Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio tiene una raíz real o compleja

El teorema fundamental del álgebra , también llamado teorema de d'Alembert ^[1] o teorema de d'Alembert-Gauss ^[2] , establece que todo polinomio de una sola variable no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Esto incluye polinomios con coeficientes reales, ya que todo número real es un número complejo con su parte imaginaria igual a cero.

De manera equivalente (por definición), el teorema establece que el campo de números complejos es algebraicamente cerrado .

El teorema también se enuncia de la siguiente manera: todo polinomio de grado n , de una sola variable y distinto de cero, con coeficientes complejos, tiene, contados con multiplicidad , exactamente n raíces complejas. La equivalencia de las dos afirmaciones se puede demostrar mediante el uso de la división sucesiva de polinomios .

A pesar de su nombre, no es fundamental para el álgebra moderna ; recibió su nombre cuando el álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones .

Historia

Peter Roth  [de] , en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608, en Núremberg, por Johann Lantzenberger), ^[3] escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Albert Girard , en su libro L'invention nouvelle en l'Algèbre (publicado en 1629), afirmó que una ecuación polinómica de grado n tiene n soluciones, pero no afirmó que tuvieran que ser números reales. Además, agregó que su afirmación es válida "a menos que la ecuación sea incompleta", con lo que quería decir que ningún coeficiente es igual a 0. Sin embargo, cuando explica en detalle lo que quiere decir, queda claro que realmente cree que su afirmación es siempre verdadera; por ejemplo, muestra que la ecuación, aunque incompleta, tiene cuatro soluciones (contando las multiplicidades): 1 (dos veces), y ${\displaystyle x^{4}=4x-3,}$ ${\displaystyle -1+i{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}}.}$

Como se mencionará nuevamente más adelante, del teorema fundamental del álgebra se sigue que todo polinomio no constante con coeficientes reales puede escribirse como un producto de polinomios con coeficientes reales cuyos grados son 1 o 2. Sin embargo, en 1702 Leibniz dijo erróneamente que ningún polinomio del tipo x ⁴ + a ⁴ (con un real y distinto de 0) puede escribirse de esa manera. Más tarde, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación con respecto al polinomio x ⁴ − 4 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4 , pero recibió una carta de Euler en 1742 ^[4] en la que se demostraba que este polinomio es igual a

${\displaystyle \left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),}$

Además , Euler señaló que ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.}$

${\displaystyle x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).}$

Un primer intento de demostrar el teorema fue realizado por d'Alembert en 1746, pero su prueba fue incompleta. Entre otros problemas, suponía implícitamente un teorema (hoy conocido como teorema de Puiseux ), que no se demostraría hasta más de un siglo después y utilizando el teorema fundamental del álgebra. Otros intentos fueron realizados por Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795). Estos últimos cuatro intentos asumieron implícitamente la afirmación de Girard; para ser más precisos, se supuso la existencia de soluciones y todo lo que quedaba por demostrar era que su forma era a  +  bi para algunos números reales a y b . En términos modernos, Euler, de Foncenex, Lagrange y Laplace estaban asumiendo la existencia de un cuerpo de descomposición del polinomio p ( z ).

A finales del siglo XVIII se publicaron dos nuevas demostraciones que no suponían la existencia de raíces, pero ninguna de ellas era completa. Una de ellas, debida a James Wood y principalmente algebraica, se publicó en 1798 y fue totalmente ignorada. La demostración de Wood tenía un vacío algebraico. ^[5] La otra fue publicada por Gauss en 1799 y era principalmente geométrica, pero tenía un vacío topológico, que sólo fue llenado por Alexander Ostrowski en 1920, como se analiza en Smale (1981). ^[6]

La primera prueba rigurosa fue publicada por Argand , un matemático aficionado , en 1806 (y revisada en 1813); ^[7] también fue aquí donde, por primera vez, se enunció el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos, en lugar de solo coeficientes reales. Gauss produjo otras dos pruebas en 1816 y otra versión incompleta de su prueba original en 1849.

El primer libro de texto que contenía una demostración del teorema fue el Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica de Cauchy (1821). En él se incluía la demostración de Argand, aunque no se le atribuye a Argand su autoría.

Ninguna de las demostraciones mencionadas hasta ahora es constructiva . Fue Weierstrass quien planteó por primera vez, a mediados del siglo XIX, el problema de encontrar una demostración constructiva del teorema fundamental del álgebra. Presentó su solución, que equivale en términos modernos a una combinación del método de Durand-Kerner con el principio de continuación de homotopía , en 1891. Otra demostración de este tipo fue obtenida por Hellmuth Kneser en 1940 y simplificada por su hijo Martin Kneser en 1981.

Sin utilizar la elección contable , no es posible demostrar de manera constructiva el teorema fundamental del álgebra para números complejos basados ​​en los números reales de Dedekind (que no son constructivamente equivalentes a los números reales de Cauchy sin elección contable). ^[8] Sin embargo, Fred Richman demostró una versión reformulada del teorema que sí funciona. ^[9]

Declaraciones equivalentes

Existen varias formulaciones equivalentes del teorema:

• Todo polinomio univariante de grado positivo con coeficientes reales tiene al menos una raíz compleja .
• Todo polinomio univariante de grado positivo con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja .

  Esto implica inmediatamente la afirmación anterior, ya que los números reales son también números complejos. La inversa resulta del hecho de que se obtiene un polinomio con coeficientes reales tomando el producto de un polinomio por su conjugado complejo (obtenido al reemplazar cada coeficiente por su conjugado complejo). Una raíz de este producto es una raíz del polinomio dado, o de su conjugado; en este último caso, el conjugado de esta raíz es una raíz del polinomio dado.

• Todo polinomio univariante de grado positivo n con coeficientes complejos se puede factorizar como donde son números complejos. $${\displaystyle c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$ ${\displaystyle c,r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  Los n números complejos son las raíces del polinomio. Si una raíz aparece en varios factores, se trata de una raíz múltiple y el número de sus apariciones es, por definición, la multiplicidad de la raíz. ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  La prueba de que esta afirmación resulta de las anteriores se hace por recursión sobre n : cuando se ha encontrado una raíz , la división polinómica por proporciona un polinomio de grado cuyas raíces son las otras raíces del polinomio dado. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle x-r_{1}}$ ${\displaystyle n-1}$

Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes a las anteriores, aunque no implican ningún número complejo no real. Estas afirmaciones se pueden demostrar a partir de factorizaciones anteriores observando que, si r es una raíz no real de un polinomio con coeficientes reales, su conjugado complejo también es una raíz, y es un polinomio de grado dos con coeficientes reales (este es el teorema de la raíz conjugada compleja ). Por el contrario, si uno tiene un factor de grado dos, la fórmula cuadrática da una raíz. ${\displaystyle {\overline {r}}}$ ${\displaystyle (x-r)(x-{\overline {r}})}$

• Todo polinomio univariante con coeficientes reales de grado mayor que dos tiene un factor de grado dos con coeficientes reales.
• Todo polinomio univariante con coeficientes reales de grado positivo se puede factorizar como donde c es un número real y cada uno es un polinomio mónico de grado dos como máximo con coeficientes reales. Además, se puede suponer que los factores de grado dos no tienen ninguna raíz real. $${\displaystyle cp_{1}\cdots p_{k},}$$ ${\displaystyle p_{i}}$

Pruebas

Todas las demostraciones que se presentan a continuación implican algún tipo de análisis matemático o, al menos, el concepto topológico de continuidad de funciones reales o complejas. Algunas también utilizan funciones diferenciables o incluso analíticas . Este requisito ha llevado a la observación de que el Teorema Fundamental del Álgebra no es ni fundamental ni un teorema del álgebra. ^[10]

Algunas demostraciones del teorema sólo prueban que cualquier polinomio no constante con coeficientes reales tiene alguna raíz compleja. Este lema es suficiente para establecer el caso general porque, dado un polinomio no constante p con coeficientes complejos, el polinomio

${\displaystyle q=p{\overline {p}},}$

tiene solo coeficientes reales y, si z es una raíz de q , entonces z o su conjugado es una raíz de p . Aquí, es el polinomio obtenido al reemplazar cada coeficiente de p con su conjugado complejo ; las raíces de son exactamente los conjugados complejos de las raíces de p ${\displaystyle {\overline {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$

Muchas demostraciones no algebraicas del teorema utilizan el hecho (a veces llamado "lema del crecimiento") de que una función polinómica p ( z ) de grado n cuyo coeficiente dominante es 1 se comporta como z ⁿ cuando | z | es suficientemente grande. Más precisamente, existe algún número real positivo R tal que

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|}$

cuando | z | >  R .

Pruebas analítico-reales

Incluso sin utilizar números complejos, es posible demostrar que un polinomio de valor real p ( x ): p (0) ≠ 0 de grado n > 2 siempre puede ser dividido por algún polinomio cuadrático con coeficientes reales. ^{[11] En otras palabras, para algunos} a y b de valor real , los coeficientes del resto lineal al dividir p ( x ) por x ² − ax − b se convierten simultáneamente en cero.

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

donde q ( x ) es un polinomio de grado n − 2. Los coeficientes R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) son independientes de x y están completamente definidos por los coeficientes de p ( x ). En términos de representación, R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) son polinomios bivariados en a y b . En el estilo de la primera (incompleta) demostración de Gauss de este teorema de 1799, la clave es mostrar que para cualquier valor negativo suficientemente grande de b , todas las raíces de R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) en la variable a son de valor real y se alternan entre sí (propiedad de entrelazado). Utilizando una cadena tipo Sturm que contiene R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) como términos consecutivos, el entrelazado en la variable a se puede mostrar para todos los pares consecutivos en la cadena siempre que b tenga un valor negativo suficientemente grande. Como S _p ( a , b = 0) = p (0) no tiene raíces, el entrelazado de R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) en la variable a falla en b = 0. Se pueden aplicar argumentos topológicos sobre la propiedad de entrelazado para mostrar que el lugar geométrico de las raíces de R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p (x )} ( a , b ) deben intersecarse para algunos valores reales a y b < 0.

Pruebas analíticas complejas

Halla un disco cerrado D de radio r centrado en el origen tal que | p ( z )| > | p (0)| siempre que | z | ≥  r . El mínimo de | p ( z )| en D , que debe existir ya que D es compacto , se alcanza por tanto en algún punto z ₀ en el interior de D , pero no en cualquier punto de su frontera. El principio de módulo máximo aplicado a 1/ p ( z ) implica que p ( z ₀ ) = 0. En otras palabras, z ₀ es un cero de p ( z ).

Una variación de esta prueba no requiere el principio de módulo máximo (de hecho, un argumento similar también proporciona una prueba del principio de módulo máximo para funciones holomorfas). Continuando con lo anterior a la invocación del principio, si a  := p ( z ₀ ) ≠ 0, entonces, desarrollando p ( z ) en potencias de z − z ₀ , podemos escribir

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Aquí, c _j son simplemente los coeficientes del polinomio z → p ( z + z ₀ ) después de la expansión, y k es el índice del primer coeficiente distinto de cero que sigue al término constante. Para z suficientemente cerca de z _0, esta función tiene un comportamiento asintóticamente similar al del polinomio más simple . Más precisamente, la función ${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

para alguna constante positiva M en algún entorno de z ₀ . Por lo tanto, si definimos y dejamos trazar un círculo de radio r > 0 alrededor de z , entonces para cualquier r suficientemente pequeño (de modo que se cumpla el límite M ), vemos que ${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$ ${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

Cuando r está suficientemente cerca de 0, este límite superior para | p ( z )| es estrictamente menor que | a |, contradiciendo la definición de z ₀ . Geométricamente, hemos encontrado una dirección explícita θ ₀ tal que si uno se aproxima a z ₀ desde esa dirección puede obtener valores p ( z ) menores en valor absoluto que | p ( z ₀ )|.

Otra prueba analítica puede obtenerse siguiendo esta línea de pensamiento observando que, puesto que | p ( z )| > | p (0)| fuera de D , el mínimo de | p ( z )| en todo el plano complejo se consigue en z ₀ . Si | p ( z ₀ )| > 0, entonces 1/ p es una función holomorfa acotada en todo el plano complejo puesto que, para cada número complejo z , |1/ p ( z )| ≤ |1/ p ( z ₀ )|. Aplicando el teorema de Liouville , que establece que una función entera acotada debe ser constante, esto implicaría que 1/ p es constante y por tanto que p es constante. Esto da una contradicción, y por tanto p ( z ₀ ) = 0. ^[12]

Otra prueba analítica utiliza el principio de argumento . Sea R un número real positivo lo suficientemente grande como para que cada raíz de p ( z ) tenga un valor absoluto menor que R ; dicho número debe existir porque cada función polinómica no constante de grado n tiene como máximo n ceros. Para cada r  >  R , considere el número

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

donde c ( r ) es el círculo centrado en 0 con radio r orientado en sentido antihorario; entonces el principio de argumento dice que este número es el número N de ceros de p ( z ) en la bola abierta centrada en 0 con radio r , que, como r  >  R , es el número total de ceros de p ( z ). Por otra parte, la integral de n / z a lo largo de c ( r ) dividida por 2π i es igual a n . Pero la diferencia entre los dos números es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

El numerador de la expresión racional que se está integrando tiene grado como máximo n  − 1 y el grado del denominador es n  + 1. Por lo tanto, el número anterior tiende a 0 cuando r → +∞. Pero el número también es igual a N  −  n y, por lo tanto, N  =  n .

Otra prueba analítica compleja se puede dar combinando el álgebra lineal con el teorema de Cauchy . Para establecer que todo polinomio complejo de grado n  > 0 tiene un cero, basta con mostrar que toda matriz cuadrada compleja de tamaño n > 0 tiene un valor propio  (complejo) . ^[13] La prueba de esta última afirmación es por contradicción .

Sea A una matriz cuadrada compleja de tamaño n  > 0 y sea I _n la matriz unitaria del mismo tamaño. Supongamos que A no tiene valores propios. Consideremos la función resolvente

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

que es una función meromórfica en el plano complejo con valores en el espacio vectorial de matrices. Los valores propios de A son precisamente los polos de R ( z ). Puesto que, por supuesto, A no tiene valores propios, la función R ( z ) es una función entera y el teorema de Cauchy implica que

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

Por otra parte, R ( z ) desarrollado como serie geométrica da:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

Esta fórmula es válida fuera del disco cerrado de radio (la norma del operador de A ). Sea entonces ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle r>\|A\|.}$

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(en la que sólo el sumando k  = 0 tiene una integral distinta de cero). Esto es una contradicción, por lo que A tiene un valor propio.

Finalmente, el teorema de Rouché ofrece quizás la prueba más corta del teorema.

Pruebas topológicas

Animación que ilustra la prueba del polinomio. ${\displaystyle x^{5}-x-1}$

Supóngase que el mínimo de | p ( z )| en todo el plano complejo se alcanza en z ₀ ; se vio en la prueba que utiliza el teorema de Liouville que tal número debe existir. Podemos escribir p ( z ) como un polinomio en z  −  z ₀ : existe algún número natural k y existen algunos números complejos c _k , c _{k  + 1} , ..., c _n tales que c _k  ≠ 0 y:

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Si p ( z ₀ ) es distinto de cero, se deduce que si a es una ^raíz k de − p ( z ₀ )/ c _k y si t es positivo y suficientemente pequeño, entonces | p ( z ₀  +  ta )| < | p ( z ₀ )|, lo cual es imposible, ya que | p ( z ₀ )| es el mínimo de | p | en D .

Para otra prueba topológica por contradicción, supongamos que el polinomio p ( z ) no tiene raíces y, en consecuencia, nunca es igual a 0. Piense en el polinomio como una función del plano complejo en el plano complejo. Función que convierte cualquier círculo | z | =  R en un bucle cerrado, una curva P ( R ). Consideraremos lo que sucede con el número de vueltas de P ( R ) en los extremos cuando R es muy grande y cuando R = 0. Cuando R es un número suficientemente grande, entonces el término principal z ⁿ de p ( z ) domina a todos los demás términos combinados; en otras palabras,

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

Cuando z recorre el círculo una vez en sentido antihorario y luego gira n veces en sentido antihorario alrededor del origen (0,0), y P ( R ) hace lo mismo. En el otro extremo, con | z | = 0, la curva P (0) es simplemente el único punto p (0), que debe ser distinto de cero porque p ( z ) nunca es cero. Por lo tanto, p (0) debe ser distinto del origen (0,0), que denota 0 en el plano complejo. El número de vueltas de P (0) alrededor del origen (0,0) es, por tanto, 0. Ahora bien, cambiar R continuamente deformará el bucle continuamente . En algún R, el número de vueltas debe cambiar. Pero eso solo puede suceder si la curva P ( R ) incluye el origen (0,0) para algún R . Pero entonces, para algún z en ese círculo | z | =  R, tenemos p ( z ) = 0, lo que contradice nuestra suposición original. Por lo tanto, p ( z ) tiene al menos un cero. ${\displaystyle Re^{i\theta }}$ ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$ ${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$ ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$

Pruebas algebraicas

Estas demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra deben hacer uso de los dos hechos siguientes sobre números reales que no son algebraicos pero que requieren sólo una pequeña cantidad de análisis (más precisamente, el teorema del valor intermedio en ambos casos):

• todo polinomio de grado impar y coeficientes reales tiene alguna raíz real;
• Todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada.

El segundo hecho, junto con la fórmula cuadrática , implica el teorema para polinomios cuadráticos reales. En otras palabras, las demostraciones algebraicas del teorema fundamental muestran que si R es cualquier cuerpo real cerrado , entonces su extensión C = R ( √ −1 ) es algebraicamente cerrada.

Por inducción

Como se mencionó anteriormente, basta con comprobar la afirmación "todo polinomio no constante p ( z ) con coeficientes reales tiene una raíz compleja". Esta afirmación se puede demostrar por inducción sobre el mayor entero no negativo k tal que 2 ^k divida el grado n de p ( z ). Sea a el coeficiente de z ⁿ en p ( z ) y sea F un cuerpo de descomposición de p ( z ) sobre C ; en otras palabras, el cuerpo F contiene a C y hay elementos z ₁ , z ₂ , ..., z _n en F tales que

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$

Si k  = 0, entonces n es impar, y por lo tanto p ( z ) tiene una raíz real. Ahora, supongamos que n  = 2 ^k m (con m impar y k  > 0) y que el teorema ya está demostrado cuando el grado del polinomio tiene la forma 2 ^{k  − 1} m ′ con m ′ impar. Para un número real t , definamos:

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).}$

Entonces los coeficientes de q _t ( z ) son polinomios simétricos en z _i con coeficientes reales. Por lo tanto, pueden expresarse como polinomios con coeficientes reales en los polinomios simétricos elementales , es decir, en − a ₁ , a ₂ , ..., (−1) ⁿ a _n . Por lo que q _t ( z ) tiene de hecho coeficientes reales . Además, el grado de q _t ( z ) es n ( n  − 1)/2 = 2 ^{k −1} m ( n  − 1), y m ( n  − 1) es un número impar. Por lo tanto, utilizando la hipótesis de inducción, q _t tiene al menos una raíz compleja; en otras palabras, z _i  +  z _j  +  tz _i z _j es complejo para dos elementos distintos i y j de {1, ..., n }. Puesto que hay más números reales que pares ( i , j ), se pueden encontrar números reales distintos t y s tales que z _i  +  z _j  +  tz _i z _j y z _i  +  z _j  +  sz _i z _j son complejos (para los mismos i y j ). Por lo tanto, tanto z _i  +  z _j como z _i z _j son números complejos. Es fácil comprobar que todo número complejo tiene una raíz cuadrada compleja, por lo que todo polinomio complejo de grado 2 tiene una raíz compleja mediante la fórmula cuadrática. De ello se deduce que z _i y z _j son números complejos, puesto que son raíces del polinomio cuadrático z ²  − ( z _i  +  z _j ) z  +  z _i z _j .

Joseph Shipman demostró en 2007 que la suposición de que los polinomios de grado impar tienen raíces es más fuerte de lo necesario; cualquier campo en el que los polinomios de grado primo tengan raíces es algebraicamente cerrado (por lo que "impar" puede reemplazarse por "primo impar" y esto se cumple para campos de todas las características). ^[14] Para la axiomatización de campos algebraicamente cerrados, esto es lo mejor posible, ya que hay contraejemplos si se excluye un solo primo. Sin embargo, estos contraejemplos se basan en que −1 tiene una raíz cuadrada. Si tomamos un campo donde −1 no tiene raíz cuadrada, y cada polinomio de grado n  ∈  I tiene una raíz, donde I es cualquier conjunto infinito fijo de números impares, entonces cada polinomio f ( x ) de grado impar tiene una raíz (ya que ( x ² + 1) ^k f ( x ) tiene una raíz, donde k se elige de modo que deg( f ) + 2 k ∈ I ).

De la teoría de Galois

Otra prueba algebraica del teorema fundamental se puede dar usando la teoría de Galois . Es suficiente mostrar que C no tiene extensión de cuerpo finito propia . ^[15] Sea K / C una extensión finita. Puesto que la clausura normal de K sobre R todavía tiene un grado finito sobre C (o R ), podemos suponer sin pérdida de generalidad que K es una extensión normal de R (por lo tanto es una extensión de Galois , ya que toda extensión algebraica de un cuerpo de característica 0 es separable ). Sea G el grupo de Galois de esta extensión, y sea H un 2-subgrupo de Sylow de G , de modo que el orden de H es una potencia de 2, y el índice de H en G es impar. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois , existe una subextensión L de K / R tal que Gal( K / L ) =  H . Como [ L : R ] = [ G : H ] es impar, y no hay polinomios reales irreducibles no lineales de grado impar, debemos tener L  = R , por lo tanto [ K : R ] y [ K : C ] son ​​potencias de 2. Suponiendo por contradicción que [ K : C ] > 1, concluimos que el 2-grupo Gal( K / C ) contiene un subgrupo de índice 2, por lo que existe una subextensión M de C de grado 2. Sin embargo, C no tiene extensión de grado 2, porque todo polinomio complejo cuadrático tiene una raíz compleja, como se mencionó anteriormente. Esto demuestra que [ K : C ] = 1, y por lo tanto K = C , lo que completa la prueba.

Pruebas geométricas

Existe otra forma de aproximarse al teorema fundamental del álgebra, debida a JM Almira y A. Romero: mediante argumentos geométricos de Riemann . La idea principal aquí es demostrar que la existencia de un polinomio no constante p ( z ) sin ceros implica la existencia de una métrica riemanniana plana sobre la esfera S ² . Esto conduce a una contradicción ya que la esfera no es plana.

Se dice que una superficie de Riemann ( M , g ) es plana si su curvatura gaussiana, que denotamos por K _g , es idénticamente nula. Ahora bien, el teorema de Gauss-Bonnet , cuando se aplica a la esfera S ² , afirma que

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

lo que demuestra que la esfera no es plana.

Supongamos ahora que n > 0 y

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

para cada número complejo z . Definamos

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Obviamente, p* ( z ) ≠ 0 para todo z en C . Considere el polinomio f ( z ) =  p ( z ) p* ( z ). Entonces f ( z ) ≠ 0 para cada z en C . Además,

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

Podemos usar esta ecuación funcional para demostrar que g , dada por

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

para w en C , y

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

para w  ∈  S ² \{0}, es una métrica riemanniana bien definida sobre la esfera S ² (que identificamos con el plano complejo extendido C  ∪ {∞}).

Ahora, un cálculo simple muestra que

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}$

ya que la parte real de una función analítica es armónica. Esto demuestra que K _g  = 0.

Corolarios

Dado que el teorema fundamental del álgebra puede verse como la afirmación de que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado , se deduce que cualquier teorema relativo a campos algebraicamente cerrados se aplica al campo de los números complejos. A continuación se presentan algunas consecuencias más del teorema, que se refieren al campo de los números reales o a la relación entre el campo de los números reales y el campo de los números complejos:

• El campo de los números complejos es el cierre algebraico del campo de los números reales.
• Todo polinomio de una variable z con coeficientes complejos es el producto de una constante compleja y polinomios de la forma z  +  a con un complejo.
• Todo polinomio de una variable x con coeficientes reales puede escribirse de forma única como el producto de una constante, polinomios de la forma x  +  a con a real y polinomios de la forma x ²  +  ax  +  b con a y b reales y a ²  − 4 b  < 0 (lo que es lo mismo que decir que el polinomio x ²  +  ax  +  b no tiene raíces reales). (Por el teorema de Abel-Ruffini , los números reales a y b no son necesariamente expresables en términos de los coeficientes del polinomio, las operaciones aritméticas básicas y la extracción de las raíces n -ésimas). Esto implica que el número de raíces complejas no reales es siempre par y permanece par cuando se cuenta con su multiplicidad.
• Toda función racional de una variable x , con coeficientes reales, puede escribirse como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma a /( x  −  b ) ⁿ (donde n es un número natural y a y b son números reales), y funciones racionales de la forma ( ax  +  b )/( x ²  +  cx  +  d ) ⁿ (donde n es un número natural y a , b , c y d son números reales tales que c ²  − 4 d  < 0). Un corolario de esto es que toda función racional de una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental .
• Toda extensión algebraica del campo real es isomorfa tanto al campo real como al campo complejo.

Límites de los ceros de un polinomio

Si bien el teorema fundamental del álgebra establece un resultado de existencia general, resulta de cierto interés, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, disponer de información sobre la ubicación de los ceros de un polinomio dado. El resultado más simple en esta dirección es una cota del módulo: todos los ceros ζ de un polinomio mónico satisfacen una desigualdad |ζ| ≤ R _∞ , donde ${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$

${\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.}$

Como se ha dicho, esto no es todavía un resultado de existencia sino más bien un ejemplo de lo que se llama un límite a priori : dice que si hay soluciones , entonces se encuentran dentro del disco cerrado de centro origen y radio R _∞ . Sin embargo, una vez acoplado con el teorema fundamental del álgebra dice que el disco contiene de hecho al menos una solución. De manera más general, un límite se puede dar directamente en términos de cualquier p-norma del n -vector de coeficientes que es |ζ| ≤ R _p , donde R _p es precisamente la q -norma del 2-vector q siendo el exponente conjugado de p , para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞. Por lo tanto, el módulo de cualquier solución también está acotado por ${\displaystyle a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),}$ ${\displaystyle (1,\|a\|_{p}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},}$

${\displaystyle R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},}$

para 1 < p < ∞, y en particular

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}$

(donde definimos n _como 1, lo cual es razonable ya que 1 es de hecho el n -ésimo coeficiente de nuestro polinomio). El caso de un polinomio genérico de grado n ,

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},}$

se reduce por supuesto al caso de una mónica, dividiendo todos los coeficientes por a _n ≠ 0. Además, en el caso de que 0 no sea una raíz, es decir, a ₀ ≠ 0, los límites desde abajo sobre las raíces ζ siguen inmediatamente como límites desde arriba sobre , es decir, las raíces de ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta }}}$

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

Finalmente, la distancia desde las raíces ζ a cualquier punto se puede estimar desde abajo y desde arriba, viéndose como ceros del polinomio , cuyos coeficientes son la expansión de Taylor de P ( z ) en ${\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|}$ ${\displaystyle \zeta _{0}}$ ${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$ ${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$ ${\displaystyle z=\zeta _{0}.}$

Sea ζ una raíz del polinomio

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

Para demostrar la desigualdad |ζ| ≤ R _p podemos suponer, por supuesto, |ζ| > 1. Escribiendo la ecuación como

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},}$

y usando la desigualdad de Hölder encontramos

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.}$

Ahora bien, si p = 1, esto es

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},}$

de este modo

${\displaystyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.}$

En el caso 1 < p ≤ ∞, teniendo en cuenta la fórmula de sumatoria para una progresión geométrica , tenemos

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

de este modo

${\displaystyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}$

y simplificando,

${\displaystyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.}$

Por lo tanto

${\displaystyle |\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}}$

se cumple, para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Véase también

• Teorema de factorización de Weierstrass , una generalización del teorema a otras funciones enteras
• Teorema de Eilenberg-Niven , una generalización del teorema a polinomios con coeficientes y variables cuaterniónicos
• Nullstellensatz de Hilbert , una generalización a varias variables de la afirmación de que existen raíces complejas
• Teorema de Bézout , una generalización a varias variables de la afirmación sobre el número de raíces.

Referencias

Citas

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2. Campesato, Jean-Baptiste (4 de noviembre de 2020), "14 - Ceros de funciones analíticas" (PDF) , MAT334H1-F – LEC0101, Variables complejas , Universidad de Toronto , consultado el 5 de septiembre de 2024
3. Libros raros
4. Véase la sección Le rôle d'Euler en el artículo de C. Gilain Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral .
5. Sobre la prueba de Wood, véase el artículo Un artículo olvidado sobre el teorema fundamental del álgebra , de Frank Smithies.
6. Smale escribe: "...Quiero señalar la inmensa laguna que contenía la prueba de Gauss. Es un punto sutil incluso hoy en día que una curva plana algebraica real no puede entrar en un disco sin salir. De hecho, aunque Gauss rehizo esta prueba 50 años después, la laguna permaneció. No fue hasta 1920 que se completó la prueba de Gauss. En la referencia Gauss, A. Ostrowski tiene un artículo que hace esto y también ofrece una excelente discusión del problema..."
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Jean-Robert Argand", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
8. Para el mínimo necesario para demostrar su equivalencia, véase Bridges, Schuster y Richman; 1998; Un principio de elección contable débil ; disponible en [1] Archivado el 19 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
9. Véase Fred Richman; 1998; El teorema fundamental del álgebra: un desarrollo constructivo sin elección ; disponible en [2] Archivado el 19 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
10. Aigner, Martin; Ziegler, Günter (2018), Pruebas del libro, Springer, pág. 151, ISBN 978-3-662-57264-1, OCLC  1033531310
11. Basu, Soham (octubre de 2021), "Teorema fundamental estrictamente real del álgebra mediante entrelazado de polinomios", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 104 (2): 249–255, doi : 10.1017/S0004972720001434 , MR  4308140
12. Ahlfors, Lars, Análisis complejo (2.ª ed.), McGraw-Hill Book Company, pág. 122
13. Una prueba de que esto es suficiente la podemos ver aquí .
14. Shipman, J. Mejorando el teorema fundamental del álgebra. The Mathematical Intelligencer , volumen 29 (2007), número 4, págs. 9-14.
15. Una prueba de que esto es suficiente la podemos ver aquí .

Fuentes históricas

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  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (diciembre de 1815), págs. , pag. 32, en Google Books - segunda prueba.
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• Taylor, Paul (2 de junio de 2007), Segunda prueba de Gauss del teorema fundamental del álgebra– Traducción al inglés de la segunda prueba de Gauss.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Álgebra , vol. I (7.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-40624-4

Enlaces externos

• Álgebra, teorema fundamental de la Enciclopedia de Matemáticas
• Teorema fundamental del álgebra: una colección de pruebas
• Del teorema fundamental del álgebra a la astrofísica: un camino “armonioso”
• Primera demostración de Gauss (en latín) en Google Books
• Primera demostración de Gauss (en latín) en Google Books
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74