La tabla de senos de Āryabhata es un conjunto de veinticuatro números dados en el tratado astronómico Āryabhatiya compuesto por el matemático y astrónomo indio del siglo V Āryabhata (476-550 d. C.), para el cálculo de las semicuerdas de un cierto conjunto de arcos de un círculo. El conjunto de números aparece en el verso 12 del Capítulo 1 Dasagitika de Aryabhatiya. [1] No es una tabla en el sentido moderno de una tabla matemática; es decir, no es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. [2] [3] [4] La tabla de Āryabhaṭa tampoco es un conjunto de valores de la función seno trigonométrica en un sentido convencional; Es una tabla de las primeras diferencias de los valores de los senos trigonométricos expresados en minutos de arco , y debido a esto la tabla también se conoce como la tabla de diferencias de senos de Āryabhaṭa . [5] [6]
La tabla de Āryabhaṭa fue la primera tabla de senos jamás construida en la historia de las matemáticas . [7] Las tablas ahora perdidas de Hiparco (c. 190 a. C. - c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.) y las de Ptolomeo (c. 90 d. C. - c. 168 d. C.) eran todas tablas de cuerdas y no de semicuerdas. [7] La tabla de Āryabhaṭa permaneció como la tabla de senos estándar de la antigua India. Hubo intentos continuos de mejorar la precisión de esta tabla. Estos esfuerzos culminaron en el eventual descubrimiento de las expansiones de series de potencias de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c. 1350 - c. 1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , y la tabulación de una tabla de senos por Madhava con valores precisos a siete u ocho decimales.
Algunos historiadores de las matemáticas han argumentado que la tabla de senos dada en Āryabhaṭiya era una adaptación de tablas anteriores construidas por matemáticos y astrónomos de la antigua Grecia. [8] David Pingree , uno de los historiadores más destacados de las ciencias exactas de la antigüedad en Estados Unidos, fue un exponente de tal punto de vista. Asumiendo esta hipótesis, GJ Toomer [9] [10] [11] escribe: "Casi no existe documentación sobre la llegada más temprana de modelos astronómicos griegos a la India, o en realidad sobre cómo habrían sido esos modelos. Por lo tanto, es muy difícil determinar hasta qué punto lo que ha llegado hasta nosotros representa el conocimiento transmitido y qué es original de los científicos indios... La verdad es probablemente una mezcla enredada de ambos". [12]
Los valores codificados en el verso sánscrito de Āryabhaṭa se pueden decodificar utilizando el esquema numérico explicado en Āryabhaṭīya , y los números decodificados se enumeran en la tabla siguiente. En la tabla, las medidas de los ángulos relevantes para la tabla de senos de Āryabhaṭa se enumeran en la segunda columna. La tercera columna contiene la lista de números contenidos en el verso sánscrito dado anteriormente en escritura devanagari . Para comodidad de los usuarios que no pueden leer devanagari, estos números-palabra se reproducen en la cuarta columna en la transliteración ISO 15919. La siguiente columna contiene estos números en los números hindú-arábigos . Los números de Āryabhaṭa son las primeras diferencias en los valores de los senos. El valor correspondiente de seno (o más precisamente, de jya ) se puede obtener sumando las diferencias hasta esa diferencia. Por lo tanto, el valor de jya correspondiente a 18° 45′ es la suma 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Para evaluar la precisión de los cálculos de Āryabhaṭa, los valores modernos de jya se dan en la última columna de la tabla.
En la tradición matemática india, el seno (o jya ) de un ángulo no es una relación de números. Es la longitud de un cierto segmento de línea, una cierta semicuerda. El radio del círculo base es un parámetro básico para la construcción de tales tablas. Históricamente, se han construido varias tablas utilizando diferentes valores para este parámetro. Āryabhaṭa ha elegido el número 3438 como el valor del radio del círculo base para el cálculo de su tabla de senos. La razón de la elección de este parámetro es la idea de medir la circunferencia de un círculo en medidas de ángulos. En los cálculos astronómicos, las distancias se miden en grados , minutos , segundos , etc. En esta medida, la circunferencia de un círculo es 360° = (60 × 360) minutos = 21600 minutos. El radio del círculo, cuya medida de circunferencia es 21600 minutos, es 21600 / 2π minutos. Calculando esto usando el valor π = 3,1416 conocido por Aryabhata, se obtiene que el radio del círculo es de aproximadamente 3438 minutos. La tabla de senos de Āryabhaṭa se basa en este valor para el radio del círculo base. Todavía no se ha establecido quién fue el primero en usar este valor para el radio base. Pero Aryabhatiya es el texto sobreviviente más antiguo que contiene una referencia a esta constante básica. [13]
La segunda sección del Āryabhaṭiya, titulada Ganitapādd, contiene una estrofa que indica un método para el cálculo de la tabla de senos. Existen varias ambigüedades en la interpretación correcta del significado de este verso. Por ejemplo, la siguiente es una traducción del verso dada por Katz en la que las palabras entre corchetes son inserciones del traductor y no traducciones de textos en el verso. [13]
Esto puede referirse al hecho de que la segunda derivada de la función seno es igual al negativo de la función seno.