filtro causal

En el procesamiento de señales , un filtro causal es un sistema causal lineal e invariante en el tiempo . La palabra causal indica que la salida del filtro depende sólo de entradas pasadas y presentes. Un filtro cuya salida también depende de entradas futuras es no causal , mientras que un filtro cuya salida depende sólo de entradas futuras es anticausal . Los sistemas (incluidos los filtros) que son realizables (es decir, que operan en tiempo real ) deben ser causales porque tales sistemas no pueden actuar sobre una entrada futura. En efecto, eso significa que la muestra de salida que mejor representa la entrada en ese momento sale un poco más tarde. Una práctica de diseño común para los filtros digitales es crear un filtro realizable acortando y/o desplazando el tiempo una respuesta de impulso no causal. Si es necesario un acortamiento, a menudo se logra como producto del impulso-respuesta con una función de ventana . ${\displaystyle t,}$

Un ejemplo de filtro anticausal es un filtro de fase máxima , que se puede definir como un filtro anticausal estable cuya inversa también es estable y anticausal.

Cada componente de la salida del filtro causal comienza cuando comienza su estímulo. Las salidas del filtro no causal comienzan antes de que comience el estímulo.

Ejemplo

La siguiente definición es una media móvil o móvil de datos de entrada . Se omite un factor constante de 1 ⁄ 2 por simplicidad: ${\displaystyle s(x)\,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

donde podría representar una coordenada espacial, como en el procesamiento de imágenes. Pero si representa el tiempo , entonces una media móvil definida de esa manera no es causal (también llamada no realizable ), porque depende de entradas futuras, como . Un resultado realizable es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t)\,}$ ${\displaystyle f(t)\,}$ ${\displaystyle s(t+1)\,}$

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

que es una versión retrasada del resultado no realizable.

Cualquier filtro lineal (como una media móvil) se puede caracterizar mediante una función h ( t ) llamada respuesta de impulso . Su salida es la convolución.

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

En esos términos, la causalidad requiere

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

y la igualdad general de estas dos expresiones requiere h ( t ) = 0 para todo t  <0.

Caracterización de filtros causales en el dominio de la frecuencia.

Sea h ( t ) un filtro causal con la correspondiente transformada de Fourier H (ω). Definir la función

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

que no es causal. Por otro lado, g ( t ) es hermitiana y, en consecuencia, su transformada de Fourier G (ω) tiene valor real. Ahora tenemos la siguiente relación.

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

donde Θ( t ) es la función de paso unitario de Heaviside .

Esto significa que las transformadas de Fourier de h ( t ) y g ( t ) están relacionadas de la siguiente manera

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

¿Dónde se realiza una transformada de Hilbert en el dominio de la frecuencia (en lugar del dominio del tiempo)? El signo de puede depender de la definición de la Transformada de Fourier. ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$

Tomando la transformada de Hilbert de la ecuación anterior se obtiene esta relación entre "H" y su transformada de Hilbert:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

Referencias

• Prensa, William H.; Teukolsky, Saúl A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (septiembre de 2007), Recetas numéricas (3.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 767, ISBN 9780521880688
• Rowell (enero de 2009), Determinación de la causalidad de un sistema a partir de su respuesta de frecuencia (PDF) , MIT OpenCourseWare