stringtranslate.com

Ariabhata

Aryabhata ( ISO : Āryabhaṭa ) o Aryabhata I [3] [4] (476–550 d. C. ) [5] [6] fue el primero de los principales matemáticos - astrónomos de la era clásica de las matemáticas y la astronomía indias . Sus obras incluyen el Āryabhaṭīya (que menciona que en 3600 Kali Yuga , 499 d. C., tenía 23 años) [7] y el Arya- siddhanta .

Por su mención explícita de la relatividad del movimiento, también se le califica como un importante físico temprano. [8]

Biografía

Ilustración de Aryabhata

Nombre

Aunque hay una tendencia a escribir mal su nombre como "Aryabhatta" por analogía con otros nombres que tienen el sufijo " bhatta ", su nombre se escribe correctamente Aryabhata: todos los textos astronómicos escriben su nombre así, [9] incluidas las referencias de Brahmagupta a él "en más de cien lugares por su nombre". [1] Además, en la mayoría de los casos "Aryabhatta" tampoco encajaría en la métrica. [9]

Hora y lugar de nacimiento

Aryabhata menciona en el Aryabhatiya que tenía 23 años 3.600 años después del comienzo del Kali Yuga , pero esto no significa que el texto haya sido compuesto en esa época. El año mencionado corresponde al 499 d. C., e implica que nació en el 476. [6] Aryabhata se consideraba un nativo de Kusumapura o Pataliputra (actual Patna , Bihar ). [1]

Otra hipótesis

Bhāskara I describe a Aryabhata como āśmakīya , «alguien perteneciente al país Aśmaka ». Durante la época del Buda, una rama del pueblo Aśmaka se asentó en la región entre los ríos Narmada y Godavari en la India central. [9] [10]

Se ha afirmado que el aśmaka (que en sánscrito significa "piedra") de donde Aryabhata se originó puede ser el actual Kodungallur , que fue la capital histórica de Thiruvanchikkulam de la antigua Kerala. [11] Esto se basa en la creencia de que Koṭuṅṅallūr era conocida anteriormente como Koṭum-Kal-l-ūr ("ciudad de piedras duras"); sin embargo, registros antiguos muestran que la ciudad era en realidad Koṭum-kol-ūr ("ciudad de gobierno estricto"). De manera similar, el hecho de que varios comentarios sobre el Aryabhatiya provengan de Kerala se ha utilizado para sugerir que era el principal lugar de vida y actividad de Aryabhata; sin embargo, muchos comentarios provienen de fuera de Kerala, y el Aryasiddhanta era completamente desconocido en Kerala. [9] K. Chandra Hari ha defendido la hipótesis de Kerala basándose en evidencia astronómica. [12]

Aryabhata menciona "Lanka" en varias ocasiones en el Aryabhatiya , pero su "Lanka" es una abstracción, que representa un punto en el ecuador en la misma longitud que su Ujjayini . [13]

Educación

Es bastante seguro que, en algún momento, fue a Kusumapura para realizar estudios avanzados y vivió allí durante algún tiempo. [14] Tanto la tradición hindú como la budista, así como Bhāskara I (629 d. C.), identifican a Kusumapura como Pāṭaliputra , la moderna Patna . [9] Un verso menciona que Aryabhata era el director de una institución ( kulapa ) en Kusumapura y, debido a que la universidad de Nalanda estaba en Pataliputra en ese momento, se especula que Aryabhata también podría haber sido el director de la universidad de Nalanda. [9] También se dice que Aryabhata instaló un observatorio en el templo del Sol en Taregana , Bihar. [15]

Obras

Aryabhata es el autor de varios tratados sobre matemáticas y astronomía , aunque Aryabhatiya es el único que sobrevive. [16]

Gran parte de la investigación incluía temas de astronomía, matemáticas, física, biología, medicina y otros campos. [17] Aryabhatiya , un compendio de matemáticas y astronomía, fue mencionado en la literatura matemática india y ha sobrevivido hasta los tiempos modernos. [18] La parte matemática de Aryabhatiya cubre aritmética , álgebra , trigonometría plana y trigonometría esférica . También contiene fracciones continuas , ecuaciones cuadráticas , series de sumas de potencias y una tabla de senos . [18]

El Arya-siddhanta , una obra perdida sobre cálculos astronómicos, se conoce a través de los escritos del contemporáneo de Aryabhata, Varahamihira , y de matemáticos y comentaristas posteriores, incluidos Brahmagupta y Bhaskara I. Esta obra parece estar basada en el Surya Siddhanta más antiguo y utiliza el cómputo del día a medianoche, en oposición al amanecer en Aryabhatiya . [10] También contenía una descripción de varios instrumentos astronómicos: el gnomon ( shanku-yantra ), un instrumento de sombra ( chhAyA-yantra ), posiblemente dispositivos de medición de ángulos, semicirculares y circulares ( dhanur-yantra / chakra-yantra ), un yasti-yantra de palo cilíndrico , un dispositivo con forma de paraguas llamado chhatra-yantra , y relojes de agua de al menos dos tipos, con forma de arco y cilíndricos. [10]

Un tercer texto, que puede haber sobrevivido en la traducción árabe , es Al ntf o Al-nanf . Se afirma que es una traducción de Aryabhata, pero se desconoce el nombre sánscrito de esta obra. Probablemente data del siglo IX y es mencionado por el erudito persa y cronista de la India, Abū Rayhān al-Bīrūnī . [10]

Aryabhatiya

Los detalles directos de la obra de Aryabhata se conocen sólo a partir del Aryabhatiya . El nombre "Aryabhatiya" se debe a comentaristas posteriores. Es posible que el propio Aryabhata no le haya dado un nombre. [8] Su discípulo Bhaskara I lo llama Ashmakatantra (o el tratado del Ashmaka). También se lo conoce ocasionalmente como Arya-shatas-aShTa (literalmente, los 108 de Aryabhata), porque hay 108 versos en el texto. [18] [8] Está escrito en el estilo muy conciso típico de la literatura de sutras , en el que cada línea es una ayuda para la memoria de un sistema complejo. Por lo tanto, la explicación del significado se debe a los comentaristas. El texto consta de 108 versos y 13 versos introductorios, y está dividido en cuatro pāda o capítulos:

  1. Gitikapada : (13 versos): grandes unidades de tiempo —kalpa , manvantra y yuga— que presentan una cosmología diferente a la de textos anteriores como el Vedanga Jyotisha de Lagadha (c. siglo I a. C.). También hay una tabla de senos ( jya ), dada en un solo verso. La duración de las revoluciones planetarias durante un mahayuga se da en 4,32 millones de años.
  2. Ganitapada (33 versos): cubre la medición ( kṣetra vyāvahāra ), progresiones aritméticas y geométricas, gnomon /sombras ( shanku - chhAyA ), ecuaciones simples, cuadráticas , simultáneas e indeterminadas ( kuṭṭaka ). [17]
  3. Kalakriyapada (25 versos): diferentes unidades de tiempo y un método para determinar las posiciones de los planetas para un día determinado, cálculos relativos al mes intercalar ( adhikamAsa ), kShaya-tithi s, y una semana de siete días con nombres para los días de la semana. [17]
  4. Golapada (50 versos): Aspectos geométricos/ trigonométricos de la esfera celeste , características de la eclíptica , ecuador celeste , nodo, forma de la tierra, causa del día y la noche, salida de los signos zodiacales en el horizonte, etc. [17] Además, algunas versiones citan algunos colofones añadidos al final, ensalzando las virtudes de la obra, etc. [17]

El Aryabhatiya presentó una serie de innovaciones en matemáticas y astronomía en forma de verso, que fueron influyentes durante muchos siglos. La extrema brevedad del texto fue elaborada en comentarios por su discípulo Bhaskara I ( Bhashya , c. 600 d. C.) y por Nilakantha Somayaji en su Aryabhatiya Bhasya (1465 d. C.). [18] [17]

Aryabhatiya también es conocido por su descripción de la relatividad del movimiento, que expresó de esta manera: “Así como un hombre que se desplaza en un barco hacia adelante ve los objetos estacionarios (en la orilla) que se mueven hacia atrás, de la misma manera las estrellas estacionarias son vistas por la gente en la Tierra como si se movieran exactamente hacia el oeste”. [8]

Matemáticas

Sistema de valor posicional y cero

El sistema de valor posicional , visto por primera vez en el Manuscrito Bakhshali del siglo III , estaba claramente presente en su obra. Si bien no utilizó un símbolo para el cero , el matemático francés Georges Ifrah sostiene que el conocimiento del cero estaba implícito en el sistema de valor posicional de Aryabhata como un marcador de posición para las potencias de diez con coeficientes nulos . [19]

Sin embargo, Aryabhata no utilizó los numerales Brahmi. Continuando la tradición sánscrita de los tiempos védicos , utilizó letras del alfabeto para denotar números, expresando cantidades, como la tabla de senos en forma mnemotécnica . [20]

Aproximación deπ

Aryabhata trabajó en la aproximación de pi (π) y es posible que haya llegado a la conclusión de que π es irracional. En la segunda parte del Aryabhatiyam ( gaṇitapāda 10), escribe:

caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām
ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.

“Suma cuatro a 100, multiplica por ocho y luego suma 62.000. Con esta regla se puede aproximar la circunferencia de un círculo con un diámetro de 20.000”. [21]

Esto implica que para un círculo cuyo diámetro es 20000, la circunferencia será 62832

es decir, = = , que tiene una precisión de dos partes en un millón. [22]

Se especula que Aryabhata utilizó la palabra āsanna (aproximación) para significar que no sólo se trata de una aproximación sino que el valor es inconmensurable (o irracional ). Si esto es correcto, es una idea bastante sofisticada, porque la irracionalidad de pi (π) fue demostrada en Europa recién en 1761 por Lambert . [23]

Después de que Aryabhatiya fuera traducido al árabe (c. 820 d.C.), esta aproximación fue mencionada en el libro de álgebra de Al-Khwarizmi . [10]

Trigonometría

En Ganitapada 6, Aryabhata da el área de un triángulo como

tribhujasya phalaśarīraṃ samadalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ

que se traduce como: "para un triángulo, el resultado de una perpendicular con la mitad del lado es el área". [24]

Aryabhata discutió el concepto de seno en su obra con el nombre de ardha-jya , que literalmente significa "media cuerda". Para simplificar, la gente comenzó a llamarlo jya . Cuando los escritores árabes tradujeron sus obras del sánscrito al árabe, se refirieron a él como jiba . Sin embargo, en los escritos árabes, se omiten las vocales y se abrevia como jb . Los escritores posteriores lo sustituyeron por jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue (en una prenda)". (En árabe, jiba es una palabra sin sentido). Más tarde, en el siglo XII, cuando Gherardo de Cremona tradujo estos escritos del árabe al latín, reemplazó el árabe jaib con su contraparte latina, sinus , que significa "cala" o "bahía"; de ahí proviene la palabra inglesa sine . [25]

Ecuaciones indeterminadas

Un problema de gran interés para los matemáticos indios desde la antigüedad ha sido encontrar soluciones enteras a ecuaciones diofánticas que tienen la forma ax + by = c. (Este problema también se estudió en las matemáticas chinas antiguas, y su solución suele denominarse teorema del resto chino ). Este es un ejemplo del comentario de Bhāskara sobre Aryabhatiya:

Encuentra el número que da 5 como resto cuando se divide por 8, 4 como resto cuando se divide por 9 y 1 como resto cuando se divide por 7

Es decir, encuentre N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Resulta que el valor más pequeño para N es 85. En general, las ecuaciones diofánticas, como esta, pueden ser notoriamente difíciles. Se discutieron extensamente en el antiguo texto védico Sulba Sutras , cuyas partes más antiguas podrían datar del 800 a. C. El método de Aryabhata para resolver tales problemas, elaborado por Bhaskara en 621 d. C., se llama método kuṭṭaka (कुट्टक). Kuṭṭaka significa "pulverizar" o "romper en pedazos pequeños", y el método implica un algoritmo recursivo para escribir los factores originales en números más pequeños. Este algoritmo se convirtió en el método estándar para resolver ecuaciones diofánticas de primer orden en las matemáticas indias, e inicialmente todo el tema del álgebra se llamó kuṭṭaka-gaṇita o simplemente kuṭṭaka . [26]

Álgebra

En Aryabhatiya , Aryabhata proporcionó resultados elegantes para la suma de series de cuadrados y cubos: [27]

y

(ver número triangular al cuadrado )

Astronomía

El sistema astronómico de Aryabhata se denominaba sistema audAyaka , en el que los días se cuentan a partir de uday , el amanecer en lanka o "ecuador". Algunos de sus escritos posteriores sobre astronomía, que aparentemente proponían un segundo modelo (o ardha-rAtrikA , medianoche), se han perdido, pero pueden reconstruirse en parte a partir de la discusión en el Khandakhadyaka de Brahmagupta . En algunos textos, parece atribuir los movimientos aparentes de los cielos a la rotación de la Tierra . Es posible que creyera que las órbitas del planeta son elípticas en lugar de circulares. [28] [29]

Movimientos del sistema solar

Aryabhata insistió correctamente en que la Tierra gira sobre su eje diariamente, y que el movimiento aparente de las estrellas es un movimiento relativo causado por la rotación de la Tierra, contrariamente a la opinión predominante en ese momento, de que el cielo giraba. [22] Esto se indica en el primer capítulo del Aryabhatiya , donde da el número de rotaciones de la Tierra en un yuga , [30] y se hace más explícito en su capítulo gola : [31]

De la misma manera que alguien que se desplaza en un barco hacia adelante ve un objeto inmóvil que se desplaza hacia atrás, así también alguien que se encuentra en el ecuador ve las estrellas inmóviles que se desplazan uniformemente hacia el oeste. La causa de la salida y la puesta [es que] la esfera de las estrellas junto con los planetas [¿aparentemente?] gira hacia el oeste en el ecuador, empujada constantemente por el viento cósmico .

Aryabhata describió un modelo geocéntrico del Sistema Solar, en el que el Sol y la Luna son transportados por epiciclos , que a su vez giran alrededor de la Tierra. En este modelo, que también se encuentra en el Paitāmahasiddhānta (c. 425 d. C.), los movimientos de los planetas están gobernados por dos epiciclos, un manda más pequeño (lento) y un śīghra más grande (rápido). [32] El orden de los planetas en términos de distancia a la Tierra se toma como: la Luna , Mercurio , Venus , el Sol , Marte , Júpiter , Saturno y los asterismos . [10]

Las posiciones y los períodos de los planetas se calcularon en relación con puntos en movimiento uniforme. En el caso de Mercurio y Venus, se mueven alrededor de la Tierra a la misma velocidad media que el Sol. En el caso de Marte, Júpiter y Saturno, se mueven alrededor de la Tierra a velocidades específicas, que representan el movimiento de cada planeta a través del zodíaco. La mayoría de los historiadores de la astronomía consideran que este modelo de dos epiciclos refleja elementos de la astronomía griega preptolemaica . [33] Otro elemento del modelo de Aryabhata, el śīghrocca , el período planetario básico en relación con el Sol, es visto por algunos historiadores como un signo de un modelo heliocéntrico subyacente . [34]

Eclipses

Los eclipses solares y lunares fueron explicados científicamente por Aryabhata. Afirma que la Luna y los planetas brillan por la luz solar reflejada. En lugar de la cosmogonía predominante en la que los eclipses eran causados ​​por Rahu y Ketu (identificados como los nodos lunares pseudoplanetarios ), explica los eclipses en términos de sombras proyectadas por la Tierra y que caen sobre ella. Así, el eclipse lunar ocurre cuando la Luna entra en la sombra de la Tierra (verso gola.37). Analiza extensamente el tamaño y la extensión de la sombra de la Tierra (versos gola.38-48) y luego proporciona el cálculo y el tamaño de la parte eclipsada durante un eclipse. Los astrónomos indios posteriores mejoraron los cálculos, pero los métodos de Aryabhata proporcionaron el núcleo. Su paradigma computacional era tan preciso que el científico del siglo XVIII Guillaume Le Gentil , durante una visita a Pondicherry, India, encontró que los cálculos indios de la duración del eclipse lunar del 30 de agosto de 1765 eran 41 segundos más cortos, mientras que sus gráficos (de Tobias Mayer, 1752) eran 68 segundos más largos. [10]

Períodos siderales

Considerada en unidades de tiempo inglesas modernas, Aryabhata calculó la rotación sideral (la rotación de la Tierra en relación con las estrellas fijas) como 23 horas, 56 minutos y 4,1 segundos; [35] el valor moderno es 23:56:4,091. De manera similar, su valor para la duración del año sideral en 365 días, 6 horas, 12 minutos y 30 segundos (365,25858 días) [36] es un error de 3 minutos y 20 segundos en la duración de un año (365,25636 días). [37]

Heliocentrismo

Como se mencionó, Aryabhata defendió un modelo astronómico en el que la Tierra gira sobre su propio eje. Su modelo también proporcionó correcciones (la anomalía de śīgra ) para las velocidades de los planetas en el cielo en términos de la velocidad media del Sol. Por lo tanto, se ha sugerido que los cálculos de Aryabhata se basaron en un modelo heliocéntrico subyacente , en el que los planetas orbitan alrededor del Sol, [38] [39] [40] aunque esto ha sido refutado. [41] También se ha sugerido que los aspectos del sistema de Aryabhata pueden haberse derivado de un modelo heliocéntrico griego anterior, probablemente pre-ptolemaico , del que los astrónomos indios no eran conscientes, [42] aunque la evidencia es escasa. [43] El consenso general es que una anomalía sinódica (dependiendo de la posición del Sol) no implica una órbita físicamente heliocéntrica (tales correcciones también están presentes en los textos astronómicos babilónicos tardíos ), y que el sistema de Aryabhata no era explícitamente heliocéntrico. [44]

Legado

El primer satélite de la India lleva el nombre de Aryabhata

El trabajo de Aryabhata ejerció una gran influencia en la tradición astronómica india e influyó en varias culturas vecinas a través de sus traducciones. La traducción árabe durante la Edad de Oro islámica (c. 820 d. C.) fue particularmente influyente. Al-Khwarizmi cita algunos de sus resultados y, en el siglo X, Al-Biruni afirmó que los seguidores de Aryabhata creían que la Tierra giraba sobre su eje.

Sus definiciones de seno ( jya ), coseno ( kojya ), verseno ( utkrama-jya ) y seno inverso ( otkram jya ) influyeron en el nacimiento de la trigonometría . También fue el primero en especificar las tablas de seno y verseno (1 − cos  x ), en intervalos de 3,75° desde 0° hasta 90°, con una precisión de 4 decimales.

De hecho, los términos modernos "seno" y "coseno" son transcripciones erróneas de las palabras jya y kojya introducidas por Aryabhata. Como se mencionó, fueron traducidas como jiba y kojiba en árabe y luego malinterpretadas por Gerardo de Cremona mientras traducía un texto de geometría árabe al latín . Él asumió que jiba era la palabra árabe jaib , que significa "pliegue en una prenda", L. sinus (c. 1150). [45]

Los métodos de cálculo astronómico de Aryabhata también fueron muy influyentes. Junto con las tablas trigonométricas, llegaron a ser ampliamente utilizados en el mundo islámico y se utilizaron para calcular muchas tablas astronómicas árabes ( zijes ). En particular, las tablas astronómicas de la obra del científico árabe español Al-Zarqali (siglo XI) fueron traducidas al latín como las Tablas de Toledo (siglo XII) y siguieron siendo las efemérides más precisas utilizadas en Europa durante siglos.

Los cálculos calendáricos ideados por Aryabhata y sus seguidores se han utilizado continuamente en la India con fines prácticos para fijar el Panchangam (el calendario hindú ). En el mundo islámico, formaron la base del calendario Jalali introducido en 1073 d. C. por un grupo de astrónomos que incluía a Omar Khayyam , [46] cuyas versiones (modificadas en 1925) son los calendarios nacionales que se utilizan en Irán y Afganistán en la actualidad. Las fechas del calendario Jalali se basan en el tránsito solar real, como en los calendarios Aryabhata y Siddhanta anteriores . Este tipo de calendario requiere una efemérides para calcular las fechas. Aunque las fechas eran difíciles de calcular, los errores estacionales eran menores en el calendario Jalali que en el calendario gregoriano . [ cita requerida ]

El Gobierno de Bihar ha creado la Universidad del Conocimiento Aryabhatta (AKU) de Patna para el desarrollo y la gestión de la infraestructura educativa relacionada con la educación técnica, médica, de gestión y profesional afín en su honor. La universidad se rige por la Ley de la Universidad Estatal de Bihar de 2008.

El primer satélite de la India , Aryabhata, y el cráter lunar Aryabhata llevan su nombre en su honor; el satélite Aryabhata también aparece en el reverso del billete de 2 rupias indias . Un instituto para realizar investigaciones en astronomía, astrofísica y ciencias atmosféricas es el Instituto de Investigación Aryabhatta de Ciencias de la Observación (ARIES) cerca de Nainital, India. La Competencia Interescolar de Matemáticas Aryabhata también lleva su nombre, [47] al igual que Bacillus aryabhata , una especie de bacteria descubierta en la estratosfera por científicos de ISRO en 2009. [48] [49]

Véase también

Referencias

  1. ^ abc Bhau Daji (1865). «Breves notas sobre la antigüedad y autenticidad de las obras de Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala y Bhaskaracharya». Revista de la Royal Asiatic Society de Gran Bretaña e Irlanda, págs. 392–406.
  2. ^ Singh, J. (1999). Diccionario Sterling de Física. Sterling Publishers Private Limited. pág. 12. ISBN 978-81-7359-124-2. Recuperado el 15 de abril de 2023 .
  3. ^ O'Connor, JJ; Robertson, E F. "Aryabhata el Viejo". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Archivado desde el original el 11 de julio de 2015 . Consultado el 18 de julio de 2012 .
  4. ^ Britannica Educational Publishing (15 de agosto de 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. pp. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5.
  5. ^ Bharati Ray (1 de septiembre de 2009). Diferentes tipos de historia. Pearson Education India. pp. 95–. ISBN 978-81-317-1818-6.
  6. ^ ab BS Yadav (28 de octubre de 2010). Ancient Indian Leaps into Mathematics [Los antiguos indios dan un salto hacia las matemáticas]. Springer. pág. 88. ISBN 978-0-8176-4694-3.
  7. ^ Heidi Roupp (1997). Enseñanza de la historia mundial: un libro de recursos. ME Sharpe. pp. 112–. ISBN 978-1-56324-420-9.
  8. ^ abcd "Aryabhatiya". Enciclopedia.com . Consultado el 20 de junio de 2024 .
  9. ^ abcdef KV Sarma (2001). "Āryabhaṭa: Su nombre, hora y procedencia" (PDF) . Revista india de historia de la ciencia . 36 (4): 105-115. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010.
  10. ^ abcdefg Ansari, SMR (marzo de 1977). "Aryabhata I, su vida y sus aportes". Boletín de la Sociedad Astronómica de la India . 5 (1): 10–18. Código Bib : 1977BASI....5...10A. hdl :2248/502.
  11. ^ Menon (2009). Introducción a la historia y la filosofía de la ciencia. Pearson Education India. pág. 52. ISBN 978-81-317-2890-1.
  12. ^ Radhakrishnan Kuttoor (25 de junio de 2007), "¿Aryabhata vivía en Ponnani?", The Hindu , archivado desde el original el 1 de julio de 2007.
  13. ^ Ver:
    *Clark 1930
    * S. Balachandra Rao (2000). Astronomía india: una introducción. Oriente Cisne Negro. pag. 82.ISBN 978-81-7371-205-0.: "En la astronomía india, el meridiano principal es el gran círculo de la Tierra que pasa por los polos norte y sur, Ujjayinī y Laṅkā, donde se suponía que Laṅkā estaba en el ecuador de la Tierra".
    * L. Satpathy (2003). Ancient Indian Astronomy. Alpha Science Int'l Ltd. p. 200. ISBN 978-81-7319-432-0.:"Se definen entonces siete puntos cardinales en el ecuador, uno de ellos llamado Laṅkā, en la intersección del ecuador con la línea meridional que pasa por Ujjaini. Este Laṅkā es, por supuesto, un nombre fantasioso y no tiene nada que ver con la isla de Sri Laṅkā."
    * Ernst Wilhelm. Classical Muhurta. Kala Occult Publishers. pág. 44. ISBN 978-0-9709636-2-8.: "El punto del ecuador que está debajo de la ciudad de Ujjain se conoce, según los Siddhantas, como Lanka. (Ésta no es la Lanka que ahora se conoce como Sri Lanka; Aryabhata es muy claro al afirmar que Lanka está a 23 grados al sur de Ujjain.)"
    * RM Pujari; Pradeep Kolhe; NR Kumar (2006). Orgullo de la India: Una mirada al patrimonio científico de la India. SAMSKRITA BHARATI. p. 63. ISBN 978-81-87276-27-2.
    * Ebenezer Burgess; Fanindralal Gangooly (1989). El Surya Siddhanta: un libro de texto de astronomía hindú. Motilal Banarsidass Publ. pag. 46.ISBN 978-81-208-0612-2.
  14. ^ Cooke (1997). " Las matemáticas de los hindúes ". Historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley. pág. 204. ISBN 9780471180821El propio Aryabhata (uno de al menos dos matemáticos que llevan ese nombre) vivió a finales del siglo V y principios del VI en Kusumapura ( Pataliutra, un pueblo cerca de la ciudad de Patna) y escribió un libro llamado Aryabhatiya .
  15. ^ "Prepárense para el eclipse solar" (PDF) . Consejo Nacional de Museos de Ciencias, Ministerio de Cultura, Gobierno de la India. Archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011. Consultado el 9 de diciembre de 2009 .
  16. ^ Elgarøy, Øystein (18 de junio de 2024), "Aryabhata", Store norske leksikon (en noruego) , consultado el 20 de junio de 2024.
  17. ^ abcdef "આર્યભટ્ટ". Gujarati Vishwakosh . Consultado el 20 de junio de 2024 .
  18. ^ abcd "Aryabhata - Biografía". Historia de las matemáticas . Universidad de St. Andrews . Consultado el 20 de junio de 2024 .
  19. ^ George Ifrah (1998). Una historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora . Londres: John Wiley & Sons.
  20. ^ Dutta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (1962). Historia de las matemáticas hindúes . Editorial Asia, Bombay. ISBN 81-86050-86-8.
  21. ^ Jacobs, Harold R. (2003). Geometría: ver, hacer, comprender (tercera edición). Nueva York: WH Freeman and Company. pág. 70. ISBN 0-7167-4361-2.
  22. ^ ab Cómo Aryabhata calculó correctamente la circunferencia de la Tierra Archivado el 15 de enero de 2017 en Wayback Machine.
  23. ^ S. Balachandra Rao (1998) [Publicado por primera vez en 1994]. Matemáticas y astronomía indias: algunos hitos . Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 81-7371-205-0.
  24. ^ Roger Cooke (1997). "Las matemáticas de los hindúes". Historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3Aryabhata dio la regla correcta para el área de un triángulo y una regla incorrecta para el volumen de una pirámide (afirmó que el volumen era la mitad de la altura multiplicada por el área de la base).
  25. ^ Howard Eves (1990). Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.). Saunders College Publishing House, Nueva York. pág. 237.
  26. ^ Amartya K Dutta, "Ecuaciones diofánticas: El Kuttaka" Archivado el 2 de noviembre de 2014 en Wayback Machine , Resonance , octubre de 2002. Véase también la descripción general anterior: Matemáticas en la India antigua Archivado el 2 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .
  27. ^ Boyer, Carl B. (1991). "Las matemáticas de los hindúes". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc., pág. 207. ISBN 0-471-54397-7. Dio reglas más elegantes para la suma de los cuadrados y cubos de un segmento inicial de los números enteros positivos. La sexta parte del producto de tres cantidades que consisten en el número de términos, el número de términos más uno y el doble del número de términos más uno es la suma de los cuadrados. El cuadrado de la suma de la serie es la suma de los cubos.
  28. ^ JJ O'Connor y EF Robertson, Aryabhata el Viejo Archivado el 19 de octubre de 2012 en Wayback Machine , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor :

    "Él cree que la Luna y los planetas brillan por la luz solar reflejada, increíblemente cree que las órbitas de los planetas son elipses".

  29. ^ Hayashi (2008), Aryabhata I
  30. ^ Aryabhatiya 1.3ab, consulte Plofker 2009, p. 111.
  31. ^ [ achalAni bhAni samapashchimagAni ... – golapAda.9–10]. Traducción de KS Shukla y KV Sarma, KV Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , Nueva Delhi: Indian National Science Academy, 1976. Citado en Plofker 2009.
  32. ^ Pingree, David (1996). "Astronomía en la India". En Walker, Christopher (ed.). Astronomía antes del telescopio . Londres: British Museum Press. págs. 123-142. ISBN 0-7141-1746-3.págs. 127–9.
  33. ^ Otto Neugebauer, "La transmisión de teorías planetarias en la astronomía antigua y medieval", Scripta Mathematica , 22 (1956), pp. 165-192; reimpreso en Otto Neugebauer, Astronomy and History: Selected Essays, Nueva York: Springer-Verlag, 1983, pp. 129-156. ISBN 0-387-90844-7 
  34. ^ Hugh Thurston, Astronomía temprana , Nueva York: Springer-Verlag, 1996, págs. 178-189. ISBN 0-387-94822-8 
  35. ^ RCGupta (31 de julio de 1997). "Āryabhaṭa". En Helaine Selin (ed.). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales. Saltador. pag. 72.ISBN 978-0-7923-4066-9.
  36. ^ Ansari, pág. 13, Tabla 1
  37. ^ Aryabhatiya Marathi : आर्यभटीय , Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.25, ISBN 978-81-7434-480-9 
  38. El concepto de heliocentrismo indio ha sido defendido por BL van der Waerden, Das heliozentrische System in der griechischen, persischen und indischen Astronomie. Naturforschenden Gesellschaft en Zúrich. Zúrich: Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  39. ^ BL van der Waerden, "El sistema heliocéntrico en la astronomía griega, persa e hindú", en David A. King y George Saliba, ed., From Deferente a Equitativo: Un volumen de estudios sobre la historia de la ciencia en el Cercano Oriente antiguo y medieval en honor a ES Kennedy , Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York, 500 (1987), págs. 529-534.
  40. ^ Hugh Thurston (1996). Astronomía temprana . Springer . pág. 188. ISBN. 0-387-94822-8.
  41. ^ Noel Swerdlow, "Reseña: Un monumento perdido de la astronomía india", Isis , 64 (1973): 239–243.
  42. ^ Aunque a Aristarco de Samos (siglo III a. C.) se le atribuye la sostenimiento de una teoría heliocéntrica, la versión de la astronomía griega conocida en la antigua India como Paulisa Siddhanta no hace referencia a dicha teoría.
  43. ^ Dennis Duke, "El ecuante en la India: la base matemática de los antiguos modelos planetarios indios". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 59 (2005): 563–576, n. 4 "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de marzo de 2009 . Consultado el 8 de febrero de 2016 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace ).
  44. ^ Kim Plofker (2009). Matemáticas en la India . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pág. 111. ISBN 978-0-691-12067-6.
  45. ^ Douglas Harper (2001). «Online Etymology Dictionary». Archivado desde el original el 13 de julio de 2007. Consultado el 14 de julio de 2007 .
  46. ^ "Omar Khayyam". The Columbia Encyclopedia (6.ª ed.). Mayo de 2001. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2007. Consultado el 10 de junio de 2007 .
  47. ^ "Las matemáticas pueden ser divertidas". The Hindu . 3 de febrero de 2006. Archivado desde el original el 1 de octubre de 2007. Consultado el 6 de julio de 2007 .
  48. ^ "Nuevos microorganismos descubiertos en la estratosfera de la Tierra". ScienceDaily. 18 de marzo de 2009. Archivado desde el original el 1 de abril de 2018.
  49. ^ "Comunicado de prensa de la ISRO del 16 de marzo de 2009". ISRO. Archivado desde el original el 5 de enero de 2012. Consultado el 24 de junio de 2012 .

Obras citadas

Enlaces externos