Potencial delta

Modelo de potencial energético en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica, el potencial delta es un potencial bien descrito matemáticamente mediante la función delta de Dirac , una función generalizada . Cualitativamente corresponde a un potencial que es cero en todas partes, excepto en un único punto, donde toma un valor infinito. Esto se puede utilizar para simular situaciones en las que una partícula puede moverse libremente en dos regiones del espacio con una barrera entre las dos regiones. Por ejemplo, un electrón puede moverse casi libremente en un material conductor, pero si dos superficies conductoras se colocan muy juntas, la interfaz entre ellas actúa como una barrera para el electrón que puede aproximarse mediante un potencial delta.

El pozo de potencial delta es un caso límite del pozo de potencial finito , que se obtiene si se mantiene constante el producto del ancho del pozo y el potencial mientras se disminuye el ancho del pozo y se aumenta el potencial.

Este artículo, por simplicidad, sólo considera un pozo potencial unidimensional, pero el análisis podría ampliarse a más dimensiones.

Potencial delta único

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda ψ ( x ) de una partícula en una dimensión en un potencial V ( x ) es donde ħ es la constante de Planck reducida y E es la energía de la partícula. $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$

El potencial delta es el potencial donde δ ( x ) es la función delta de Dirac . $${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x),}$$

Se llama pozo de potencial delta si λ es negativo y barrera de potencial delta si λ es positivo. Se ha definido que el delta ocurre en el origen por simplicidad; un cambio en el argumento de la función delta no cambia ninguno de los siguientes resultados.

Resolviendo la ecuación de Schrödinger

Fuente: ^[1]

El potencial divide el espacio en dos partes ( x < 0 y x > 0 ). En cada una de estas partes el potencial es cero, y la ecuación de Schrödinger se reduce a esta es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes , cuyas soluciones son combinaciones lineales de e ^ikx y e ^{− ikx} , donde el número de onda k está relacionado con la energía por $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;}$$ $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

En general, debido a la presencia del potencial delta en el origen, los coeficientes de la solución no tienen por qué ser iguales en ambos semiespacios: donde, en el caso de energías positivas ( k real ), e ^ikx representa una onda que viaja hacia la derecha, y e ^{− ikx} uno viajando hacia la izquierda. $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}}$$

Se obtiene una relación entre los coeficientes imponiendo que la función de onda sea continua en el origen: $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

Se puede encontrar una segunda relación estudiando la derivada de la función de onda. Normalmente, también podríamos imponer diferenciabilidad en el origen, pero esto no es posible debido al potencial delta. Sin embargo, si integramos la ecuación de Schrödinger alrededor de x = 0 , en un intervalo [− ε , + ε ] : $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

En el límite cuando ε → 0 , el lado derecho de esta ecuación desaparece; el lado izquierdo se convierte en porque Al sustituir la definición de ψ en esta expresión se obtiene $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$ $${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

Por lo tanto, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

Estado vinculado ( E < 0)

La gráfica de la solución de la función de onda de estado ligado al potencial de la función delta es continua en todas partes, pero su derivada no está definida en x = 0 .

En cualquier potencial atractivo unidimensional habrá un estado ligado . Para encontrar su energía, observe que para E < 0 , k = i √ 2 m | mi | / ħ = iκ es imaginaria, y las funciones de onda que oscilaban para energías positivas en el cálculo anterior ahora son funciones de x crecientes o decrecientes exponencialmente (ver arriba). Requerir que las funciones de onda no diverjan en el infinito elimina la mitad de los términos: _Ar = B l ₌ 0 . La función de onda es entonces $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

De las condiciones de contorno y de normalización se deduce que λ debe ser negativo, es decir, el estado ligado solo existe para el pozo y no para la barrera. La transformada de Fourier de esta función de onda es una función de Lorentz . $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$

La energía del estado ligado es entonces $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

Dispersión ( E > 0)

Probabilidad de transmisión ( T ) y reflexión ( R ) de un pozo de potencial delta. La energía E > 0 está en unidades de . Discontinuo: resultado clásico. Línea sólida: mecánica cuántica. ${\displaystyle {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}}$

Para energías positivas, la partícula es libre de moverse en cualquier medio espacio: x < 0 o x > 0 . Puede estar disperso en el potencial de función delta.

El caso cuántico se puede estudiar en la siguiente situación: una partícula que incide sobre la barrera desde el lado izquierdo ( A _r ) . Puede reflejarse ( A _l ) o transmitirse ( B _r ) . Para encontrar las amplitudes de reflexión y transmisión para _la incidencia desde la izquierda, ponemos en las ecuaciones anteriores Ar = 1 (partícula entrante), Al = _{r (} reflexión ), B _l = 0 (sin partícula entrante por la derecha) y B _r = t (transmisión) y resolver para r y t aunque no tengamos ninguna ecuación en t . El resultado es $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes de incidencia desde la derecha son las mismas que las de la izquierda. El resultado es que existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula se refleje. Esto no depende del signo de λ , es decir, una barrera tiene la misma probabilidad de reflejar la partícula que también. Esta es una diferencia significativa con la mecánica clásica, donde la probabilidad de reflexión sería 1 para la barrera (la partícula simplemente rebota) y 0 para el pozo (la partícula pasa a través del pozo sin ser perturbada). $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$

La probabilidad de transmisión es $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

Observaciones y aplicación.

El cálculo presentado anteriormente puede parecer al principio poco realista y poco útil. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para una variedad de sistemas de la vida real.

Un ejemplo de ello se refiere a las interfaces entre dos materiales conductores . En la mayor parte de los materiales, el movimiento de los electrones es casi libre y puede describirse mediante el término cinético en el hamiltoniano anterior con una masa efectiva m . A menudo, las superficies de estos materiales están cubiertas con capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada y no conductora puede modelarse mediante un potencial de función delta local como se indicó anteriormente. Luego, los electrones pueden hacer túneles de un material a otro dando lugar a una corriente.

El funcionamiento de un microscopio de barrido de túneles (STM) se basa en este efecto de túnel. En ese caso, la barrera se debe al aire entre la punta del STM y el objeto subyacente. La fuerza de la barrera está relacionada con que la separación sea más fuerte cuanto más separados estén los dos. Para obtener un modelo más general de esta situación, consulte Barrera de potencial finito (QM) . La barrera de potencial de la función delta es el caso límite del modelo considerado allí para barreras muy altas y estrechas.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio que nos rodea es tridimensional. Entonces, de hecho, uno debería resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas sólo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son invariantes traslacionalmente a lo largo de las demás. La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí por un Ansatz para la función de onda del tipo . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$

Alternativamente, es posible generalizar la función delta para que exista en la superficie de algún dominio D (ver Laplaciano del indicador ). ^[2]

El modelo de función delta es en realidad una versión unidimensional del átomo de hidrógeno según el método de escalamiento dimensional desarrollado por el grupo de Dudley R. Herschbach ^[3]. El modelo de función delta se vuelve particularmente útil con el modelo de función Delta de Dirac de doble pozo que representa una versión unidimensional del ion molécula de hidrógeno , como se muestra en la siguiente sección.

Doble potencial delta

Las funciones de onda simétricas y antisimétricas para el modelo de función delta de Dirac de doble pozo con distancia "internuclear" R = 2

La función delta de Dirac de doble pozo modela una molécula de hidrógeno diatómico mediante la correspondiente ecuación de Schrödinger: dónde está ahora el potencial dónde está la distancia "internuclear" con picos (negativos) de la función delta de Dirac ubicados en x = ± R /2 (como se muestra en marrón en el diagrama). Teniendo en cuenta la relación de este modelo con su contraparte molecular tridimensional, utilizamos unidades atómicas y establecemos . Aquí hay un parámetro formalmente ajustable. Del caso de un solo pozo, podemos inferir que el " ansatz " de la solución es La coincidencia de la función de onda en los picos de la función delta de Dirac produce el determinante. Por lo tanto, se encuentra que se rige por la ecuación pseudocuadrática que tiene dos soluciones. . Para el caso de cargas iguales (caso homonuclear simétrico), λ = 1 , y la pseudocuadrática se reduce a El caso "+" corresponde a una función de onda simétrica con respecto al punto medio (que se muestra en rojo en el diagrama), donde A = B , y se llama gerade . En consecuencia, el caso "-" es la función de onda que es antisimétrica con respecto al punto medio, donde A = − B , y se llama ungerade (que se muestra en verde en el diagrama). Representan una aproximación de los dos estados de energía discretos más bajos del tridimensional y son útiles en su análisis. Las soluciones analíticas para los valores propios de energía para el caso de cargas simétricas vienen dadas por ^[4] donde W es la función W estándar de Lambert . Tenga en cuenta que la energía más baja corresponde a la solución simétrica . En el caso de cargas desiguales , y de hecho, el problema molecular tridimensional, las soluciones vienen dadas por una generalización de la función W de Lambert (ver Función W de Lambert § Generalizaciones ). $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$ $${\displaystyle V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle 0<R<\infty }$ ${\displaystyle \hbar =m=1}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},}$$ ${\displaystyle d=d_{\pm }}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].}$$ ${\displaystyle {\ce {H2^+}}}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,}$$ ${\displaystyle d_{+}}$

Uno de los casos más interesantes es cuando qR  ≤ 1, lo que resulta en . Por lo tanto, se tiene una solución de estado ligado no trivial con E = 0 . Para estos parámetros específicos, se producen muchas propiedades interesantes, una de las cuales es el efecto inusual de que el coeficiente de transmisión es la unidad con energía cero. ^[5] ${\displaystyle d_{-}=0}$

Ver también

• partícula libre
• Partícula en una caja
• Pozo de potencial finito
• Partícula en un anillo
• Partícula en un potencial esféricamente simétrico.
• Oscilador armónico cuántico
• Átomo de hidrógeno o átomo similar al hidrógeno.
• Guía de ondas de anillo
• Partícula en una red unidimensional (potencial periódico)
• Ion molecular de hidrógeno
• Método Holstein-Arenque
• Laplaciano del indicador
• Lista de sistemas mecánico-cuánticos con soluciones analíticas.

Referencias

1. "mecánica cuántica - Función de onda con potencial delta". Intercambio de pila de física . Consultado el 29 de marzo de 2021 .
2. Lange, Rutger-Jan (2012), "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador", Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP...11 ..032L, doi :10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID  56188533
3. DR Herschbach , JS Avery y O. Goscinski (eds.), Escalamiento dimensional en física química , Springer, (1992). [1]
4. T. C. Scott, J. F. Babb, A. Dalgarno y John D. Morgan III, "El cálculo de las fuerzas de cambio: resultados generales y modelos específicos", J. Chem. Física. , 99, págs. 2841–2854, (1993).
5. van Dijk, W.; Kiers, KA (1992). "Retraso de tiempo en sistemas unidimensionales simples". Revista Estadounidense de Física . 60 (6). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 520–527. Código Bib : 1992AmJPh..60..520V. doi :10.1119/1.16866. ISSN  0002-9505.

• Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall. págs. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• Para el caso tridimensional, busque el "potencial de capa delta"; véase además K. Gottfried (1966), Mecánica cuántica Volumen I: Fundamentos , cap. III, sec. 15.

enlaces externos

• Medios relacionados con el potencial de Delta en Wikimedia Commons