Barrera de potencial rectangular

Área donde un potencial presenta un máximo local

En mecánica cuántica , la barrera de potencial rectangular (o, a veces, cuadrada ) es un problema unidimensional estándar que demuestra los fenómenos de tunelización ondulatoria (también llamado "túnel cuántico") y reflexión ondulatoria. El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo para una partícula que encuentra una barrera rectangular de energía potencial . Generalmente se supone, como en este caso, que una partícula libre incide sobre la barrera desde la izquierda.

Aunque clásicamente una partícula que se comporta como una masa puntual se reflejaría si su energía es menor que , una partícula que en realidad se comporta como una onda de materia tiene una probabilidad distinta de cero de atravesar la barrera y continuar su viaje como una onda en el otro lado. En la física de ondas clásica, este efecto se conoce como acoplamiento de ondas evanescentes . La probabilidad de que la partícula atraviese la barrera está dada por el coeficiente de transmisión , mientras que la probabilidad de que se refleje está dada por el coeficiente de reflexión . La ecuación de onda de Schrödinger permite calcular estos coeficientes. ${\displaystyle V_{0}}$

Cálculo

Dispersión en una barrera potencial finita de altura . Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. En rojo, aquellas ondas utilizadas para la derivación de la amplitud de reflexión y transmisión. para esta ilustración. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda dice ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$

hamiltonianoconstante de Planckmasa ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]}$$

función de paso de Heaviside ${\displaystyle V_{0}>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

La barrera está situada entre y . La barrera se puede mover a cualquier posición sin cambiar los resultados. El primer término del hamiltoniano es la energía cinética. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

La barrera divide el espacio en tres partes ( ). En cualquiera de estas partes, el potencial es constante, lo que significa que la partícula está casi libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha (ver partícula libre ). Si ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$

números de onda

$${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

El índice de los coeficientes y denota la dirección del vector de velocidad. Tenga en cuenta que, si la energía de la partícula está por debajo de la altura de la barrera, se vuelve imaginaria y la función de onda decae exponencialmente dentro de la barrera. Sin embargo, mantenemos la notación aunque en este caso las ondas ya no se propaguen. Aquí supusimos . El caso se trata a continuación. ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$

Los coeficientes deben calcularse a partir de las condiciones límite de la función de onda en y . La función de onda y su derivada tienen que ser continuas en todas partes, por lo que ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

Al insertar las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$

$${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$

$${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$

$${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

Transmisión y reflexión

Llegados a este punto, resulta instructivo comparar la situación con el caso clásico. En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de barrera. Una partícula clásica con energía mayor que la altura de la barrera siempre pasaría la barrera, y una partícula clásica que incide sobre la barrera siempre se reflejaría. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

Para estudiar el caso cuántico, considere la siguiente situación: una partícula que incide sobre la barrera desde el lado izquierdo ( ). ${\displaystyle A_{r}}$ Puede reflejarse ( ) ${\displaystyle A_{l}}$ o transmitirse ( ). ${\displaystyle C_{r}}$

Para encontrar las amplitudes de reflexión y transmisión para la incidencia desde la izquierda, colocamos las ecuaciones anteriores (partícula entrante), (reflexión), (ninguna partícula entrante desde la derecha) y (transmisión). Luego eliminamos los coeficientes de la ecuación y resolvemos para y . ${\displaystyle A_{r}=1}$ ${\displaystyle A_{l}=r}$ ${\displaystyle C_{l}=0}$ ${\displaystyle C_{r}=t}$ ${\displaystyle B_{l},B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$

El resultado es:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$

$${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes de incidencia desde la derecha son las mismas que las de la izquierda. Tenga en cuenta que estas expresiones son válidas para cualquier energía . Si , entonces , hay una singularidad en ambas expresiones. ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}=0}$

Análisis de las expresiones obtenidas.

E < V 0

Probabilidad de transmisión a través de una barrera de potencial finita para = 1, 3 y 7. Discontinuo: resultado clásico. Línea sólida: resultado de la mecánica cuántica. ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$

El resultado sorprendente es que para energías menores que la altura de la barrera, existe una probabilidad distinta de cero. ${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

para que la partícula se transmita a través de la barrera, con . Este efecto, que difiere del caso clásico, se denomina túnel cuántico . La transmisión se suprime exponencialmente con el ancho de la barrera, lo que se puede entender a partir de la forma funcional de la función de onda: fuera de la barrera oscila con el vector de onda , mientras que dentro de la barrera se amortigua exponencialmente a lo largo de una distancia . Si la barrera es mucho más ancha que esta longitud de caída, las partes izquierda y derecha son prácticamente independientes y, como consecuencia, se suprime la formación de túneles. ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle 1/k_{1}}$

E > V 0

En este caso

$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$

. ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

Igualmente sorprendente es que para energías mayores que la altura de la barrera, la partícula puede reflejarse desde la barrera con una probabilidad distinta de cero. ${\displaystyle E>V_{0}}$

$${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

De hecho, las probabilidades de transmisión y reflexión oscilan con . El resultado clásico de transmisión perfecta sin ninguna reflexión ( , ) se reproduce no solo en el límite de alta energía sino también cuando la energía y el ancho de la barrera satisfacen , donde (ver picos cerca y 1,8 en la figura anterior). Tenga en cuenta que las probabilidades y amplitudes escritas son para cualquier energía (por encima o por debajo) de la altura de la barrera. ${\displaystyle k_{1}a}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle E\gg V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

mi = v 0

La probabilidad de transmisión es ^[1] ${\displaystyle E=V_{0}}$

$${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

Esta expresión se puede obtener calculando el coeficiente de transmisión a partir de las constantes indicadas anteriormente como para los demás casos o tomando el límite de as aproximaciones . Para ello la relación ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

está definido, que se utiliza en la función : ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

En la última ecuación se define de la siguiente manera: ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

Estas definiciones pueden insertarse en la expresión para la cual se obtuvo para el caso . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

Ahora, al calcular el límite de cuando x se acerca a 1 (usando la regla de L'Hôpital ), ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

También se puede obtener el límite de cuando se aproxima a 1: ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

Al ingresar la expresión anterior para el valor evaluado para el límite, la expresión anterior para T se reproduce con éxito. ${\displaystyle v_{0}}$

Observaciones y aplicaciones

El cálculo presentado anteriormente puede parecer al principio poco realista y poco útil. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para una variedad de sistemas de la vida real. Un ejemplo de ello son las interfaces entre dos materiales conductores . En la mayor parte de los materiales, el movimiento de los electrones es casi libre y puede describirse mediante el término cinético en el hamiltoniano anterior con una masa efectiva . A menudo, las superficies de estos materiales están cubiertas con capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada y no conductora puede modelarse mediante un potencial de barrera como se indicó anteriormente. Luego, los electrones pueden hacer túneles de un material a otro dando lugar a una corriente. ${\displaystyle m}$

El funcionamiento de un microscopio de barrido de túneles (STM) se basa en este efecto de túnel. En ese caso, la barrera se debe al espacio entre la punta del STM y el objeto subyacente. Dado que la corriente del túnel depende exponencialmente del ancho de la barrera, este dispositivo es extremadamente sensible a las variaciones de altura de la muestra examinada.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio es tridimensional. Se debería resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas sólo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son invariantes traslacionalmente a lo largo de las demás; son separables . La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso aquí considerado mediante un ansatz para la función de onda del tipo: . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

Para conocer otro modelo relacionado de barrera, consulte Barrera de potencial delta (QM) , que puede considerarse como un caso especial de barrera de potencial finito. Todos los resultados de este artículo se aplican inmediatamente a la barrera del potencial delta al tomar los límites y mantenerlos constantes. ${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$ ${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

Ver también

• Morse/potencial de largo alcance
• Potencial de paso
• Pozo de potencial finito

Referencias

1. McQuarrie DA, Simon JD (1997). Química física: un enfoque molecular (1ª ed.). Libros de ciencias universitarias. ISBN 978-0935702996.

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck; et al. (1996). Mecánica cuántica . trad. del francés por Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. págs. 231-233. ISBN 978-0-471-56952-7.