En la filosofía de las matemáticas , el intuicionismo o neointuicionismo (opuesto al preintuicionismo ), es un enfoque en el que se considera que las matemáticas son puramente el resultado de la actividad mental constructiva de los humanos en lugar del descubrimiento de principios fundamentales que se afirma existen en una realidad objetiva. [1] Es decir, la lógica y las matemáticas no se consideran actividades analíticas en las que se revelan y aplican propiedades profundas de la realidad objetiva, sino que se consideran la aplicación de métodos internamente consistentes utilizados para realizar construcciones mentales más complejas, independientemente de su posible existencia independiente en una realidad objetiva.
La característica distintiva fundamental del intuicionismo es su interpretación de lo que significa que un enunciado matemático sea verdadero. En el intuicionismo original de Brouwer , la verdad de un enunciado matemático es una afirmación subjetiva: un enunciado matemático corresponde a una construcción mental, y un matemático puede afirmar la verdad de un enunciado sólo verificando la validez de esa construcción mediante la intuición . La vaguedad de la noción intuicionista de verdad conduce a menudo a interpretaciones erróneas sobre su significado. Kleene definió formalmente la verdad intuicionista desde una posición realista, pero Brouwer probablemente rechazaría esta formalización por carecer de sentido, dado su rechazo de la posición realista/platónica. Por lo tanto, la verdad intuicionista sigue estando algo mal definida. Sin embargo, debido a que la noción intuicionista de verdad es más restrictiva que la de las matemáticas clásicas, el intuicionista debe rechazar algunos supuestos de la lógica clásica para asegurarse de que todo lo que prueban sea de hecho intuicionistamente cierto. Esto da lugar a la lógica intuicionista .
Para un intuicionista, la afirmación de que existe un objeto con ciertas propiedades es la afirmación de que se puede construir un objeto con esas propiedades. Cualquier objeto matemático se considera producto de una construcción de una mente , y por tanto, la existencia de un objeto equivale a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que afirma que la existencia de una entidad puede probarse refutando su inexistencia. Para el intuicionista esto no es válido; la refutación de la inexistencia no significa que sea posible encontrar una construcción para el objeto putativo, como se requiere para afirmar su existencia. Como tal, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático ; pero no es el único tipo.
La interpretación de la negación es diferente en la lógica intuicionista que en la lógica clásica. En lógica clásica, la negación de un enunciado afirma que el enunciado es falso ; para un intuicionista, significa que la afirmación es refutable . [2] Existe, por tanto, una asimetría entre una afirmación positiva y una negativa en el intuicionismo. Si un enunciado P es demostrable, entonces P ciertamente no puede ser refutable. Pero incluso si se puede demostrar que P no puede ser refutado, esto no constituye una prueba de P. Por tanto, P es una afirmación más fuerte que no-no-P .
De manera similar, afirmar que A o B se cumplen, para un intuicionista, es afirmar que A o B pueden demostrarse . En particular, la ley del tercero excluido , " A o no A ", no se acepta como principio válido. Por ejemplo, si A es algún enunciado matemático que un intuicionista aún no ha probado o refutado, entonces ese intuicionista no afirmará la verdad de " A o no A ". Sin embargo, el intuicionista aceptará que " A y no A " no puede ser cierto. Así, los conectivos "y" y "o" de la lógica intuicionista no satisfacen las leyes de Morgan como lo hacen en la lógica clásica.
La lógica intuicionista sustituye la verdad abstracta por la constructibilidad y se asocia con una transición de la prueba de la teoría de modelos a la verdad abstracta en las matemáticas modernas . El cálculo lógico preserva la justificación, más que la verdad, a través de transformaciones que producen proposiciones derivadas. Se ha considerado que brinda apoyo filosófico a varias escuelas de filosofía, entre las que destaca el antirrealismo de Michael Dummett . Así, contrariamente a la primera impresión que su nombre podría transmitir, y como se observa en enfoques y disciplinas específicas (por ejemplo, Conjuntos y Sistemas Difusos), las matemáticas intuicionistas son más rigurosas que las matemáticas fundadas convencionalmente, donde, irónicamente, los elementos fundamentales que el intuicionismo intenta construir /refutar/reencontrar se consideran dados intuitivamente.
Entre las diferentes formulaciones del intuicionismo, existen varias posiciones diferentes sobre el significado y la realidad del infinito.
El término infinito potencial se refiere a un procedimiento matemático en el que hay una serie interminable de pasos. Una vez completado cada paso, siempre queda otro paso por realizar. Por ejemplo, considere el proceso de contar: 1, 2, 3,...
El término infinito real se refiere a un objeto matemático completo que contiene un número infinito de elementos. Un ejemplo es el conjunto de los números naturales , N = {1, 2,...}.
En la formulación de Cantor de la teoría de conjuntos, hay muchos conjuntos infinitos diferentes, algunos de los cuales son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales R es mayor que N , porque cualquier procedimiento que intente utilizar para poner los números naturales en correspondencia uno a uno con los números reales siempre fallará: siempre habrá un número infinito. de números reales "sobrantes". Cualquier conjunto infinito que pueda colocarse en correspondencia uno a uno con los números naturales se dice que es "contable" o "numerable". Se dice que los conjuntos infinitos mayores que este son "incontables". [3]
La teoría de conjuntos de Cantor condujo al sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), ahora la base más común de las matemáticas modernas . El intuicionismo se creó, en parte, como reacción a la teoría de conjuntos de Cantor.
La teoría de conjuntos constructiva moderna incluye el axioma del infinito de ZFC (o una versión revisada de este axioma) y el conjunto N de números naturales. La mayoría de los matemáticos constructivos modernos aceptan la realidad de conjuntos contablemente infinitos (sin embargo, véase Alexander Esenin-Volpin para ver un contraejemplo).
Brouwer rechazó el concepto de infinito real, pero admitió la idea de infinito potencial.
Según Weyl (1946), "Brouwer dejó claro, como creo que está fuera de toda duda, que no hay evidencia que respalde la creencia en el carácter existencial de la totalidad de todos los números naturales... la secuencia de números que crece más allá de cualquier etapa ya alcanzada pasando al siguiente número, es una multiplicidad de posibilidades abiertas hacia el infinito; permanece para siempre en el estado de creación, pero no es un reino cerrado de cosas que existen en sí mismas. El hecho de que hayamos convertido ciegamente uno en el otro es la verdadera fuente de nuestras dificultades, incluidas las antinomias, una fuente de naturaleza más fundamental de lo que indicaba el principio del círculo vicioso de Russell. Brouwer nos abrió los ojos y nos hizo ver hasta qué punto las matemáticas clásicas, alimentadas por una creencia en lo "absoluto" que trasciende todas las posibilidades humanas de realización, van más allá de afirmaciones que pueden pretender un significado real y una verdad fundada en la evidencia.
— Kleene 1991, págs. 48–49
La historia del intuicionismo se remonta a dos controversias en las matemáticas del siglo XIX.
El primero de ellos fue la invención de la aritmética transfinita por Georg Cantor y su posterior rechazo por parte de varios matemáticos prominentes, entre ellos el más famoso su maestro Leopold Kronecker , un finitista confirmado .
El segundo de ellos fue el esfuerzo de Gottlob Frege por reducir todas las matemáticas a una formulación lógica mediante la teoría de conjuntos y su descarrilamiento por parte del joven Bertrand Russell , el descubridor de la paradoja de Russell . Frege había planeado un trabajo definitivo en tres volúmenes, pero justo cuando el segundo volumen iba a imprimirse, Russell le envió una carta a Frege describiendo su paradoja, que demostraba que una de las reglas de autorreferencia de Frege era autocontradictoria. En un apéndice del segundo volumen, Frege reconoció que uno de los axiomas de su sistema condujo de hecho a la paradoja de Russell. [4]
Frege, cuenta la historia, se sumió en una depresión y no publicó el tercer volumen de su obra como había planeado. Para obtener más información, consulte Davis (2000), capítulos 3 y 4: Frege: del avance a la desesperación y Cantor: desvío a través del infinito. Véase van Heijenoort para conocer las obras originales y el comentario de van Heijenoort.
Estas controversias están fuertemente vinculadas ya que los métodos lógicos utilizados por Cantor para demostrar sus resultados en aritmética transfinita son esencialmente los mismos que los utilizados por Russell para construir su paradoja. Por tanto, la forma en que uno elija resolver la paradoja de Russell tiene implicaciones directas sobre el estatus otorgado a la aritmética transfinita de Cantor.
A principios del siglo XX, LEJ Brouwer representaba la posición intuicionista y David Hilbert la posición formalista (véase van Heijenoort). Kurt Gödel ofreció opiniones denominadas platónicas (véanse varias fuentes sobre Gödel). Alan Turing considera: " sistemas de lógica no constructivos en los que no todos los pasos de una demostración son mecánicos, siendo algunos intuitivos". [5] . Más tarde, Stephen Cole Kleene presentó una consideración más racional del intuicionismo en su Introducción a las metamatemáticas (1952). [6]
Nicolas Gisin está adoptando las matemáticas intuicionistas para reinterpretar la indeterminación cuántica , la teoría de la información y la física del tiempo . [7]
Traducción parcial: Montgomery Furth, 1964. Las leyes básicas de la aritmética. Univ. de Prensa de California. Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960). Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Prensa de la Universidad de Oxford.
Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960). Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Prensa de la Universidad de Oxford.
