Espiral

Curva que gira alrededor de un punto central.

Corte de la concha de un nautilo que muestra las cámaras dispuestas en una espiral aproximadamente logarítmica

En matemáticas , una espiral es una curva que emana de un punto y se aleja a medida que gira alrededor del punto. ^{[1] [2] [3] [4]} Es un subtipo de patrones verticilos , un grupo amplio que también incluye objetos concéntricos .

hélices

Una espiral de Arquímedes (negra), una hélice (verde) y una espiral cónica (roja)

Dos definiciones principales de "espiral" en el American Heritage Dictionary son: ^[5]

1. una curva en un plano que gira alrededor de un punto central fijo a una distancia que aumenta o disminuye continuamente desde el punto.
2. una curva tridimensional que gira alrededor de un eje a una distancia constante o que varía continuamente mientras se mueve paralelamente al eje; una hélice .

La primera definición describe una curva plana , que se extiende en ambas direcciones perpendiculares dentro de su plano; el surco en un lado de un disco de gramófono se aproxima mucho a una espiral plana (y es por el ancho y la profundidad finitos del surco, pero no por el espacio más amplio entre las pistas que dentro de ellas, que no llega a ser un ejemplo perfecto); tenga en cuenta que los bucles sucesivos difieren en diámetro. En otro ejemplo, las "líneas centrales" de los brazos de una galaxia espiral trazan espirales logarítmicas .

La segunda definición incluye dos tipos de parientes tridimensionales de espirales:

• Un resorte cónico o de voluta (incluido el resorte que se usa para sostener y hacer contacto con los terminales negativos de las baterías AA o AAA en una caja de baterías ) y el vórtice que se crea cuando el agua se drena en un fregadero a menudo se describe como una espiral. o como una hélice cónica .
• De manera bastante explícita, la definición 2 también incluye un resorte helicoidal cilíndrico y una hebra de ADN , los cuales son bastante helicoidales, de modo que "hélice" es una descripción más útil que "espiral" para cada uno de ellos; en general, la "espiral" rara vez se aplica si los "bucles" sucesivos de una curva tienen el mismo diámetro. ^[5]

En la imagen lateral, la curva negra en la parte inferior es una espiral de Arquímedes , mientras que la curva verde es una hélice. La curva que se muestra en rojo es una hélice cónica.

Bidimensional

Una espiral bidimensional , o plana, se puede describir más fácilmente utilizando coordenadas polares , donde el radio es una función continua monótona del ángulo : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

El círculo se consideraría como un caso degenerado (la función no sería estrictamente monótona, sino constante ).

En - -coordenadas la curva tiene la representación paramétrica: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Ejemplos

Algunos de los tipos más importantes de espirales bidimensionales incluyen:

• La espiral de Arquímedes : ${\displaystyle r=a\varphi }$
• La espiral hiperbólica : ${\displaystyle r=a/\varphi }$
• La espiral de Fermat : ${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• El lituo : ${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• La espiral logarítmica : ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• La espiral de Cornu o clotoide
• La espiral de Fibonacci y la espiral dorada
• La Espiral de Teodoro : una aproximación de la espiral de Arquímedes compuesta por triángulos rectángulos contiguos
• La involuta de un círculo.

• 
  Espiral de Arquímedes
• 
  espiral hiperbólica
• 
  La espiral de Fermat
• 
  lituo
• 
  espiral logarítmica
• 
  espiral de cornu
• 
  espiral de teodoro
• 
  Espiral de Fibonacci (espiral dorada)
• 
  La involuta de un círculo (negra) no es idéntica a la espiral de Arquímedes (roja).

Espiral hiperbólica como proyección central de una hélice.

Al enrollar una alfombra se genera, por ejemplo, una espiral de Arquímedes . ^[6]

Una espiral hiperbólica aparece como imagen de una hélice con una proyección central especial (ver diagrama). Una espiral hiperbólica a veces se llama espiral recíproca , porque es la imagen de una espiral de Arquímedes con una inversión de círculo (ver más abajo). ^[7]

El nombre de espiral logarítmica se debe a la ecuación . Aproximaciones de esto se encuentran en la naturaleza. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

Espirales que no encajan en este esquema de los primeros 5 ejemplos:

Una espiral de Cornu tiene dos puntos asintóticos.
La espiral de Teodoro es un polígono.
La espiral de Fibonacci consta de una secuencia de arcos circulares.
La involuta de un círculo parece una de Arquímedes, pero no lo es: consulte Involuta#Ejemplos .

Propiedades geométricas

Las siguientes consideraciones tratan de las espirales, que pueden describirse mediante una ecuación polar , especialmente para los casos (espirales de Arquímedes, hiperbólica, de Fermat, lituus) y de la espiral logarítmica . ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Definición de sector (azul claro) y ángulo de pendiente polar ${\displaystyle \alpha }$

Ángulo de pendiente polar

El ángulo entre la tangente de la espiral y el círculo polar correspondiente (ver diagrama) se llama ángulo de la pendiente polar y de la pendiente polar . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tan \alpha }$

Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Por tanto la pendiente de la espiral es ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

En el caso de una espiral de Arquímedes ( ) la pendiente polar es ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

La espiral logarítmica es un caso especial, debido a la constante  ! ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

curvatura

La curvatura de una curva con ecuación polar es ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Para una espiral con uno se pone ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

En el caso de (espiral de Arquímedes) . Sólo porque la espiral tiene un punto de inflexión . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

La curvatura de una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Área sectorial

El área de un sector de una curva (ver diagrama) con ecuación polar es ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Para una espiral con ecuación se obtiene ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

La fórmula de una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Longitud de arco

La longitud de un arco de una curva con ecuación polar es ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Para la espiral la longitud es ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

No todas estas integrales se pueden resolver con una tabla adecuada. En el caso de una espiral de Fermat, la integral se puede expresar únicamente mediante integrales elípticas .

La longitud del arco de una espiral logarítmica es ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Inversión de círculo

La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple: . ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• La imagen de una espiral bajo la inversión en el círculo unitario es la espiral con ecuación polar . Por ejemplo: la inversa de una espiral de Arquímedes es una espiral hiperbólica. ${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

Una espiral logarítmica se asigna a la espiral logarítmica. ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Espirales acotadas

Espirales acotadas: (izquierda), (derecha)
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$

La función de una espiral suele ser estrictamente monótona, continua e ilimitada . Para las espirales estándar es una función potencia o una función exponencial. Si se elige una función acotada , la espiral también lo estará. Una función acotada adecuada es la función arctan : ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$

Ejemplo 1

La configuración y la elección dan como resultado una espiral que comienza en el origen (como una espiral de Arquímedes) y se acerca al círculo con radio (diagrama, izquierda). ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$ ${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

Ejemplo 2

Para y se obtiene una espiral que se acerca al origen (como una espiral hiperbólica) y se acerca al círculo con radio (diagrama, derecha). ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$ ${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

Tridimensional

Espiral cónica con espiral de Arquímedes como planta.

Dos curvas espaciales espirales muy conocidas son las espirales cónicas y las espirales esféricas , definidas a continuación. Otro ejemplo de espirales espaciales es la espiral toroidal . ^[8] Una espiral enrollada alrededor de una hélice, ^[9] también conocida como hélice de doble torsión , ^[10] representa objetos como filamentos enrollados .

Espirales cónicas

Si en el plano - -una espiral con representación paramétrica ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

se da, entonces se puede agregar una tercera coordenada , tal que la curva ahora espacial se encuentre en el cono con la ecuación : ${\displaystyle z(\varphi )}$ ${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Las espirales basadas en este procedimiento se denominan espirales cónicas .

Ejemplo

Comenzando con una espiral de Arquímedes se obtiene la espiral cónica (ver diagrama) ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Espiral esférica con ${\displaystyle c=8}$

Espirales esféricas

Si se representa una esfera de radio por: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

y establece la dependencia lineal para las coordenadas de los ángulos, se obtiene una curva esférica llamada espiral esférica ^[11] con la representación paramétrica (con igual al doble del número de vueltas) ${\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,}$ ${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}}$

Pappus también conocía las espirales esféricas.

Observación: una línea de rumbo no es una espiral esférica en este sentido.

• 
  espiral esférica
• 
  Loxódromo

Una línea de rumbo (también conocida como loxódromo o "espiral esférica") es la curva sobre una esfera trazada por un barco con rumbo constante (por ejemplo, viajando de un polo a otro manteniendo un ángulo fijo con respecto a los meridianos ). El loxódromo tiene un número infinito de revoluciones , disminuyendo la separación entre ellas a medida que la curva se acerca a cualquiera de los polos, a diferencia de una espiral de Arquímedes que mantiene un espaciado uniforme entre líneas independientemente del radio.

En naturaleza

El estudio de las espirales en la naturaleza tiene una larga historia. Christopher Wren observó que muchas conchas forman una espiral logarítmica ; Jan Swammerdam observó las características matemáticas comunes de una amplia gama de capas, desde Helix hasta Spirula ; y Henry Nottidge Moseley describió las matemáticas de las conchas univalvas . On Growth and Form, de D'Arcy Wentworth Thompson, ofrece un tratamiento extenso de estas espirales. Describe cómo se forman las conchas al girar una curva cerrada alrededor de un eje fijo: la forma de la curva permanece fija pero su tamaño crece en una progresión geométrica . En algunas conchas, como Nautilus y amonitas , la curva generadora gira en un plano perpendicular al eje y la concha formará una forma discoide plana. En otros, sigue un camino oblicuo que forma un patrón de hélice en espiral. Thompson también estudió las espirales que se producen en cuernos , dientes , garras y plantas . ^[12]

H. Vogel propuso un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol ^{[13] .} Este tiene la forma

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

donde n es el número índice de la flor y c es un factor de escala constante y es una forma de espiral de Fermat . El ángulo de 137,5° es el ángulo áureo que está relacionado con la proporción áurea y proporciona un empaquetado compacto de floretes. ^[14]

Las espirales en plantas y animales se describen frecuentemente como verticilos . Este es también el nombre que se le da a las huellas dactilares con forma de espiral .

• 
  Representación artística de una galaxia espiral.
• 
  Cabeza de girasol que muestra floretes en espirales de 34 y 55 alrededor del exterior.

como símbolo

Se ha encontrado una forma en forma de espiral en Mezine , Ucrania , como parte de un objeto decorativo que data del año 10.000 a.C. ^{[ cita necesaria ]} El motivo de la espiral y la triple espiral es un símbolo neolítico en Europa ( Templos megalíticos de Malta ). El símbolo celta , la triple espiral, es en realidad un símbolo precelta. ^[15] Está tallado en la roca de un rombo de piedra cerca de la entrada principal del monumento prehistórico de Newgrange en el condado de Meath , Irlanda . Newgrange se construyó alrededor del año 3200 a. C. antes de los celtas y las espirales triples se tallaron al menos 2500 años antes de que los celtas llegaran a Irlanda, pero hace mucho que se incorporaron a la cultura celta. ^[16] El símbolo del trisquel , que consta de tres espirales entrelazadas o tres piernas humanas dobladas, aparece en muchas culturas primitivas, incluidas las vasijas micénicas , en las monedas de Licia , en los staters de Panfilia (en Aspendos , 370-333 a. C.) y en Pisidia , como así como en el emblema heráldico de los escudos de los guerreros representados en la cerámica griega. ^[17]

Las espirales se pueden encontrar en todo el arte precolombino de América Latina y Central. Los más de 1.400 petroglifos (grabados rupestres) de Las Plazuelas, Guanajuato , México , que datan del 750 al 1200 d. C., representan predominantemente espirales, figuras de puntos y modelos a escala. ^[18] En Colombia, las figuras parecidas a monos, ranas y lagartos representadas en petroglifos o como figuras de ofrendas de oro con frecuencia incluyen espirales, por ejemplo en las palmas de las manos. ^[19] En la Baja Centroamérica las espirales junto con los círculos, las líneas onduladas, las cruces y las puntas son caracteres universales de los petroglifos. ^[20] También se pueden encontrar espirales entre las Líneas de Nazca en el desierto costero de Perú, que datan del 200 a. C. al 500 d. C. Los geoglifos se cuentan por miles y representan animales, plantas y motivos geométricos, incluidas espirales. ^[21]

Las formas espirales, incluidas la esvástica , el triskele , etc., a menudo se han interpretado como símbolos solares . ^{[ cita necesaria ]} Se han encontrado tejas que datan de la dinastía Tang con este símbolo al oeste de la antigua ciudad de Chang'an (actual Xi'an). ^{[ cita necesaria ] [ año necesario ]}

Las espirales también son un símbolo de hipnosis , que surge del cliché de personas y personajes de dibujos animados que son hipnotizados mirando fijamente una espiral que gira (un ejemplo es Kaa en El libro de la selva de Disney ). También se utilizan como símbolo de mareo , donde los ojos de un personaje de dibujos animados, especialmente en anime y manga , se convierten en espirales para mostrar que está mareado o aturdido. La espiral también se encuentra en estructuras tan pequeñas como la doble hélice del ADN y tan grandes como una galaxia . Debido a este frecuente fenómeno natural, la espiral es el símbolo oficial del Movimiento Panteísta Mundial . ^[22] La espiral es también un símbolo del proceso dialéctico y del monismo dialéctico .

• 
  La cultura Cucuteni gira en espiral sobre un cuenco sobre un soporte, una vasija sobre un soporte y un ánfora, 4300-4000 a. C., cerámica, Palacio de la Cultura , Iași , Rumania
• 
  Espirales neolíticas en la losa de entrada de Newgrange , escultor o arquitecto desconocido, tercer milenio a.C.
• 
  Espirales micénicas en una estela funeraria, Círculo de tumbas A, c. 1550 aC, piedra, Museo Arqueológico Nacional , Atenas , Grecia
• 
  Espirales meroíticas sobre un carnero del callejón del templo de Amón de Naqa , escultor desconocido, siglo I d.C., piedra, in situ
• 
  Diseño en espiral islámico de la Gran Mezquita de Samarra , Samarra , Irak , arquitecto desconocido, c. 851
• 
  Campanario en espiral de estilo gótico de la Maison des compagnons du tour de France, Nantes , arquitecto desconocido, c. 1910

En arte

La espiral ha inspirado a artistas de todas las épocas. Entre las obras de arte inspiradas en espirales más famosas se encuentra el movimiento de tierras de Robert Smithson , " Spiral Jetty ", en el Gran Lago Salado de Utah. ^[23] El tema de la espiral también está presente en Spiral Resonance Field de David Wood en el Balloon Museum de Albuquerque, así como en el álbum conceptual de 1994 de Nine Inch Nails, aclamado por la crítica , The Downward Spiral . La Espiral también es un tema destacado en el anime Gurren Lagann , donde representa una filosofía y una forma de vida. También es central en el trabajo de Mario Merz y Andy Goldsworthy. La espiral es el tema central del manga de terror Uzumaki de Junji Ito , donde un pequeño pueblo costero se ve afligido por una maldición que involucra espirales. 2012 A Piece of Mind de Wayne A Beale también representa una gran espiral en este libro de sueños e imágenes. ^{[24] [ cita completa necesaria ] [25] [ verificación necesaria ]} La espiral enrollada es una imagen central en la iconografía gótica suburbana de la artista australiana Tanja Stark , que incorpora elementos de estufa eléctrica en espiral como símbolos de alquimia y espiritualidad doméstica. ^{[26] [27]}

Ver también

• Laberinto celta (espiral en línea recta)
• Círculos concéntricos
• ADN
• Número de Fibonacci
• Hipogeo de Ħal-Saflieni
• Templos megalíticos de Malta
• Patrones en la naturaleza
• Superficie de concha
• espiral
• Cortadora de verduras en espiral
• Escaleras de caracol
• Triskelion

Referencias

1. "Espiral | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
2. "Definición de espiral (Diccionario ilustrado de matemáticas)". www.mathsisfun.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
3. "espiral.htm". www.math.tamu.edu . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
4. "Patrones matemáticos en la naturaleza". El Instituto Franklin . 2017-06-01 . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
5. "Espiral, Diccionario de herencia estadounidense del idioma inglés , Houghton Mifflin Company, cuarta edición, 2009.
6. Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
7. Weisstein, Eric W. "Espiral hiperbólica". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
8. von Seggern, DH (1994). Manual práctico de diseño y generación de curvas. Taylor y Francisco. pag. 241.ISBN _ 978-0-8493-8916-0. Consultado el 3 de marzo de 2022 .
9. "Slinky - de Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld . 2002-09-13 . Consultado el 3 de marzo de 2022 .
10. Ugajin, R.; Ishimoto, C.; Kuroki, Y.; Hirata, S.; Watanabe, S. (2001). "Análisis estadístico de una hélice de torsión múltiple". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . Elsevier BV. 292 (1–4): 437–451. Código Bib : 2001PhyA..292..437U. doi :10.1016/s0378-4371(00)00572-0. ISSN  0378-4371.
11. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, pág.132 
12. Thompson, D'Arcy (1942) [1917]. Sobre crecimiento y forma. Prensa de la Universidad de Cambridge ; Nueva York: Macmillan. págs. 748–933.
13. Ben chispas. "Geogebra: los girasoles son irracionalmente bonitos".
14. Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Arístid (1990). La belleza algorítmica de las plantas. Springer-Verlag. págs. 101-107. ISBN 978-0-387-97297-8.
15. Anthony Murphy y Richard Moore, Isla del sol poniente: en busca de los antiguos astrónomos de Irlanda, 2ª ed., Dublín: The Liffey Press, 2008, págs. 168-169
16. "Newgrange Irlanda - Tumba del pasaje megalítico - Patrimonio de la humanidad". Knowth.com. 2007-12-21. Archivado desde el original el 26 de julio de 2013 . Consultado el 16 de agosto de 2013 .
17. Por ejemplo, el trislele del escudo redondo de Aquiles en una hidria ática de finales del siglo VI en el Museo de Bellas Artes de Boston , ilustrado en John Boardman, Jasper Griffin y Oswyn Murray, Grecia y el mundo helenístico (Historia de Oxford del mundo clásico ) vol. Yo (1988), pág. 50.
18. "Arte Rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. p. 5. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
19. "Arte Rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. p. 99. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
20. "Arte Rupestre de América Latina y el Caribe" (PDF) . Consejo Internacional de Monumentos y Sitios. Junio ​​de 2006. pág. 17. Archivado (PDF) desde el original el 5 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
21. Jarus, Owen (14 de agosto de 2012). "Líneas de Nazca: Geoglifos misteriosos en Perú". Ciencia viva. Archivado desde el original el 4 de enero de 2014 . Consultado el 4 de enero de 2014 .
22. Harrison, Pablo. «Arte panteísta» (PDF) . Movimiento Panteísta Mundial . Consultado el 7 de junio de 2012 .
23. Israel, Nico (2015). Espirales: la imagen girada en la literatura y el arte del siglo XX . Prensa de la Universidad de Columbia de Nueva York. págs. 161–186. ISBN 978-0-231-15302-7.
24. 2012 Una pieza de mente por Wayne A Beale
25. http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (se requiere suscripción)
26. Stark, Tanja (4 de julio de 2012). "Viajes en espiral: giros y regresos". tanjastark.com .
27. Rígido, Tanja. "Conferencia: Corrientes subterráneas en espiral: símbolos arquetípicos de dolor, esperanza y curación". Sociedad Jung Melbourne .

Publicaciones relacionadas

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enlaces externos

• [11] Archivado el 2 de julio de 2021 en Wayback Machine.
• La espiral de Arquímedes se transforma en la espiral de Galileo. Mijaíl Gaichenkov, OEIS