El cuerno de Gabriel

Figura geométrica que tiene área de superficie infinita pero volumen finito

Ilustración 3D del cuerno de Gabriel

Sólido hiperbólico agudo truncado de Torricelli con el cilindro añadido (en rojo) utilizado en su prueba

El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es un tipo de figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito . El nombre hace referencia a la tradición cristiana en la que el arcángel Gabriel toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio Final . Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.

Estos nombres informales y coloridos y la alusión a la religión llegaron más tarde. ^[1] El propio nombre de Torricelli para él se puede encontrar en el título en latín de su artículo De solido hyperbolico acuto , escrito en 1643, un sólido hiperbólico agudo truncado , cortado por un plano. ^[2] El volumen 1, parte 1 de su Opera geométrica publicada al año siguiente incluía ese artículo y una segunda prueba arquimediana más ortodoxa (para la época) de su teorema sobre el volumen de un sólido hiperbólico agudo truncado . ^{[2] [3]} Este nombre se utilizó en diccionarios matemáticos del siglo XVIII, incluido "Hyperbolicum Acutum" en el diccionario de Harris de 1704 y en el de Stone de 1726, y la traducción francesa Solide Hyperbolique Aigu en el de d'Alembert de 1751. ^[1]

Aunque sus contemporáneos le atribuyeron la primacía, Torricelli no fue el primero en describir una forma infinitamente larga con un volumen o área finitos. ^[4] El trabajo de Nicole Oresme en el siglo XIV había sido olvidado por ellos o era desconocido para ellos. ^[4] Oresme había postulado cosas como una forma infinitamente larga construida subdividiendo dos cuadrados de área total finita 2 usando una serie geométrica y reorganizando las partes en una figura, infinitamente larga en una dimensión, que comprende una serie de rectángulos. ^[5]

Definición matemática

Gráfica de ${\displaystyle y=1/x}$

El cuerno de Gabriel se forma tomando la gráfica de con el dominio y rotándola en tres dimensiones sobre el eje x  . El descubrimiento se realizó utilizando el principio de Cavalieri antes de la invención del cálculo , pero hoy en día, el cálculo se puede utilizar para calcular el volumen y el área de superficie del cuerno entre x = 1 y x = a , donde a > 1. [ ^6] Utilizando la integración (ver Sólido de revolución y Superficie de revolución para más detalles), es posible encontrar el volumen V y el área de superficie A : $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}$$ $${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}$$

El valor a puede ser tan grande como se requiera, pero se puede ver a partir de la ecuación que el volumen de la parte del cuerno entre x = 1 y x = a nunca superará π ; sin embargo, se acerca gradualmente a π a medida que a aumenta. Matemáticamente, el volumen se acerca a π cuando a se acerca al infinito. Usando la notación límite del cálculo, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

La fórmula del área de superficie anterior proporciona un límite inferior para el área como 2 π por el logaritmo natural de a . No existe un límite superior para el logaritmo natural de a , ya que a tiende al infinito. Eso significa, en este caso, que el cuerno tiene un área de superficie infinita. Es decir, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

EnDe sólido hiperbólico agudo

La prueba de Torricelli demostró que el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado y el cilindro añadido es el mismo que el volumen del cilindro rojo mediante la aplicación de los indivisibles de Cavalieri, asignando cilindros del primero a círculos en el segundo con el rango , que es tanto la altura del último cilindro como el radio de la base en el primero. ${\textstyle 1/b\geq y\geq 0}$

La prueba original de Torricelli, que no era de cálculo, utilizó un objeto ligeramente diferente al anterior, que se construyó truncando el sólido hiperbólico agudo con un plano perpendicular al eje x  y extendiéndolo desde el lado opuesto de ese plano con un cilindro de la misma base. ^[8] Mientras que el método de cálculo procede fijando el plano de truncamiento en e integrando a lo largo del eje x  , Torricelli procedió calculando el volumen de este sólido compuesto (con el cilindro añadido) sumando las áreas de superficie de una serie de cilindros rectos concéntricos dentro de él a lo largo del eje  y y demostrando que esto era equivalente a sumar áreas dentro de otro sólido cuyo volumen (finito) era conocido. ^[9] ${\displaystyle x=1}$

En la terminología moderna, este sólido se creó construyendo una superficie de revolución de la función (para b estrictamente positiva ) ^[9]

${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{c}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}}$

y el teorema de Torricelli era que su volumen es el mismo que el volumen del cilindro recto con altura y radio : ^{[9] [8]} ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Teorema. Un cuerpo hiperbólico agudo, infinitamente largo, cortado por un plano [perpendicular] al eje, junto con el cilindro de la misma base, es igual a aquel cilindro recto cuya base es el lado versum (es decir, el eje) de la hipérbola, y cuya altura es igual al radio de la base de este cuerpo agudo.

—  De solido hiperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido G. Loria y G. Vassura 1919. ^[8]

Torricelli demostró que el volumen del sólido se podía derivar de las áreas de superficie de esta serie de cilindros rectos concéntricos cuyos radios eran y alturas . ^[9] Sustituyendo en la fórmula las áreas de superficie de (solo los lados de) estos cilindros se obtiene un área de superficie constante para todos los cilindros de . ^[9] Esta es también el área de un círculo de radio y las superficies anidadas de los cilindros (que llenan el volumen del sólido) son, por lo tanto, equivalentes a las áreas apiladas de los círculos de radio apilados de 0 a , y, por lo tanto, el volumen del cilindro recto mencionado anteriormente, que se sabe que es : ^[9] ${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$ ${\displaystyle h=1/r}$ ${\displaystyle 2\pi r\times h=2\pi r\times 1/r=2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle V=\pi r^{2}\times h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum acutum , una cum cylindro based , aequale erit omnibus circulis simul, hoc est cylindro . Quod erat, etc. ${\displaystyle ebd}$ ${\displaystyle fedc}$ ${\displaystyle acgh}$

(Por lo tanto, todas las superficies de los cilindros tomadas en conjunto, es decir, el propio sólido agudo, es el mismo que el cilindro de base , que será igual a todos sus círculos tomados en conjunto, es decir, al cilindro .) ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle FEDC}$ ${\displaystyle ACGH}$

—  De solido hiperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido por Jacqueline A. Stedall , 2013. ^[10]

(El volumen del cilindro añadido es, por supuesto , y, por lo tanto, el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado solo es . Si , como en la derivación del cálculo moderno, .) ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$ ${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle V_{s}=\pi }$

En la Opera geométrica, esta es una de las dos pruebas del volumen del sólido hiperbólico agudo (truncado). ^[3] El uso de los indivisibles de Cavalieri en esta prueba fue controvertido en su momento y el resultado, impactante (Torricelli registró más tarde que Gilles de Roberval había intentado refutarlo); así que cuando se publicó la Opera geométrica , el año después de De solido hyperbolico acuto , Torricelli también proporcionó una segunda prueba basada en los principios ortodoxos de Arquímedes que mostraban que el cilindro recto (altura radio ) era tanto el límite superior como el inferior del volumen. ^[3] Irónicamente, esto fue un eco de la propia cautela de Arquímedes al proporcionar dos pruebas, mecánica y geométrica, en su Cuadratura de la parábola a Dositeo. ^[11] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Paradoja aparente

 Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, se consideró una paradoja que la rotación de una sección infinitamente grande del  plano xy alrededor del eje x genere un objeto de volumen finito . Mientras que la sección que se encuentra en el plano xy  tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Por lo tanto, el volumen, al calcularse a partir de la "suma ponderada" de las secciones, es finito.

Otro enfoque consiste en tratar el sólido como una pila de discos con radios decrecientes . La suma de los radios produce una serie armónica que tiende al infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio r = 1/ x y un área π r ² o π/ x ² . La serie Σ 1/ x diverge , pero la serie Σ 1/ x ² converge . En general, para cualquier valor real ε > 0 , la serie Σ 1/ x ^{1+ ε} converge. (Véase Valores particulares de la función zeta de Riemann para más detalles sobre este resultado)

La aparente paradoja formó parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucró a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes , John Wallis y Galileo Galilei . ^[12]

El análogo del cuerno de Gabriel en dos dimensiones tiene un área de 2 pero un perímetro infinito.

Existe un fenómeno similar que se aplica a las longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas 1/ x ² y −1/ x ² desde 1 hasta el infinito es finita, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.

En la conferencia 16 de sus Lectiones de 1666 , Isaac Barrow sostuvo que el teorema de Torricelli había restringido el dictamen general de Aristóteles (del libro 1 de De Caelo , parte 6) de que "no hay proporción entre lo finito y lo infinito". ^{[13] [14]} Aristóteles mismo, estrictamente hablando, había estado defendiendo la imposibilidad de la existencia física de un cuerpo infinito en lugar de defender su imposibilidad como abstracto geométrico. ^[13] Barrow había estado adoptando la visión contemporánea del siglo XVII de que el dictamen de Aristóteles y otros axiomas geométricos provenían (como había dicho en la conferencia 7) de "alguna ciencia superior y universal", que sustentaba tanto las matemáticas como la física. ^[15] Así, la demostración de Torricelli de un objeto con una relación entre un finito (volumen) y un infinito (área) contradecía este dictamen, al menos en parte. ^[15] La explicación de Barrow fue que el dictamen de Aristóteles todavía se mantenía, pero sólo de manera más limitada cuando se comparaban cosas del mismo tipo, longitud con longitud, área con área, volumen con volumen, etc. ^[15] No se mantenía cuando se comparaban cosas de dos géneros diferentes (área con volumen, por ejemplo) y, por lo tanto, un área infinita podía conectarse con un volumen finito. ^[15]

Otros utilizaron el teorema de Torricelli para reforzar sus propias afirmaciones filosóficas, no relacionadas con las matemáticas desde un punto de vista moderno. ^[16] Ignace-Gaston Pardies en 1671 utilizó el sólido hiperbólico agudo para argumentar que los humanos finitos podían comprender el infinito, y procedió a ofrecerlo como prueba de la existencia de Dios y las almas inmateriales. ^{[16] [17]} Dado que la materia finita no podía comprender el infinito, argumentó Pardies, el hecho de que los humanos pudieran comprender esta prueba mostraba que los humanos deben ser más que materia y tener almas inmateriales. ^[17] En contraste, Antoine Arnauld argumentó que debido a que los humanos percibieron una paradoja aquí, el pensamiento humano estaba limitado en lo que podía comprender y, por lo tanto, no está a la altura de la tarea de refutar las verdades divinas y religiosas. ^[16]

La disputa entre Hobbes y Wallis se dio en realidad en el ámbito de las matemáticas: Wallis abrazó con entusiasmo los nuevos conceptos de infinito e indivisibles, procedió a sacar conclusiones adicionales basadas en el trabajo de Torricelli y a extenderlo para emplear la aritmética en lugar de los argumentos geométricos de Torricelli; y Hobbes afirmó que, dado que las matemáticas se derivan de las percepciones del mundo real de las cosas finitas, "infinito" en matemáticas solo puede significar "indefinido". ^[18] Esto condujo a cartas enérgicas de ambos a la Royal Society y en Philosophical Transactions , Hobbes recurrió a insultar a Wallis "loco" en un punto. ^[19] En 1672, Hobbes intentó reformular el teorema de Torricelli como sobre un sólido finito que se extendía indefinidamente , en un intento de aferrarse a su afirmación de que la "luz natural" (es decir, el sentido común) nos decía que una cosa infinitamente larga debe tener un volumen infinito. ^[19] Esto se alineaba con otras afirmaciones de Hobbes de que el uso de la idea de una línea de ancho cero en geometría era erróneo, y que la idea de Cavalieri de indivisibles estaba mal fundada. ^[20] Wallis argumentó que existían formas geométricas con área/volumen finito pero sin centro de gravedad basándose en Torricelli, afirmando que entender esto requería un mayor dominio de la geometría y la lógica "de lo que M. Hobs [ sic ] es maestro". ^[21] También reestructuró los argumentos en términos aritméticos como sumas de progresiones aritméticas , secuencias de infinitesimales aritméticos en lugar de secuencias de indivisibles geométricos. ^[22]

Oresme ya había demostrado que una forma infinitamente larga puede tener un área finita donde, cuando una dimensión tiende a ser infinitamente grande, otra dimensión tiende a ser infinitamente pequeña. ^[23] En palabras del propio Barrow "la disminución infinita de una dimensión compensa el aumento infinito de la otra", ^[23] en el caso del sólido hiperbólico agudo por la ecuación de la hipérbola apolínea . ^[24] ${\textstyle xy=1}$

Paradoja del pintor

Como el cuerno tiene un volumen finito pero una superficie infinita, existe una aparente paradoja: el cuerno podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie. ^[25] Sin embargo, esta paradoja es nuevamente solo una paradoja aparente causada por una definición incompleta de "pintura" o por el uso de definiciones contradictorias de pintura para las acciones de llenar y pintar. ^[26]

Se podría postular una pintura "matemática" que es infinitamente divisible (o infinitamente diluible, o simplemente de ancho cero como las líneas geométricas de ancho cero con las que Hobbes se opuso) y capaz de viajar a una velocidad infinita, o una pintura "física" con las propiedades de la pintura del mundo real. ^[26] Con cualquiera de las dos, la aparente paradoja desaparece: ^[26]

En el caso de la pintura "matemática", no se sigue en primer lugar que una superficie infinita requiera un volumen infinito de pintura, ya que una superficie infinita multiplicada por pintura de espesor cero es indeterminada . ^[26]

Con pintura física, pintar el exterior del sólido requeriría una cantidad infinita de pintura porque la pintura física tiene un espesor distinto de cero. El teorema de Torricelli no habla de una capa de ancho finito en el exterior del sólido, que de hecho tendría un volumen infinito. Por lo tanto, no hay contradicción entre un volumen infinito de pintura y una superficie infinita a cubrir. ^[26] También es imposible pintar el interior del sólido, el volumen finito del teorema de Torricelli, con pintura física, por lo que no existe contradicción. ^[26] Esto se debe a que la pintura física solo puede llenar una aproximación del volumen del sólido. ^{[27] [28]} Las moléculas no cubren completamente el espacio tridimensional y dejan huecos, y hay un punto en el que la "garganta" del sólido se vuelve demasiado estrecha para que las moléculas de pintura fluyan hacia abajo. ^{[26] [27]}

La pintura física viaja a una velocidad limitada y tardaría una cantidad infinita de tiempo en fluir hacia abajo. ^[29] Esto también se aplica a la pintura "matemática" de espesor cero si uno no postula además que fluye a una velocidad infinita. ^[29]

Otros postulados diferentes de la pintura "matemática", como la pintura de velocidad infinita que se vuelve más líquida a un ritmo suficientemente rápido, también eliminan la paradoja. Para el volumen de pintura, como el área de superficie a cubrir A tiende hacia el infinito, el espesor de la pintura tiende hacia cero. ^[30] Al igual que con el propio sólido, el aumento infinito del área de superficie a pintar en una dimensión se compensa con la disminución infinita en otra dimensión, el espesor de la pintura. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /A}$

Conversar

René-François de Sluse comentó una vez, en tono de broma, que este sólido de rotación de un (medio) cisoide formaba una copa liviana que ni siquiera el bebedor más empedernido podría vaciar, porque tiene un volumen finito pero encierra un volumen infinito. Sin embargo, no se afirma que tenga una superficie finita.

El inverso del sólido hiperbólico agudo de Torricelli es una superficie de revolución que tiene un área superficial finita pero un volumen infinito .

En respuesta al teorema de Torricelli, después de aprender de él por Marin Mersenne , Christiaan Huygens y René-François de Sluse se escribieron cartas entre sí acerca de extender el teorema a otros sólidos de revolución infinitamente largos; que han sido identificados erróneamente como los que encuentran tal recíproco. ^[31]

Jan A. van Maanen, profesor de matemáticas en la Universidad de Utrecht , informó en la década de 1990 que una vez afirmó erróneamente en una conferencia en Kristiansand que de Sluse le escribió a Huygens en 1658 que había encontrado esa forma: ^[32]

evi opera dedicator meanura vasculie, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat

(Doy las medidas de un vaso (o jarrón) para beber, que tiene poco peso, pero que ni el más empedernido bebedor podría vaciar.)

—  de Sluse en una carta a Huygens, traducción de Jan A. van Maanen ^[32]

que se le diga en respuesta (por Tony Gardiner y Man-Keung Siu de la Universidad de Hong Kong ) que cualquier superficie de rotación con un área de superficie finita tendría necesariamente un volumen finito. ^[32]

El profesor van Maanen se dio cuenta de que esto era una mala interpretación de la carta de De Sluse, y que lo que De Sluse en realidad estaba informando era que la forma de "cáliz" sólida, formada al rotar la cisoide de Diocles y su asíntota alrededor del eje y  , tenía un volumen finito (y por lo tanto "pequeño peso") y encerraba una cavidad de volumen infinito. ^[33]

Huygens demostró por primera vez que el área de la forma bidimensional rotada (entre la cisoide y su asíntota) era finita, calculando que su área era tres veces el área del círculo generador de la cisoide, y de Sluse aplicó el teorema del centroide de Pappus para demostrar que el sólido de revolución tiene, por tanto, un volumen finito, siendo un producto de esa área finita y la órbita finita de rotación. ^[33] El área que se rota es finita; de Sluse en realidad no dijo nada sobre el área superficial del volumen rotado resultante. ^[33]

Tal recíproco no puede ocurrir (suponiendo geometría euclidiana ) cuando se hace girar una función continua en un conjunto cerrado.

Teorema

Sea f  : [1, ∞) → [0, ∞) una función continuamente diferenciable. Escriba S para el sólido de revolución del grafo y = f ( x ) alrededor del  eje x . Si el área superficial de S es finita, entonces también lo es el volumen.

Prueba

Como la superficie lateral A es finita, el límite superior : Por lo tanto, existe un t ₀ tal que el supremo sup{ f ( x ) | x ≥ t ₀ } es finito. Por lo tanto, debe ser finito, ya que f es una función continua , lo que implica que f está acotado en el intervalo [1, ∞) . Finalmente, el volumen: Por lo tanto: si el área A es finita, entonces el volumen V también debe ser finito. $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Copo de nieve de Koch  – Curva fractal
• Cuerno de Picard  : formación en forma de cono que representa la "forma" del universo según la sonda de anisotropía de microondas de WilkinsonPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Pseudosfera  – Superficie geométrica
• Forma del universo  – Geometría local y global del universo
• Las paradojas de Zenón  – Conjunto de problemas filosóficos

Referencias

1. Mancosu 1999, pág. 243.
2. Struik 1969, pág. 227.
3. Bressoud 2021, pág. 29.
4. Mancosu 1999, pag. 239–241.
5. Król 2018, pág. 83.
6. Havil 2007, págs. 83–87.
7. Fleron 1999.
8. Struik 1969, pág. 229.
9. Bressoud 2021, pág. 28.
10. Wallis 2013, pág. xvi.
11. Mancosu 1999, pág. 143.
12. Havil 2007, págs. 82–91.
13. Mancosu 1999, pág. 139.
14. Mancosu 1999, pág. 239.
15. Mancosu 1999, pág. 140.
16. Mancosu 1999, pág. 142.
17. Jones 2008, pág. 118.
18. Mancosu 1999, págs. 145-146.
19. Mancosu 1999, págs. 146-147.
20. Mancosu 1999, pág. 148.
21. Mancosu 1999, pág. 146.
22. Wallis 2013, págs. xvi-xvii.
23. Mancosu 1999, pág. 241.
24. Mancosu 1999, pág. 130.
25. Nahin 2021, pág. xxxi.
26. Nahin 2021, pag. xxxiii.
27. Pickover 2008, pág. 458.
28. de Pillis 2002, págs. 140-141.
29. Chang 2012, pág. 30.
30. Klymchuk y Staples 2013, págs. 64-65.
31. van Maanen 1995, págs. 87–88.
32. van Maanen 1995, pág. 88.
33. van Maanen 1995, págs. 88–89.

Bibliografía de referencia

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• Jones, Matthew L. (2008). La buena vida en la revolución científica: Descartes, Pascal, Leibniz y el cultivo de la virtud . University of Chicago Press. ISBN 9780226409566.
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Lectura adicional

• Royer, Melvin (2012). "Las otras posesiones de Gabriel". PRIMUS: Problemas, recursos y cuestiones en los estudios de grado de matemáticas . 22 (4): 338–351. doi :10.1080/10511970.2010.517601. S2CID  119721808.
• Fleron, Julian F. "La tarta nupcial de Gabriel" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2016.
• Lynch, Mark. "Un cubo de pintura paradójico".
• Love, William P. (enero de 1989). "Supersólidos: sólidos con volumen finito y superficies infinitas". The Mathematics Teacher . 82 (1): 60–65. doi :10.5951/MT.82.1.0060. JSTOR  27966098.

Enlaces externos

• La trompeta de Torricelli en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "El cuerno de Gabriel". MathWorld .
• "El cuerno de Gabriel" de John Snyder, Proyecto de Demostraciones Wolfram , 2007.
• El cuerno de Gabriel: una comprensión de un sólido con volumen finito y área de superficie infinita por Jean S. Joseph.