aunque ciertamente de manera más abstracta, para un espacio topológico X existe una descripción directa de un haz en X que desempeña el papel con respecto a todos los haces de conjuntos en X. Su conjunto de secciones sobre un conjunto abierto U de X es simplemente el conjunto de subconjuntos abiertos de U. El espacio asociado a un haz , para él, es más difícil de describir.
Por lo tanto, Lawvere y Tierney formularon axiomas para un topos que suponía un clasificador de subobjetos y algunas condiciones límite (para hacer una categoría cartesiana cerrada , al menos). Durante un tiempo, esta noción de topos se denominó "topos elemental".
Una vez formulada la idea de una conexión con la lógica, hubo varios desarrollos que "probaron" la nueva teoría:
Resulta irónico que en la aplicación del programa a largo plazo de David Hilbert se encontrara un lugar natural para las ideas centrales de la lógica intuicionista : Hilbert había detestado la escuela de LEJ Brouwer . La existencia como existencia "local" en el sentido teórico de los haces, que ahora se conoce con el nombre de semántica de Kripke-Joyal , es una buena opción. Por otra parte, los largos esfuerzos de Brouwer sobre las "especies", como él llamaba a la teoría intuicionista de los números reales, presumiblemente quedan subsumidos y privados de un estatus más allá de lo histórico. Existe una teoría de los números reales en cada topos, y por lo tanto nadie domina la teoría intuicionista.
Los trabajos posteriores sobre cohomología étale han tendido a sugerir que no se requiere la teoría general completa del topos. Por otra parte, se utilizan otros sitios y el topos de Grothendieck ha ocupado su lugar dentro del álgebra homológica.
El programa de Lawvere consistía en escribir lógica de orden superior en términos de teoría de categorías. El tratamiento que Joachim Lambek y PJ Scott hacen de ello en el libro demuestra que es posible hacerlo de forma clara . El resultado es, en esencia, una teoría intuicionista (es decir, lógica constructiva ), cuyo contenido se aclara por la existencia de un topos libre . Se trata de una teoría de conjuntos en sentido amplio, pero también algo que pertenece al ámbito de la sintaxis pura . La estructura de su clasificador de subobjetos es la de un álgebra de Heyting . Para obtener una teoría de conjuntos más clásica, se pueden considerar los topos en los que, además, se trata de un álgebra de Boole o, especializándose aún más, aquellos con sólo dos valores de verdad. En ese libro, se habla de matemáticas constructivas ; pero, de hecho, esto puede leerse como ciencia informática fundamental (que no se menciona). Si se quieren analizar operaciones de teoría de conjuntos, como la formación de la imagen (rango) de una función, se garantiza que un topos podrá expresar esto de forma totalmente constructiva.
También produjo un derivado más accesible en la topología sin sentido , donde el concepto de localidad aísla algunas ideas encontradas al tratar a los topos como un desarrollo significativo del espacio topológico . El lema es "los puntos vienen después": esto cierra el círculo de la discusión en esta página. El punto de vista está escrito en Stone Spaces de Peter Johnstone , que ha sido llamado por un líder en el campo de la ciencia informática "un tratado sobre extensionalidad ". Lo extensional se trata en matemáticas como ambiente: no es algo sobre lo que los matemáticos realmente esperan tener una teoría. Quizás es por eso que la teoría de topos ha sido tratada como una rareza; va más allá de lo que permite la forma de pensamiento tradicionalmente geométrica. Las necesidades de teorías completamente intensionales como el cálculo lambda no tipificado se han satisfecho en la semántica denotacional . La teoría de topos ha parecido durante mucho tiempo una posible "teoría maestra" en esta área.
El concepto de topos surgió en geometría algebraica como consecuencia de la combinación del concepto de haz y de clausura en operaciones categóricas . Desempeña un papel determinado en las teorías de cohomología. Una "aplicación clave" es la cohomología étale .
Los desarrollos posteriores asociados con la lógica son más interdisciplinarios. Incluyen ejemplos que se basan en la teoría de la homotopía ( topos de clasificación ). Implican vínculos entre la teoría de categorías y la lógica matemática, y también (como una discusión organizativa de alto nivel) entre la teoría de categorías y la informática teórica basada en la teoría de tipos . Si se acepta la visión general de Saunders Mac Lane sobre la ubicuidad de los conceptos, esto les otorga un estatus definido. El uso de topos como puentes unificadores en matemáticas ha sido iniciado por Olivia Caramello en su libro de 2017. [1]