Números amigables

Los números amigos son dos números naturales diferentes relacionados de tal manera que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro número. Es decir, s ( a )= b y s ( b )= a , donde s ( n )=σ( n )- n es igual a la suma de los divisores positivos de n excepto el propio n (ver también función divisor ).

El par más pequeño de números amigos es ( 220 , 284 ). Son amigos porque los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, cuya suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, cuya suma es 220.

Los primeros diez pares amigables son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), y (66928, 66992). (secuencia A259180 en la OEIS ). (Véase también OEIS : A002025 y OEIS : A002046 ) Se desconoce si hay infinitos pares de números amigables.

Un par de números amigos constituye una secuencia alícuota de periodo 2. Un concepto relacionado es el de número perfecto , que es un número que es igual a la suma de sus divisores propios, es decir, un número que forma una secuencia alícuota de periodo 1. Los números que son miembros de una secuencia alícuota con periodo mayor a 2 se conocen como números sociables .

Historia

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen infinitos números amigos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Los números amigos eran conocidos por los pitagóricos , quienes les atribuían muchas propiedades místicas. Una fórmula general por la que se podían derivar algunos de estos números fue inventada alrededor del año 850 por el matemático iraquí Thābit ibn Qurra (826-901). Otros matemáticos árabes que estudiaron los números amigos son al-Majriti (fallecido en 1007), al-Baghdadi (980-1037) y al-Fārisī (1260-1320). El matemático iraní Muhammad Baqir Yazdi (siglo XVI) descubrió el par (9363584, 9437056), aunque esto a menudo se ha atribuido a Descartes . ^[1] Gran parte del trabajo de los matemáticos orientales en esta área ha sido olvidado.

La fórmula de Thābit ibn Qurra fue redescubierta por Fermat (1601-1665) y Descartes (1596-1650), a quienes a veces se les atribuye, y ampliada por Euler (1707-1783). Borho la amplió aún más en 1972. Fermat y Descartes también redescubrieron pares de números amigos conocidos por los matemáticos árabes. Euler también descubrió docenas de nuevos pares. ^[2] El segundo par más pequeño, (1184, 1210), fue descubierto en 1867 por B. Nicolò I. Paganini (que no debe confundirse con el compositor y violinista), de 16 años, después de haber sido pasado por alto por los matemáticos anteriores. ^[3]^[4]

Hay más de 1.000.000.000 de parejas amistosas conocidas. ^[5]

Reglas para la generación

Si bien estas reglas generan algunos pares de números amigos, se conocen muchos otros pares, por lo que estas reglas no son de ninguna manera exhaustivas.

En particular, las dos reglas siguientes producen sólo pares amistosos, por lo que no tienen interés para el problema abierto de encontrar pares amistosos coprimos con 210 = 2·3·5·7, mientras que se conocen más de 1000 pares coprimos con 30 = 2·3·5 [García, Pedersen y te Riele (2003), Sándor y Crstici (2004)].

Teorema de Thābit ibn Qurrah

El teorema de Thābit ibn Qurrah es un método para descubrir números amigos inventado en el siglo IX por el matemático árabe Thābit ibn Qurrah . ^[6]

Se establece que si ${\begin{aligned}p&=3\veces 2^{n-1}-1,\\q&=3\veces 2^{n}-1,\\r&=9\veces 2^{2n-1}-1,\end{aligned}}$

donde $n > 1$ es un entero y $p, q, r$ son números primos , entonces $2 n \times p \times q$ y $2 n \times r$ son un par de números amigos. Esta fórmula da los pares $(220, 284)$ para $n = 2$ , $(17296, 18416)$ para $n = 4$ y $(9363584, 9437056)$ para $n = 7$ , pero no se conocen otros pares similares. Los números de la forma $3 \times 2 n - 1$ se conocen como números Thabit . Para que la fórmula de Ibn Qurrah produzca un par amigo, dos números Thabit consecutivos deben ser primos; esto restringe severamente los posibles valores de $n$ .

Para establecer el teorema, Thâbit ibn Qurra demostró nueve lemas divididos en dos grupos. Los tres primeros lemas tratan de la determinación de las partes alícuotas de un entero natural . El segundo grupo de lemas trata más específicamente de la formación de números perfectos, abundantes y deficientes. ^[6]

Regla de Euler

La regla de Euler es una generalización del teorema de Thâbit ibn Qurra. Establece que si n $>$ $m$ $>$ $0$ son números enteros y $p, q, r$ son números primos , entonces $2$ $n$ $\times$ $p$ $\times$ $q$ y $2$ $n$ $\times$ $r$ son un par de números amigos. El teorema de Thābit ibn Qurra corresponde al caso $m$ $=$ $n$ $- 1.$ La regla de Euler crea pares amigos adicionales para $($ $m$ $,$ $n$ $) = (1,8), (29,40)$ sin que se conozcan otros. Euler (1747 y 1750) encontró en total 58 pares nuevos, aumentando el número de pares que se conocían hasta entonces a 61. ^[2]^[7] ${\begin{aligned}p&=(2^{nm}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{nm}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{nm}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}$

Pares regulares

Sea ( $m$ , $n$ ) un par de números amigos con $m < n$ , y escriba $m = gM$ y $n = gN$ donde $g$ es el máximo común divisor de $m$ y $n$ . Si $M$ y $N$ son ambos coprimos con $g$ y libres al cuadrado entonces se dice que el par ( $m$ , $n$ ) es regular (secuencia A215491 en la OEIS ); de lo contrario, se llama irregular o exótico . Si ( $m$ , $n$ ) es regular y $M$ y $N$ tienen factores primos $i$ y $j$ respectivamente, entonces se dice que $(m, n) es del$ tipo $(i, j)$ .

Por ejemplo, con $(m, n) = (220, 284)$ , el máximo común divisor es $4$ y por lo tanto $M = 55$ y $N = 71$ . Por lo tanto, $(220, 284)$ es regular de tipo $(2, 1)$ .

Parejas gemelas amistosas

Un par amistoso $(m, n)$ es gemelo si no hay números enteros entre $m$ y $n$ que pertenezcan a ningún otro par amistoso (secuencia A273259 en la OEIS ).

Otros resultados

En todos los casos conocidos, los números de un par son ambos pares o ambos impares. No se sabe si existe un par par-impar de números amigos, pero si lo hay, el número par debe ser un número cuadrado o el doble de uno, y el número impar debe ser un número cuadrado. Sin embargo, existen números amigos donde los dos miembros tienen diferentes factores primos más pequeños: hay siete pares de este tipo conocidos. ^[8] Además, cada par conocido comparte al menos un factor primo común . No se sabe si existe un par de números amigos coprimos , aunque si existe alguno, el producto de los dos debe ser mayor que 10 ⁶⁵ . ^[9]^[10] Además, un par de números amigos coprimos no puede generarse por la fórmula de Thabit (arriba), ni por ninguna fórmula similar.

En 1955, Paul Erdős demostró que la densidad de números amigos, en relación con los enteros positivos, era 0. ^[11]

En 1968, Martin Gardner observó que la mayoría de los pares amistosos conocidos en su época tienen sumas divisibles por 9, ^[12] y se obtuvo una regla para caracterizar las excepciones (secuencia A291550 en la OEIS ). ^[13]

Según la conjetura de la suma de pares amistosos, a medida que el número de números amistosos se acerca al infinito, el porcentaje de las sumas de pares amistosos divisibles por diez se acerca al 100% (secuencia A291422 en la OEIS ). Aunque todos los pares amistosos hasta 10.000 son pares pares, la proporción de pares amistosos impares aumenta de manera constante hacia números más altos, y presumiblemente hay más de ellos que de pares amistosos pares (A360054 en la OEIS).

Existen pares amistosos gaussianos. ^[14]

Generalizaciones

Tuplas amistosas

Los números amigos satisfacen y que pueden escribirse juntos como . Esto puede generalizarse a tuplas más grandes, digamos , donde requerimos ${\estilo de visualización (m,n)}$ $\sigma(m)-m=n$ $\sigma(n)-n=m$ $\sigma(m)=\sigma(n)=m+n$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})$

\sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\puntos =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\puntos +n_{k}

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es un triple amistoso (secuencia A125490 en la OEIS ), y (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) es un cuádruple amistoso (secuencia A036471 en la OEIS ).

Los multiconjuntos amigables se definen de forma análoga y generalizan esto un poco más (secuencia A259307 en la OEIS ).

Números sociables

Los números sociables son los números que se encuentran en listas cíclicas de números (con una longitud mayor que 2) donde cada número es la suma de los divisores propios del número anterior. Por ejemplo, son números sociables de orden 4. $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$

Buscando números sociales

La secuencia alícuota se puede representar como un grafo dirigido , , para un entero dado , donde denota la suma de los divisores propios de . ^[15]Los ciclos en representan números sociables dentro del intervalo . Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos . $Estilo de visualización G_{n,s}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización s(k)}$ ${\estilo de visualización k}$ $Estilo de visualización G_{n,s}$ ${\estilo de visualización [1,n]}$

Referencias en la cultura popular

Los números amistosos aparecen en la novela La criada y el profesor de Yōko Ogawa , y en la película japonesa basada en ella.
La colección de cuentos de Paul Auster titulada True Tales of American Life contiene una historia ('Mathematical Aphrodisiac' de Alex Galt) en la que los números amigables juegan un papel importante.
Los números amistosos aparecen brevemente en la novela The Stranger House de Reginald Hill .
Los números amigos se mencionan en la novela francesa El teorema del loro de Denis Guedj .
Se mencionan números amistosos en el JRPG Persona 4 Golden .
Los números amistosos aparecen en la novela visual Rewrite .
Los números amistosos (220, 284) se mencionan en el episodio 13 del drama coreano Andante de 2017 .
Los números amistosos aparecen en la película griega El otro yo (película de 2016) .
Los números amigables se analizan en el libro ¿ Son reales los números? de Brian Clegg .
Los números amistosos se mencionan en la novela Apeirogon de 2020 de Colum McCann .

Véase también

Números prometidos (números cuasi amistosos)
Triple amigable - Variación de tres números de Números amigables.

Notas

^ Costello, Patrick (1 de mayo de 2002). «Nuevos pares amistosos de tipo (2; 2) y tipo (3; 2)» (PDF) . Matemáticas de la computación . 72 (241): 489–497. doi :10.1090/S0025-5718-02-01414-X. Archivado (PDF) desde el original el 29 de febrero de 2008. Consultado el 19 de abril de 2007 .
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Referencias

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Amicable Numbers ".

Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Números amistosos". Encyclopædia Britannica (11.ª ed.). Cambridge University Press.
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Enlaces externos

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