Medida de borel

Medida definida en todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico

En matemáticas , específicamente en teoría de la medida , una medida de Borel en un espacio topológico es una medida que se define en todos los conjuntos abiertos (y por lo tanto en todos los conjuntos de Borel ). ^[1] Algunos autores requieren restricciones adicionales en la medida, como se describe a continuación.

Definición formal

Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto , y sea la σ-álgebra más pequeña que contiene los conjuntos abiertos de ; esto se conoce como la σ-álgebra de conjuntos de Borel . Una medida de Borel es cualquier medida definida en la σ-álgebra de conjuntos de Borel. ^[2] Algunos autores requieren además que sea localmente finito , lo que significa que cada punto tiene un vecindario abierto con medida finita. Para los espacios de Hausdorff, esto implica que para cada conjunto compacto , y para los espacios de Hausdorff localmente compactos, las dos condiciones son equivalentes. Si una medida de Borel es tanto regular interna como regular externa , se llama medida de Borel regular . Si es tanto regular interna, regular externa y localmente finita , se llama medida de Radon . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (C)<\infty }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

En la linea real

La línea real con su topología usual es un espacio de Hausdorff localmente compacto; por lo tanto, podemos definir una medida de Borel en ella. En este caso, es la σ-álgebra más pequeña que contiene los intervalos abiertos de . Si bien hay muchas medidas de Borel μ , la elección de la medida de Borel que asigna para cada intervalo semiabierto a veces se llama "la" medida de Borel en . Esta medida resulta ser la restricción a la σ-álgebra de Borel de la medida de Lebesgue , que es una medida completa y está definida en la σ-álgebra de Lebesgue. La σ-álgebra de Lebesgue es en realidad la compleción de la σ-álgebra de Borel, lo que significa que es la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos de Borel y puede estar equipada con una medida completa . Además, la medida de Borel y la medida de Lebesgue coinciden en los conjuntos de Borel (es decir, para cada conjunto medible de Borel, donde es la medida de Borel descrita anteriormente). Esta idea se extiende a espacios de dimensión finita (el teorema de Cramér-Wold , más adelante) pero no se cumple, en general, para espacios de dimensión infinita. No existen medidas de Lebesgue de dimensión infinita . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ((a,b])=b-a}$ ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Espacios de productos

Si X e Y son espacios topológicos de Hausdorff contables en segundo lugar , entonces el conjunto de subconjuntos de Borel de su producto coincide con el producto de los conjuntos de subconjuntos de Borel de X e Y. ^[3] Es decir, el functor de Borel ${\displaystyle B(X\times Y)}$ ${\displaystyle B(X)\times B(Y)}$

${\displaystyle \mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas} }$

de la categoría de espacios de Hausdorff de segundo orden contable a la categoría de espacios medibles se conservan los productos finitos .

Aplicaciones

Integral de Lebesgue-Stieltjes

La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede asociarse a cualquier función de variación acotada en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel y, a la inversa, toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo. ^[4]

Transformada de Laplace

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida de Borel finita μ en la línea real mediante la integral de Lebesgue ^[5]

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$

Un caso especial importante es aquel en el que μ es una medida de probabilidad o, más específicamente, la función delta de Dirac. En el cálculo operacional , la transformada de Laplace de una medida suele tratarse como si la medida viniera de una función de distribución f . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe

${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

donde el límite inferior de 0 ⁻ es la notación abreviada para

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$

Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 queda totalmente capturada por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar dicho límite, sí aparece de manera más natural en relación con la transformada de Laplace-Stieltjes .

Problema del momento

Se pueden definir los momentos de una medida de Borel finita μ en la línea real mediante la integral

${\displaystyle m_{n}=\int _{a}^{b}x^{n}\,d\mu (x).}$

Pues estos corresponden al problema del momento de Hamburger , al problema del momento de Stieltjes y al problema del momento de Hausdorff , respectivamente. La pregunta o problema a resolver es, dada una colección de tales momentos, ¿existe una medida correspondiente? Para el problema del momento de Hausdorff, la medida correspondiente es única. Para las otras variantes, en general, hay un número infinito de medidas distintas que dan los mismos momentos. ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,\infty ),\;(0,\infty ),\;(0,1)}$

La dimensión de Hausdorff y el lema de Frostman

Dada una medida de Borel μ en un espacio métrico X tal que μ ( X ) > 0 y μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B ( x , r ) en X , entonces la dimensión de Hausdorff dim _Haus ( X ) ≥ s . El lema de Frostman proporciona una recíproca parcial : ^[6]

Lema: Sea A un subconjunto de Borel de R ⁿ , y sea s  > 0. Entonces los siguientes son equivalentes:

• H ^s ( A ) > 0, donde H ^s denota la medida de Hausdorff de dimensión s .
• Existe una medida de Borel (sin signo) μ que satisface μ ( A ) > 0, y tal que

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

se cumple para todos x  ∈  R ⁿ y r  > 0.

Teorema de Cramér-Wold

El teorema de Cramér-Wold en teoría de la medida establece que una medida de probabilidad de Borel en está determinada únicamente por la totalidad de sus proyecciones unidimensionales. ^[7] Se utiliza como método para demostrar resultados de convergencia conjunta. El teorema recibe su nombre en honor a Harald Cramér y Herman Ole Andreas Wold . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Véase también

• Operador de Jacobi

Referencias

1. DH Fremlin, 2000. Teoría de la medida Archivado el 1 de noviembre de 2010 en Wayback Machine . Torres Fremlin.
2. Alan J. Weir (1974). Integración general y medida . Cambridge University Press . Págs. 158-184. ISBN. 0-521-29715-X.
3. Vladimir I. Bogachev . Teoría de la medida, volumen 1. Springer Science & Business Media, 15 de enero de 2007
4. Halmos, Paul R. (1974), Teoría de la medida , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
5. Feller 1971, § XIII.1
6. Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Cambridge Mathematical Library (tercera edición). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.
7. K. Stromberg, 1994. Teoría de la probabilidad para analistas . Chapman y Hall.

Lectura adicional

• Medida gaussiana , una medida de Borel de dimensión finita
• Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II. , Segunda edición, Nueva York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• JD Pryce (1973). Métodos básicos de análisis funcional . Biblioteca de la Universidad Hutchinson. Hutchinson . pág. 217. ISBN. 0-09-113411-0.
• Ransford, Thomas (1995). Teoría del potencial en el plano complejo. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 28. Cambridge: Cambridge University Press . Págs. 209–218. ISBN. 0-521-46654-7.Zbl 0828.31001  .
• Teschl, Gerald , Temas de análisis real y funcional (notas de clase)
• Lema de Wiener relacionado

Enlaces externos

• Medida de Borel en la Enciclopedia de Matemáticas