Diseño infantil

Dibujo gráfico utilizado para estudiar superficies de Riemann.

En matemáticas , un diseño de niño es un tipo de incrustación de gráficos utilizado para estudiar superficies de Riemann y proporcionar invariantes combinatorios para la acción del grupo absoluto de Galois de los números racionales . El nombre de estas incrustaciones en francés significa "dibujo de niño"; su plural es dessins d'enfant , "dibujos de niños", o dessins d'enfants , "dibujos de niños".

Un diseño infantil es un gráfico , con sus vértices coloreados alternativamente en blanco y negro, incrustado en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano . Para que exista la coloración, el gráfico debe ser bipartito . Las caras de la incrustación deben ser discos topológicos. La superficie y la incrustación se pueden describir combinatoriamente usando un sistema de rotación , un orden cíclico de los bordes que rodean cada vértice del gráfico que describe el orden en el que los bordes serían cruzados por un camino que viaja en el sentido de las agujas del reloj sobre la superficie en un pequeño bucle. alrededor del vértice.

Cualquier diseño puede dotar a la superficie en la que se empotra de una estructura como una superficie de Riemann. Es natural preguntarse qué superficies de Riemann surgen de esta manera. La respuesta la proporciona el teorema de Belyi , que establece que las superficies de Riemann que pueden describirse mediante diseños son precisamente aquellas que pueden definirse como curvas algebraicas sobre el campo de números algebraicos . El grupo absoluto de Galois transforma estas curvas particulares entre sí y, por tanto, también transforma los diseños subyacentes.

Para un tratamiento más detallado de este tema, véase Schneps (1994) o Lando & Zvonkin (2004).

Historia

Siglo 19

Las primeras protoformas de dibujos de niños aparecieron ya en 1856 en el cálculo icosiano de William Rowan Hamilton ; ^[1] en términos modernos, estos son caminos hamiltonianos en el gráfico icosaédrico.

Felix Klein utilizó reconocibles diseños modernos para niños y funciones de Belyi . ^[2] Klein llamó a estos diagramas Linienzüge (en alemán, plural de Linienzug "line-track", también utilizado como término para polígono ); usó un círculo blanco para la preimagen de 0 y un '+' para la preimagen de 1, en lugar de un círculo negro para 0 y un círculo blanco para 1 como en la notación moderna. ^[3] Utilizó estos diagramas para construir una cubierta de 11 pliegues de la esfera de Riemann por sí sola, con un grupo de monodromía , siguiendo construcciones anteriores de una cubierta de 7 pliegues con monodromía conectada al cuártico de Klein . ^[4] Todos ellos estaban relacionados con sus investigaciones sobre la geometría de la ecuación quíntica y el grupo , recopiladas en sus famosas Conferencias sobre el icosaedro de 1884/88 . Mucho más tarde se demostró que las tres superficies construidas de esta manera a partir de estos tres grupos estaban estrechamente relacionadas a través del fenómeno de la trinidad . ${\displaystyle PSL(2,11)}$ ${\displaystyle PSL(2,7)}$ ${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

siglo 20

Los Dessins d'enfant en su forma moderna fueron redescubiertos más de un siglo después y Alexander Grothendieck los nombró en 1984 en su Programa Esquisse d'un . ^[5] Zapponi (2003) cita a Grothendieck con respecto a su descubrimiento de la acción de Galois en los dibujos de niños:

Este descubrimiento, técnicamente tan sencillo, me ha causado una impresión muy fuerte y representa un punto de inflexión decisivo en el curso de mis reflexiones, un cambio en particular de mi centro de interés por las matemáticas, que de pronto se encontró fuertemente centrado. No creo que jamás un hecho matemático me haya impactado con tanta fuerza como éste, ni haya tenido un impacto psicológico comparable. Seguramente esto se debe a la naturaleza muy familiar y no técnica de los objetos considerados, de los cuales el dibujo de cualquier niño garabateado en un trozo de papel (al menos si el dibujo se hace sin levantar el lápiz) ofrece un ejemplo perfectamente explícito. A tal diseño encontramos sutiles invariantes aritméticos asociados, que se vuelven completamente patas arriba tan pronto como agregamos un trazo más.

Parte de la teoría ya había sido desarrollada de forma independiente por Jones y Singerman (1978) algún tiempo antes que Grothendieck. Describen la correspondencia entre mapas sobre superficies topológicas, mapas sobre superficies de Riemann y grupos con ciertos generadores distinguidos, pero no consideran la acción de Galois. Su noción de mapa corresponde a un caso particular de diseño de niño. Un trabajo posterior de Bryant y Singerman (1985) extiende el tratamiento a superficies con un límite.

Superficies de Riemann y pares de Belyi

Los números complejos , junto con un punto especial denominado , forman un espacio topológico conocido como esfera de Riemann . Cualquier polinomio , y más generalmente cualquier función racional donde y sean polinomios, transforma la esfera de Riemann asignándola a sí misma. Considere, por ejemplo, ^[6] la función racional ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

El diseño de niño que surge de la función racional . No a escala. ${\displaystyle f=-(x-1)^{3}(x-9)/64x}$

En la mayoría de los puntos de la esfera de Riemann, esta transformación es un homeomorfismo local : asigna un pequeño disco centrado en cualquier punto de forma uno a uno a otro disco. Sin embargo, en ciertos puntos críticos , el mapeo es más complicado y mapea un disco centrado en el punto en una forma de uno a uno en su imagen. El número se conoce como grado del punto crítico y la imagen transformada de un punto crítico se conoce como valor crítico . El ejemplo dado anteriormente, tiene los siguientes puntos críticos y valores críticos. (También se incluyen algunos puntos de la esfera de Riemann que, si bien no son críticos en sí mismos, se asignan a uno de los valores críticos; estos se indican con grado uno). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Se puede formar un diseño infantil colocando puntos negros en las preimágenes de 0 (es decir, en 1 y 9), puntos blancos en las preimágenes de 1 (es decir, en ) y arcos en las preimágenes de la línea . segmento [0, 1]. Este segmento de línea tiene cuatro preimágenes, dos a lo largo del segmento de línea del 1 al 9 y dos que forman una curva cerrada simple que recorre el 1 hacia sí misma, rodeando al 0; el diseño resultante se muestra en la figura. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

Transformar un diseño infantil en un patrón de pegado para semiespacios de una superficie de Riemann incluyendo puntos en el infinito.

En la otra dirección, a partir de este diseño, descrito como un objeto combinatorio sin especificar las ubicaciones de los puntos críticos, se puede formar una superficie compacta de Riemann , y un mapa desde esa superficie hasta la esfera de Riemann, equivalente al mapa a partir del cual se formó el diseño. fue construido originalmente. Para hacerlo, coloque un punto etiquetado dentro de cada región del diseño (que se muestra como los puntos rojos en la segunda figura) y triangule cada región conectando este punto con los puntos blancos y negros que forman el límite de la región, conectándolos varias veces. al mismo punto blanco o negro si aparece varias veces en el límite de la región. Cada triángulo en la triangulación tiene tres vértices etiquetados 0 (para los puntos negros), 1 (para los puntos blancos) o . Para cada triángulo, sustituye un semiplano , ya sea el semiplano superior para un triángulo que tiene 0, 1 y en sentido antihorario o el semiplano inferior para un triángulo que los tiene en sentido horario y para cada par adyacente. de triángulos pegan los semiplanos correspondientes a lo largo de la porción de sus límites indicada por las etiquetas de los vértices. La superficie de Riemann resultante se puede asignar a la esfera de Riemann utilizando el mapa de identidad dentro de cada semiplano. Así, el diseño de niño formado a partir de él es suficiente para describirse hasta el biholomorfismo . Sin embargo, esta construcción identifica la superficie de Riemann sólo como una variedad con estructura compleja; no construye una incrustación de esta variedad como una curva algebraica en el plano proyectivo complejo , aunque tal incrustación siempre existe. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La misma construcción se aplica de manera más general cuando cualquier superficie de Riemann es una función de Belyi ; es decir, una función holomorfa desde la esfera de Riemann que tiene solo 0, 1 y como valores críticos. Una pareja de este tipo se conoce como pareja Belyi . A partir de cualquier par de Belyi se puede formar un diseño de niño, dibujado en la superficie , que tiene sus puntos negros en las preimágenes de 0, sus puntos blancos en las preimágenes de 1 y sus bordes colocados a lo largo de las preimágenes del segmento de línea . Por el contrario, cualquier diseño infantil en cualquier superficie se puede utilizar para definir instrucciones de pegado para una colección de semiespacios que juntos forman una superficie de Riemann homeomórfica para ; mapear cada semiespacio por la identidad de la esfera de Riemann produce una función de Belyi y , por lo tanto, conduce a un par de Belyi . Cualesquiera dos pares de Belyi que conduzcan a diseños de niños combinatoriamente equivalentes son biholomórficos, y el teorema de Belyi implica que, para cualquier superficie compacta de Riemann definida sobre los números algebraicos , hay una función de Belyi y un diseño de niños que proporciona una descripción combinatoria de ambos y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Mapas e hipermapas

La triangulación de la esfera con el grupo de triángulos (2,3,5), generada mediante el uso del dodecaedro regular para construir un diseño limpio.

La triangulación del plano hiperbólico con el grupo de triángulos (2,3,7) generado como cubierta universal del cuártico de Klein.

Un vértice en un diseño tiene un grado teórico de grafos , el número de aristas incidentes, que es igual a su grado como punto crítico de la función de Belyi. En el ejemplo anterior, todos los puntos blancos tienen grado dos; Los diseños con la propiedad de que cada punto blanco tiene dos aristas se conocen como limpios , y sus correspondientes funciones de Belyi se llaman puros . Cuando esto sucede, se puede describir el diseño mediante un gráfico incrustado más simple, uno que tenga solo los puntos negros como vértices y que tenga un borde para cada punto blanco con puntos finales en los dos vecinos negros del punto blanco. Por ejemplo, el diseño que se muestra en la figura se podría dibujar de forma más sencilla, como un par de puntos negros con un borde entre ellos y un bucle automático en uno de los puntos. Es común dibujar sólo los puntos negros de un diseño limpio y dejar los puntos blancos sin marcar; Se puede recuperar el diseño completo agregando un punto blanco en el punto medio de cada borde del mapa.

Por lo tanto, cualquier incrustación de un gráfico en una superficie en la que cada cara es un disco (es decir, un mapa topológico) da lugar a un diseño al tratar los vértices del gráfico como puntos negros de un diseño y colocar puntos blancos en el punto medio de un diseño. cada borde del gráfico incrustado. Si una función corresponde a una función de Belyi , su función dual (el diseño formado a partir de las preimágenes del segmento de recta ) corresponde al inverso multiplicativo . ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/f}$

Un diseño que no está limpio se puede transformar en un diseño limpio en la misma superficie, recoloreando todos sus puntos de negro y añadiendo nuevos puntos blancos en cada uno de sus bordes. La correspondiente transformación de pares de Belyi consiste en sustituir una función de Belyi por la función de Belyi pura . Se pueden calcular los puntos críticos de directamente a partir de esta fórmula: , y . Por lo tanto, la preimagen está debajo del punto medio del segmento de línea y los bordes del diseño formado a partir de subdividen los bordes del diseño formado a partir de . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

Bajo la interpretación de un diseño limpio como un mapa, un diseño arbitrario es un hipermapa : es decir, un dibujo de un hipergrafo en el que los puntos negros representan vértices y los puntos blancos representan hiperaristas.

Mapas regulares y grupos de triángulos.

Los cinco sólidos platónicos (el tetraedro regular , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro ) vistos como superficies bidimensionales, tienen la propiedad de que cualquier bandera (una tripleta de un vértice, una arista y una cara que se encuentran entre sí) puede ser llevado a cualquier otra bandera por una simetría de la superficie. De manera más general, un mapa incrustado en una superficie con la misma propiedad, que cualquier bandera puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría, se llama mapa regular .

Si se usa un mapa regular para generar un diseño limpio y el diseño resultante se usa para generar una superficie de Riemann triangulada, entonces los bordes de los triángulos se encuentran a lo largo de líneas de simetría de la superficie y las reflexiones a través de esas líneas generan un grupo de simetría. llamado grupo de triángulos , para el cual los triángulos forman los dominios fundamentales. Por ejemplo, la figura muestra el conjunto de triángulos generados de esta forma a partir de un dodecaedro regular. Cuando el mapa regular se encuentra en una superficie cuyo género es mayor que uno, la cobertura universal de la superficie es el plano hiperbólico , y el grupo de triángulos en el plano hiperbólico formado a partir de la triangulación elevada es un grupo fucsiano (cocompacto) que representa un conjunto discreto. de isometrías del plano hiperbólico. En este caso, la superficie inicial es el cociente del plano hiperbólico por un subgrupo de índice finito Γ en este grupo.

Por el contrario, dada una superficie de Riemann que es un cociente de un mosaico (un mosaico de la esfera, plano euclidiano o plano hiperbólico por triángulos con ángulos , y , el diseño asociado es el gráfico de Cayley dado por los generadores de orden dos y orden tres del grupo, o equivalentemente, el mosaico de la misma superficie por -gonos que se encuentran tres por vértice. Los vértices de este mosaico dan puntos negros del diseño, los centros de las aristas dan puntos blancos y los centros de las caras dan los puntos sobre el infinito. ${\displaystyle (2,3,n)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$ ${\displaystyle n}$

Árboles y polinomios de Shabat

El dessin d'enfant correspondiente al monomio sextico . ${\displaystyle p(x)=x^{6}}$

Los polinomios de Chebyshev y los correspondientes diseños de niños, gráficos de rutas de colores alternativos .

Los gráficos bipartitos más simples son los árboles . Cualquier incrustación de un árbol tiene una sola región y, por lo tanto, según la fórmula de Euler, se encuentra en una superficie esférica. El correspondiente par de Belyi forma una transformación de la esfera de Riemann que, si se sitúa el polo en , puede representarse como un polinomio . Por el contrario, cualquier polinomio con 0 y 1 como valores críticos finitos forma una función de Belyi desde la esfera de Riemann hacia sí mismo, que tiene un único punto crítico de valor infinito y corresponde a un diseño de niño que es un árbol. El grado del polinomio es igual al número de aristas en el árbol correspondiente. Esta función polinómica de Belyi se conoce como polinomio de Shabat , ^[8] en honor a George Shabat. ${\displaystyle \infty }$

Por ejemplo, supongamos que el monomio tiene solo un punto crítico finito y un valor crítico, ambos cero . Aunque 1 no es un valor crítico para , aún es posible interpretarlo como una función de Belyi desde la esfera de Riemann hacia sí misma porque todos sus valores críticos se encuentran en el conjunto . El diseño de niño correspondiente es una estrella que tiene un vértice negro central conectado a hojas blancas (un gráfico bipartito completo ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{1,d}}$

De manera más general, un polinomio que tiene dos valores críticos y puede denominarse polinomio de Shabat. Tal polinomio puede normalizarse en una función de Belyi, con sus valores críticos en 0 y 1, mediante la fórmula ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

$${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$

^[9] ${\displaystyle p}$

Una familia importante de ejemplos de polinomios de Shabat la dan los polinomios de Chebyshev de primera clase, que tienen −1 y 1 como valores críticos. Los diseños correspondientes toman la forma de gráficos de ruta , alternando entre vértices blancos y negros, con aristas en la ruta. Debido a la conexión entre los polinomios de Shabat y los polinomios de Chebyshev, los propios polinomios de Shabat a veces se denominan polinomios de Chebyshev generalizados. ^{[9] [10]} ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$

En general, diferentes árboles corresponderán a diferentes polinomios de Shabat, al igual que diferentes incrustaciones o colores del mismo árbol. Hasta la normalización y las transformaciones lineales de su argumento, el polinomio de Shabat se determina únicamente a partir de la coloración de un árbol incrustado, pero no siempre es sencillo encontrar un polinomio de Shabat que tenga un árbol incrustado determinado como diseño del niño.

El grupo absoluto de Galois y sus invariantes.

Dos dibujos conjugados de niños

El polinomio

$${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$

^[11]

$${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$

no isomorfos que se muestran en la figura. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Sin embargo, como estos polinomios se definen sobre el campo numérico algebraico , pueden transformarse por la acción del grupo absoluto de Galois de los números racionales. Un elemento de eso se transforma en se transformará en y viceversa, y por lo tanto también se puede decir que transforma cada uno de los dos árboles que se muestran en la figura en el otro árbol. De manera más general, debido al hecho de que los valores críticos de cualquier función de Belyi son los racionales puros 0, 1 y , estos valores críticos no cambian con la acción de Galois, por lo que esta acción lleva pares de Belyi a otros pares de Belyi. Se puede definir una acción de sobre cualquier diseño de niño por la acción correspondiente sobre pares Belyi; esta acción, por ejemplo, permuta los dos árboles que se muestran en la figura. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Debido al teorema de Belyi, la acción de sobre los dibujos es fiel (es decir, cada dos elementos de definen diferentes permutaciones en el conjunto de los dibujos), ^[12] por lo que el estudio de los dibujos de niños puede decirnos mucho sobre sí mismo. En este sentido, es de gran interés comprender qué diseños pueden transformarse entre sí por la acción de y cuáles no. Por ejemplo, se puede observar que los dos árboles mostrados tienen la misma secuencia de grados para sus nodos negros y blancos: ambos tienen un nodo negro con grado tres, dos nodos negros con grado dos, dos nodos blancos con grado dos y tres nodos blancos con grado dos. Nodos de grado uno. Esta igualdad no es casualidad: siempre que se transforme un diseño en otro, ambos tendrán la misma secuencia de grados. La secuencia de grados es una invariante conocida de la acción de Galois, pero no la única invariante. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

El estabilizador de un diseño es el subgrupo formado por elementos del grupo que dejan el diseño sin cambios. Debido a la correspondencia de Galois entre subgrupos de y campos de números algebraicos, el estabilizador corresponde a un campo, el campo de módulos del diseño . Una órbita de un diseño es el conjunto de todos los demás diseños en los que puede transformarse; Debido a la invariante de grado, las órbitas son necesariamente finitas y los estabilizadores son de índice finito . De manera similar, se puede definir el estabilizador de una órbita (el subgrupo que fija todos los elementos de la órbita) y el correspondiente campo de módulos de la órbita, otro invariante del diseño. El estabilizador de la órbita es el subgrupo normal máximo de contenido en el estabilizador del diseño, y el campo de módulos de la órbita corresponde a la extensión normal más pequeña de lo que contiene el campo de módulos del diseño. Por ejemplo, para los dos diseños conjugados considerados en esta sección, el campo de módulos de la órbita es . Las dos funciones de Belyi y de este ejemplo se definen sobre el campo de módulos, pero existen diseños para los cuales el campo de definición de la función de Belyi debe ser mayor que el campo de módulos. ^[13] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Notas

1. Hamilton (1856). Véase también Jones (1995).
2. Klein (1879).
3. le Bruyn (2008).
4. Klein (1878–1879a); Klein (1878-1879b).
5. Grothendieck (1984)
6. Este ejemplo fue sugerido por Lando y Zvonkin (2004), págs. 109-110.
7. Lando y Zvonkin (2004), págs. 120-121.
8. Girondo y González-Diez (2012) p. 252
9. Lando y Zvonkin (2004), pág. 82.
10. Jones, G. y Streit, M. "Grupos Galois, grupos monodromía y grupos cartográficos", p. 43 en Schneps y Lochak (2007) págs. Zbl  0898.14012
11. Lando y Zvonkin (2004), págs. 90–91. Para los propósitos de este ejemplo, ignore la solución parásita . ${\displaystyle a={\tfrac {25}{21}}}$
12. actúa fielmente incluso cuando se limita a diseños que son árboles; véase Lando y Zvonkin (2004), Teorema 2.4.15, págs. 125-126. ${\displaystyle \Gamma }$
13. Lando y Zvonkin (2004), págs. 122-123.

Referencias

• le Bruyn, Lieven (2008), Los dibujos infantiles de Klein y la buckyball.
• Bryant, Robin P.; Singerman, David (1985), "Fundamentos de la teoría de mapas en superficies con límites", Quarterly Journal of Mathematics , Segunda Serie, 36 (141): 17–41, doi :10.1093/qmath/36.1.17, MR  0780347.
• Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introducción a las superficies compactas de Riemann y diseños de niños , London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl  1253.30001.
• Grothendieck, A. (1984), Esquisse d'un programa
• Hamilton, WR (17 de octubre de 1856), Carta a John T. Graves "Sobre el icosiano". Recogido en Halberstam, H.; Ingram, RE, eds. (1967), Artículos matemáticos, vol. III, Álgebra , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 612–625.
• Jones, Gareth (1995), "Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B35d : 4, archivado desde el original el 8 de abril de 2017 , recuperado 2 de junio de 2010.
• Jones, Gareth; Singerman, David (1978), "Teoría de mapas sobre superficies orientables", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 37 (2): 273–307, doi :10.1112/plms/s3-37.2.273.
• Klein, Felix (1878–79), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (Sobre la transformación de funciones elípticas y...)", Mathematische Annalen , 14 : 13–75 (en Oeuvres, Tome 3), doi :10.1007/BF02297507, S2CID  121056952, archivado desde el original el 19 de julio de 2011 , consultado el 2 de junio de 2010.
• Klein, Felix (1878–79), "Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen (Sobre la transformación de séptimo orden de funciones elípticas)", Mathematische Annalen , 14 : 90–135 (en Oeuvres, Tomo 3), doi :10.1007/ BF01677143, S2CID  121407539, archivado desde el original el 24 de febrero de 2012 , consultado el 9 de julio de 2010.
• Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (Sobre la transformación de funciones elípticas de undécimo orden)", Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi :10.1007/BF02086276, S2CID  120316938, recopilado como págs. 140-165 en Oeuvres, Tomo 3 Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Gráficos sobre superficies y sus aplicaciones , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas: Topología de dimensiones inferiores II, vol. 141, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, Zbl  1040.05001. Véase especialmente el capítulo 2, "Dessins d'Enfants", págs. 79-153.
• Schneps, Leila , ed. (1994), La teoría de Grothendieck sobre los dibujos de niños , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-47821-2.
• Schneps, Leila ; Lochak, Pierre, eds. (1997), Acciones geométricas de Galois II. El problema inverso de Galois, espacios de módulos y mapeo de grupos de clases. Actas de la conferencia sobre geometría y aritmética de espacios de módulos, Luminy, Francia, agosto de 1995 , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 243, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-59641-6, Zbl  0868.00040.
• Shabat, GB; Voedvodsky, VA (2007) [1990], "Dibujo de curvas sobre campos numéricos", en Cartier, P .; Illusie, L .; Katz, Nuevo México ; Laumon, G .; Manin, Yu.I. ; Ribet, KA (eds.), The Grothendieck Festschrift Volumen III , Clásicos modernos de Birkhäuser, Birkhäuser, págs. 199–227, ISBN 978-0-8176-4568-7, Zbl  0790.14026.
• Cantante, David; Syddall, Robert I. (2003), "La superficie de Riemann de un diseño uniforme", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (2): 413–430, MR  2017042, Zbl  1064.14030.
• Zapponi, Leonardo (agosto de 2003), "¿Qué es un Dessin d'Enfant" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 50 (7): 788–789, Zbl  1211.14001.