Respuesta de impulso finito

Tipo de filtro en el procesamiento de señales.

En el procesamiento de señales , un filtro de respuesta de impulso finita ( FIR ) es un filtro cuya respuesta de impulso (o respuesta a cualquier entrada de longitud finita) es de duración finita , porque llega a cero en un tiempo finito. Esto contrasta con los filtros de respuesta de impulso infinito (IIR), que pueden tener retroalimentación interna y continuar respondiendo indefinidamente (generalmente decayendo). ^{[ cita necesaria ]}

La respuesta de impulso (es decir, la salida en respuesta a una entrada delta de Kronecker ) de un filtro FIR de tiempo discreto de orden N ^dura exactamente muestras (desde el primer elemento distinto de cero hasta el último elemento distinto de cero) antes de estabilizarse en cero. ${\displaystyle N+1}$

Los filtros FIR pueden ser de tiempo discreto o de tiempo continuo , y digitales o analógicos .

Definición

Un filtro FIR de tiempo discreto de forma directa de orden N. La parte superior es una línea de retardo de N etapas con N + 1 derivaciones. Cada unidad de retraso es un operador z ⁻¹ en notación de transformada Z.

Un filtro FIR de tiempo discreto en forma de celosía de orden N. Cada unidad de retraso es un operador z ⁻¹ en notación de transformada Z.

Para un filtro FIR causal de tiempo discreto de orden N , cada valor de la secuencia de salida es una suma ponderada de los valores de entrada más recientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$

dónde :

• ${\textstyle x[n]}$es la señal de entrada,
• ${\textstyle y[n]}$es la señal de salida,
• ${\textstyle N}$es el orden del filtro; un filtro de orden ^th tiene términos en el lado derecho ${\textstyle N}$ ${\textstyle N+1}$
• ${\textstyle b_{i}}$es el valor de la respuesta al impulso en el i'ésimo instante de un filtro FIR de orden. Si el filtro es un filtro FIR de forma directa, entonces también es un coeficiente del filtro. ${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ${\textstyle N^{\text{th}}}$ ${\textstyle b_{i}}$

Este cálculo también se conoce como convolución discreta .

En estos términos se les conoce comúnmente como ${\textstyle x[n-i]}$tap s, basado en la estructura de unalínea de retardo roscadaque en muchas implementaciones o diagramas de bloques proporciona las entradas retardadas para las operaciones de multiplicación. Se puede hablar, por ejemplo, de unfiltro de 5º orden/6 grifos.

La respuesta al impulso del filtro tal como se define es distinta de cero durante una duración finita. Incluyendo los ceros, la respuesta al impulso es la secuencia infinita :

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Si un filtro FIR no es causal, el rango de valores distintos de cero en su respuesta de impulso puede comenzar antes , con la fórmula definitoria apropiadamente generalizada. ${\displaystyle n=0}$

Propiedades

Un filtro FIR tiene una serie de propiedades útiles que a veces lo hacen preferible a un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR). Filtros FIR:

• No requiere comentarios. Esto significa que los errores de redondeo no se ven agravados por la suma de iteraciones. El mismo error relativo ocurre en cada cálculo. Esto también simplifica la implementación.
• Son inherentemente estables , ya que la salida es una suma de un número finito de múltiplos finitos de los valores de entrada, por lo que no pueden ser mayores que multiplicar por el valor más grande que aparece en la entrada. ${\textstyle \sum |b_{i}|}$
• Se puede diseñar fácilmente para que sea de fase lineal haciendo que la secuencia de coeficientes sea simétrica. Esta propiedad a veces se desea para aplicaciones sensibles a la fase, por ejemplo, comunicaciones de datos, sismología , filtros de cruce y masterización .

La principal desventaja de los filtros FIR es que se requiere considerablemente más potencia de cálculo en un procesador de uso general en comparación con un filtro IIR con nitidez o selectividad similar , especialmente cuando se necesitan cortes de baja frecuencia (en relación con la frecuencia de muestreo). Sin embargo, muchos procesadores de señales digitales proporcionan funciones de hardware especializadas para hacer que los filtros FIR sean aproximadamente tan eficientes como los IIR para muchas aplicaciones.

Respuesta frecuente

El efecto del filtro sobre la secuencia se describe en el dominio de la frecuencia mediante el teorema de convolución : ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$     y     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$

donde los operadores y respectivamente denotan la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) y su inversa. Por lo tanto, la función multiplicativa de valores complejos es la respuesta de frecuencia del filtro . Está definido por una serie de Fourier : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle H(\omega )}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$

donde el subíndice agregado denota periodicidad 2π. Aquí representa la frecuencia en unidades normalizadas ( radianes/muestra ). La sustitución favorecida por muchos programas de diseño de filtros cambia las unidades de frecuencia a ciclos/muestra y la periodicidad a 1. ^[A] Cuando la secuencia x[n] tiene una velocidad de muestreo conocida, muestras/segundo , la sustitución cambia las unidades de frecuencia a ciclos/segundo ( hercios ) y la periodicidad a El valor corresponde a una frecuencia de Hz ciclos/muestra , que es la frecuencia de Nyquist . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f,}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f/f_{s}}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle f_{s}.}$ ${\displaystyle \omega =\pi }$ ${\displaystyle f={\tfrac {f_{s}}{2}}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$También se puede expresar en términos de la transformada Z de la respuesta al impulso del filtro:

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$

Diseño de filtro

Un filtro FIR se diseña encontrando los coeficientes y el orden de los filtros que cumplen ciertas especificaciones, que pueden estar en el dominio del tiempo (por ejemplo, un filtro coincidente ) y/o en el dominio de la frecuencia (el más común). Los filtros adaptados realizan una correlación cruzada entre la señal de entrada y una forma de pulso conocida. La convolución FIR es una correlación cruzada entre la señal de entrada y una copia invertida en el tiempo de la respuesta al impulso. Por lo tanto, la respuesta al impulso del filtro adaptado se "diseña" muestreando la forma de pulso conocida y utilizando esas muestras en orden inverso como coeficientes del filtro. ^[1]

Cuando se desea una respuesta de frecuencia particular, son comunes varios métodos de diseño diferentes:

1. Método de diseño de ventanas.
2. Método de muestreo de frecuencia
3. Método de mínimo MSE (error cuadrático medio)
4. Método de Parks-McClellan (también conocido como método equiripple, óptimo o minimax). El algoritmo de intercambio de Remez se utiliza comúnmente para encontrar un conjunto de coeficientes equivalentes óptimos. Aquí el usuario especifica una respuesta de frecuencia deseada, una función de ponderación para los errores de esta respuesta y un orden de filtro N. Luego, el algoritmo encuentra el conjunto de coeficientes que minimizan la desviación máxima del ideal. Intuitivamente, esto encuentra el filtro que está lo más cerca posible de la respuesta deseada dado que solo se pueden usar coeficientes. Este método es particularmente fácil en la práctica ya que al menos un texto ^[2] incluye un programa que toma el filtro deseado y N y devuelve los coeficientes óptimos. ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle N+1}$
5. Los filtros Equiripple FIR también se pueden diseñar utilizando los algoritmos DFT. ^[3] El algoritmo es de naturaleza iterativa. La DFT de un diseño de filtro inicial se calcula utilizando el algoritmo FFT (si no se dispone de una estimación inicial, se puede utilizar h[n]=delta[n]). En el dominio de Fourier, o dominio DFT, la respuesta de frecuencia se corrige de acuerdo con las especificaciones deseadas y luego se calcula la DFT inversa. En el dominio del tiempo, sólo se mantienen los primeros N coeficientes (los demás coeficientes se establecen en cero). Luego, el proceso se repite iterativamente: la DFT se calcula una vez más, se aplica la corrección en el dominio de la frecuencia, etc.

Paquetes de software como MATLAB , GNU Octave , Scilab y SciPy proporcionan formas convenientes de aplicar estos diferentes métodos.

Método de diseño de ventanas.

En el método de diseño de ventanas, primero se diseña un filtro IIR ideal y luego se trunca la respuesta al impulso infinito multiplicándola por una función de ventana de longitud finita . El resultado es un filtro de respuesta de impulso finito cuya respuesta de frecuencia se modifica con respecto a la del filtro IIR. Multiplicar el impulso infinito por la función de ventana en el dominio del tiempo da como resultado que la respuesta de frecuencia del IIR convolucione con la transformada de Fourier (o DTFT) de la función de ventana. Si el lóbulo principal de la ventana es estrecho, la respuesta de frecuencia compuesta permanece cercana a la del filtro IIR ideal.

La respuesta ideal suele ser rectangular y la IIR correspondiente es una función sinc . El resultado de la convolución en el dominio de la frecuencia es que los bordes del rectángulo se estrechan y aparecen ondulaciones en la banda de paso y en la banda de parada. Trabajando hacia atrás, se puede especificar la pendiente (o ancho) de la región cónica ( banda de transición ) y la altura de las ondulaciones y, de ese modo, derivar los parámetros en el dominio de la frecuencia de una función de ventana apropiada. Se puede continuar hacia atrás hasta una respuesta de impulso iterando un programa de diseño de filtros para encontrar el orden mínimo de filtro. Otro método es restringir el conjunto de soluciones a la familia paramétrica de ventanas Kaiser , que proporciona relaciones de forma cerrada entre los parámetros del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia. En general, ese método no logrará el orden de filtro mínimo posible, pero es particularmente conveniente para aplicaciones automatizadas que requieren un diseño de filtro dinámico sobre la marcha.

El método de diseño de ventanas también es ventajoso para crear filtros de media banda eficientes , porque la función sinc correspondiente es cero en todos los demás puntos de muestra (excepto el central). El producto con la función ventana no altera los ceros, por lo que casi la mitad de los coeficientes de la respuesta al impulso final son cero. Una implementación adecuada de los cálculos FIR puede explotar esa propiedad para duplicar la eficiencia del filtro.

Método del mínimo error cuadrático medio (MSE)

Meta:

Para diseñar el filtro FIR en el sentido MSE, minimizamos el error cuadrático medio entre el filtro que obtuvimos y el filtro deseado.

${\displaystyle {\text{MSE}}=f_{s}^{-1}\int _{-f_{s}/2}^{f_{s}/2}|H(f)-H_{d}(f)|^{2}\,df}$, donde es la frecuencia de muestreo, es el espectro del filtro que obtuvimos y es el espectro del filtro deseado. ${\displaystyle f_{s}\,}$ ${\displaystyle H(f)\,}$ ${\displaystyle H_{d}(f)\,}$

Método:

Dado un filtro FIR de N puntos , y . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]=h[n+k],k={\frac {(N-1)}{2}}}$

Paso 1: Supongamos incluso simétrico. Entonces, la transformada de Fourier en tiempo discreto se define como ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]}$

${\displaystyle R(F)=e^{j2\pi Fk}H(F)=\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)}$

Paso 2: Calcular el error cuadrático medio.

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)H_{d}\,dF+\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\,dF}$

Paso 3: Minimizar el error cuadrático medio haciendo la derivada parcial de MSE con respecto a ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{MSE}}}{\partial s[n]}}=2\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\cos(2\pi nF)\,dF=0}$

Después de la organización, tenemos

${\displaystyle s[0]=\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)\,dF}$

${\displaystyle s[n]=\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)H_{d}(F)\,dF,\ {\text{ for }}n\neq 0}$

Paso 4: Vuelva a la presentación de ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[k]=s[0],h[k+n]=s[n]/2,h[k-n]=s[n]/2,\;for\;n=1,2,3,\ldots ,k,{\text{ where }}k=(N-1)/2}$y ${\displaystyle h[n]=0{\text{ for }}n<0{\text{ and }}n\geq N}$

Además, podemos tratar la importancia de la banda de paso y la banda de parada de manera diferente según nuestras necesidades agregando una función ponderada. Luego, el error MSE se convierte en ${\displaystyle W(f)}$

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}W(F)|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Ejemplo de media móvil

Un filtro de media móvil es un filtro FIR muy simple. A veces se le llama filtro de furgón , especialmente cuando va seguido de diezmado o sincronización en frecuencia . Los coeficientes de filtro, , se encuentran mediante la siguiente ecuación: ${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

Para dar un ejemplo más específico, seleccionamos el orden de filtrado:

${\displaystyle N=2}$

La respuesta al impulso del filtro resultante es :

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

El diagrama de bloques de la derecha muestra el filtro de media móvil de segundo orden que se analiza a continuación. La función de transferencia es :

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$

La siguiente figura muestra el diagrama polo-cero correspondiente . La frecuencia cero (DC) corresponde a (1, 0), las frecuencias positivas avanzan en sentido antihorario alrededor del círculo hasta la frecuencia de Nyquist en (−1, 0). Dos polos están ubicados en el origen y dos ceros están ubicados en , . ${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

La respuesta de frecuencia, en términos de frecuencia normalizada ω , es :

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$

Los componentes de magnitud y fase de se representan en la figura. Pero también se pueden generar gráficos como estos haciendo una transformada discreta de Fourier (DFT) de la respuesta al impulso. ^[B] Y debido a la simetría, el diseño de filtros o el software de visualización a menudo muestra solo la región [0, π]. El gráfico de magnitud indica que el filtro de media móvil pasa frecuencias bajas con una ganancia cercana a 1 y atenúa las frecuencias altas y, por lo tanto, es un filtro de paso bajo tosco . La gráfica de fase es lineal excepto por las discontinuidades en las dos frecuencias donde la magnitud llega a cero. El tamaño de las discontinuidades es π, lo que representa una inversión de signo. No afectan la propiedad de fase lineal, como se ilustra en la figura final. ${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$

Ver también

• filtro electrónico
• Filtro (procesamiento de señal)
• Filtro de respuesta de impulso infinito (IIR)
• Transformada Z (específicamente Ecuación en diferencias de coeficientes constantes lineales )
• Función de transferencia FIR
• Diseño de filtro
• Integrador en cascada-filtro de peine
• Soporte compacto

Notas

1. Una excepción es MATLAB, que prefiere unidades de semiciclos/muestra = ciclos/2 muestras , porque la frecuencia de Nyquist en esas unidades es 1, una opción conveniente para el software de trazado que muestra el intervalo de 0 a la frecuencia de Nyquist.
2. Ver § Muestreo de DTFT .

Referencias

1. Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S. y Young, Ian T., 1983: Señales y sistemas, p. 256 (Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN  0-13-809731-3
2. Rabiner, Lawrence R. y Gold, Bernard, 1975: Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales (Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4 
3. AE Cetin, ON Gerek, Y. Yardimci, "Diseño de filtro Equiripple FIR mediante el algoritmo FFT", IEEE Signal Processing Magazine, págs. 60–64, marzo de 1997.