Transformada de Fourier en tiempo discreto

Técnica de análisis de Fourier aplicada a secuencias.

En matemáticas , la transformada de Fourier en tiempo discreto ( DTFT ) es una forma de análisis de Fourier que es aplicable a una secuencia de valores discretos.

El DTFT se utiliza a menudo para analizar muestras de una función continua. El término tiempo discreto se refiere al hecho de que la transformada opera con datos discretos, a menudo muestras cuyo intervalo tiene unidades de tiempo. A partir de muestras uniformemente espaciadas, produce una función de frecuencia que es una suma periódica de la transformada continua de Fourier de la función continua original. Bajo ciertas condiciones teóricas, descritas por el teorema de muestreo , la función continua original se puede recuperar perfectamente a partir de la DTFT y, por tanto, de las muestras discretas originales. La DTFT en sí es una función continua de la frecuencia, pero sus muestras discretas se pueden calcular fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier (DFT) (ver § Muestreo de la DTFT), que es, con diferencia, el método más común del análisis de Fourier moderno.

Ambas transformadas son invertibles. La DTFT inversa es la secuencia de datos muestreada original. La DFT inversa es una suma periódica de la secuencia original. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa produce un ciclo de la DFT inversa.

Definición

La transformada de Fourier en tiempo discreto de una secuencia discreta de números reales o complejos x [ n ] , para todos los números enteros n , es una serie de Fourier , que produce una función periódica de una variable de frecuencia. Cuando la variable de frecuencia, ω, tiene unidades normalizadas de radianes/muestra , la periodicidad es 2π y la serie de Fourier es : ^{[1] : p.147}

La utilidad de esta función en el dominio de la frecuencia tiene sus raíces en la fórmula de suma de Poisson . Sea X ( f ) la transformada de Fourier de cualquier función, x ( t ) , cuyas muestras en algún intervalo T ( segundos ) sean iguales (o proporcionales) a la secuencia x [ n ] , es decir, T ⋅ x ( nT ) = x [ n ] . ^[2]   Entonces la función periódica representada por la serie de Fourier es una sumatoria periódica de X ( f ) en términos de frecuencia f en hercios ( ciclos/seg ) : ^{[a] [A]}

Fig 1. Representación de una transformada de Fourier (arriba a la izquierda) y su suma periódica (DTFT) en la esquina inferior izquierda. La esquina inferior derecha muestra muestras de DTFT que se calculan mediante una transformada discreta de Fourier (DFT).

El número entero k tiene unidades de ciclos/muestra , y 1/ T es la frecuencia de muestreo, f _s ( muestras/seg ). Entonces X _{1/ T} ( f ) comprende copias exactas de X ( f ) que se desplazan en múltiplos de f _s hercios y se combinan mediante suma. Para f _s suficientemente grande, el término k = 0 se puede observar en la región [− f _s /2, f _s /2] con poca o ninguna distorsión ( aliasing ) de los otros términos. En la figura 1, los extremos de la distribución en la esquina superior izquierda están enmascarados por alias en la suma periódica (abajo a la izquierda).

También observamos que e ^{− i2πfTn} es la transformada de Fourier de δ ( t − nT ) . Por lo tanto, una definición alternativa de DTFT es: ^[B]

La función de peine de Dirac modulada es una abstracción matemática a la que a veces se hace referencia como muestreo por impulso . ^[4]

transformada inversa

Una operación que recupera la secuencia de datos discretos de la función DTFT se llama DTFT inversa . Por ejemplo, la transformada inversa continua de Fourier de ambos lados de la ecuación 3 produce la secuencia en forma de una función de peine de Dirac modulada:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Sin embargo, teniendo en cuenta que X _{1/ T} ( f ) es periódico, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud 1/ T . Tanto en la ecuación 1 como en la ecuación 2 , las sumatorias sobre n son una serie de Fourier , con coeficientes x [ n ] . Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier son también las transformadas inversas:

Datos periódicos

Cuando la secuencia de datos de entrada x [ n ] es N -periódica, la Ec.2 se puede reducir computacionalmente a una transformada discreta de Fourier (DFT), porque :

• Toda la información disponible está contenida en N muestras.
• X _{1/ T} ( f ) converge a cero en todas partes excepto en múltiplos enteros de 1/( NT ) , conocidos como frecuencias armónicas . En esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes velocidades dependientes de la frecuencia. Y esas tasas están dadas por la DFT de un ciclo de la secuencia x [ n ] .
• La DTFT es periódica, por lo que el número máximo de amplitudes armónicas únicas es (1/ T ) / (1/( NT )) = N

Los coeficientes DFT están dados por :

${\displaystyle X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},}$     y el DTFT es :

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right).}$      ^[b]

Sustituir esta expresión en la fórmula de transformación inversa confirma :

${\displaystyle \int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\ =\ {\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}} _{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv \ x(nT),\quad n\in \mathbb {Z} \,}$( todos los números enteros )

como se esperaba. La DFT inversa en la línea anterior a veces se denomina serie discreta de Fourier (DFS). ^{[1] : pág. 542}

Muestreo del DTFT

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras ( N ) de un ciclo de la función periódica X _{1/ T} :  ^{[1] : págs. 557–559 y 703}

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

donde hay una suma periódica : ${\displaystyle x_{_{N}}}$

${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$     (ver serie discreta de Fourier )

La secuencia es la DFT inversa. Por tanto, nuestro muestreo de la DTFT hace que la transformada inversa se vuelva periódica. La matriz de | X _k | ² valores se conoce como periodograma y el parámetro N se llama NFFT en la función de Matlab del mismo nombre. ^[5] ${\displaystyle x_{_{N}}}$

Para evaluar un ciclo de numéricamente, necesitamos una secuencia x [ n ] de longitud finita . Por ejemplo, una secuencia larga podría truncarse mediante una función de ventana de longitud L , lo que daría como resultado tres casos dignos de mención especial. Para simplificar la notación, considere los valores x [ n ] siguientes para representar los valores modificados por la función de ventana. ${\displaystyle x_{_{N}}}$

Caso: Diezmación de frecuencia. L = N ⋅ I , para algún número entero I (normalmente 6 u 8)

Un ciclo de se reduce a una suma de I segmentos de longitud N . La DFT recibe entonces varios nombres, como : ${\displaystyle x_{_{N}}}$

• FFT de presunción de ventana ^[6]
• Ponderar, superponer, agregar (WOLA) ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [C] [D]}

• DFT polifásico ^{[10] [11]}
• banco de filtros polifásicos ^[13]
• ventanas de bloques múltiples y alias de tiempo . ^[14]

Recuerde que la destrucción de datos muestreados en un dominio (tiempo o frecuencia) produce superposición (a veces conocida como aliasing ) en el otro, y viceversa. En comparación con una DFT de longitud L , la suma/superposición provoca una reducción de la frecuencia, ^{[1] : p.558} dejando solo las muestras DTFT menos afectadas por la fuga espectral . Esta suele ser una prioridad al implementar un banco de filtros FFT (canalizador). Con una función de ventana convencional de longitud L , la pérdida por festoneado sería inaceptable. Por lo tanto, las ventanas de bloques múltiples se crean utilizando herramientas de diseño de filtros FIR . ^{[15] [16]}   Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente en el punto medio entre las muestras DTFT restantes. Cuanto mayor sea el valor del parámetro I , mejor será el rendimiento potencial. ${\displaystyle x_{_{N}}}$

Caso: L = N +1 .

Cuando una función de ventana simétrica de longitud L ( ) se trunca en 1 coeficiente, se denomina periódica o DFT par . El truncamiento afecta a la DTFT. Una DFT de la secuencia truncada muestrea la DTFT en intervalos de frecuencia de 1/ N . Para muestrear con las mismas frecuencias, a modo de comparación, la DFT se calcula para un ciclo de la suma periódica, ^[E] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{_{N}}.}$

Fig 2. EPS de e ^i2πn/8 para L = 64 y N = 256

Fig 3. EPS de e ^i2πn/8 para L = 64 y N = 64

Caso: Interpolación de frecuencia. L ≤ norte

En este caso, la DFT se simplifica a una forma más familiar:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Para aprovechar un algoritmo de transformada rápida de Fourier para calcular la DFT, la suma generalmente se realiza sobre todos los N términos, aunque N − L de ellos sean ceros. Por lo tanto, el caso L < N a menudo se denomina relleno con ceros .

La fuga espectral, que aumenta a medida que L disminuye, es perjudicial para ciertas métricas de rendimiento importantes, como la resolución de múltiples componentes de frecuencia y la cantidad de ruido medida por cada muestra DTFT. Pero esas cosas no siempre importan, por ejemplo cuando la secuencia x [ n ] es una sinusoide silenciosa (o una constante), formada por una función de ventana. Entonces es una práctica común utilizar relleno con ceros para mostrar gráficamente y comparar los patrones de fuga detallados de las funciones de ventana. Para ilustrar eso para una ventana rectangular, considere la secuencia:

${\displaystyle x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$y ${\displaystyle L=64.}$

Las Figuras 2 y 3 son gráficos de la magnitud de dos DFT de diferentes tamaños, como se indica en sus etiquetas. En ambos casos, el componente dominante está en la frecuencia de la señal: f = 1/8 = 0,125 . También es visible en la Fig. 2 el patrón de fuga espectral de la ventana rectangular L = 64 . La ilusión de la Fig. 3 es el resultado de muestrear la DTFT justo en sus cruces por cero. En lugar de la DTFT de una secuencia de longitud finita, da la impresión de una secuencia sinusoidal infinitamente larga. Los factores que contribuyen a la ilusión son el uso de una ventana rectangular y la elección de una frecuencia (1/8 = 8/64) con exactamente 8 ciclos (un número entero) por 64 muestras. Una ventana de Hann produciría un resultado similar, excepto que el pico se ampliaría a 3 muestras (consulte DFT-ventana de Hann par).

Circunvolución

El teorema de convolución para secuencias es :

${\displaystyle x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[18] : p.297  [c]}

Un caso especial importante es la convolución circular de secuencias xey definidas por donde es una suma periódica. La naturaleza de frecuencia discreta de significa que el producto con la función continua también es discreto, lo que resulta en una simplificación considerable de la transformada inversa : ${\displaystyle x_{_{N}}*y,}$ ${\displaystyle x_{_{N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[19] [1] : p.548}

Para secuencias xey cuya duración distinta de cero es menor o igual a N , una simplificación final es :

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

La importancia de este resultado se explica en Algoritmos de convolución circular y convolución rápida .

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^{[18] : p.291}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}}$

De esto se desprenden varias relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real ( x _RE + x _RO ) es la función simétrica par X _RE + i X _IO . Por el contrario, una transformación simétrica par implica un dominio del tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i x _IE + i x _IO ) es la función simétrica impar X _RO + i X _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica par ( x _RE + i x _IO ) es la función de valor real X _RE + X _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica impar ( x _RO + i x _IE ) es la función de valor imaginario i X _IE + i X _IO , y lo contrario es cierto.

Relación con la transformada Z

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también se puede expresar en términos de la transformada Z bilateral . Es decir:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),}$

donde la notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. Por lo tanto, también podemos expresar una parte de la transformada Z en términos de la transformada de Fourier: ${\displaystyle {\widehat {X}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que cuando el parámetro T cambia, los términos de permanecen a una separación constante y su ancho aumenta o disminuye. Los términos de X _{1/ T} ( f ) mantienen un ancho constante y su separación 1/ T aumenta o disminuye. ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Tabla de transformadas de Fourier en tiempo discreto

En la siguiente tabla se muestran algunos pares de transformadas comunes. Se aplica la siguiente notación:

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$es un número real que representa la frecuencia angular continua (en radianes por muestra). ( está en ciclos/seg y en segundos/muestra). En todos los casos de la tabla, la DTFT es 2π-periódica (en ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$designa una función definida en . ${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle X_{o}(\omega )}$designa una función definida en y cero en otros lugares. Entonces: ${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$
  $${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$es la función delta de Dirac
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$es la función sinc normalizada
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$es la función triangular
• n es un número entero que representa el dominio del tiempo discreto (en muestras)
• ${\displaystyle u[n]}$es la función de paso unitario de tiempo discreto
• ${\displaystyle \delta [n]}$es el delta de Kronecker ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Propiedades

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en el dominio de la frecuencia.

• ${\displaystyle *\!}$es la convolución discreta de dos secuencias
• ${\displaystyle x[n]^{*}}$es el conjugado complejo de x [ n ] .

Ver también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• transformación de zak

Notas

1. Cuando la dependencia de T no es importante, una práctica común es reemplazarla con Entonces f   tiene unidades de ( ciclos/muestra ), llamada frecuencia normalizada . ${\displaystyle 1.}$
2. De hecho, la ecuación 2 a menudo se justifica de la siguiente manera: ^{[1] : p.143}
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}$$
3. WOLA no debe confundirse con el método de convolución por partes de superposición y adición.
4. Ejemplo de WOLA: Archivo: ejemplo de canalizador WOLA.png
5. Un ejemplo es la figura Muestreo de DTFT. Las muestras DFT de valor real son el resultado de la simetría par DFT ^{[17] : p.52}
6. Esta expresión se deriva de la siguiente manera: ^{[1] : p.168}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}$

Citas de página

1. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 147 (4.20), p 694 (10.1), y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 255, (9.33), donde:     y   ${\displaystyle T\cdot X(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
2. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 551 (8.35), y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 82, (4.43), donde :     y   ${\displaystyle T\cdot {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$  ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$  ${\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],}$ ${\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T).}$
3. Oppenheim y Schafer, ^[1] p 60, (2.169), y Prandoni y Vetterli, ^[3] p 122, (5.21)

Referencias

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Otras lecturas

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