Reciprocidad de Artin

La ley de reciprocidad de Artin , que fue establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en teoría de números que forma una parte central de la teoría de cuerpos de clases globales . ^[1] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados teóricos de números más concretos que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .

Declaración

Sea una extensión de Galois de los cuerpos globales y represente el grupo de clases ideal de . Una de las afirmaciones de la ley de reciprocidad de Artin es que existe un isomorfismo canónico llamado mapa de símbolos global ^{[2] [3]} ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

donde denota la abelianización de un grupo, y es el grupo de Galois de sobre . La función se define mediante el ensamblaje de las funciones llamadas símbolo de Artin local , función de reciprocidad local o símbolo de residuo normativo ^{[4] [5]} ${\displaystyle {\text{ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},}$

para diferentes lugares de . Más precisamente, se da por las aplicaciones locales en el componente de una clase idèle. Las aplicaciones son isomorfismos. Este es el contenido de la ley de reciprocidad local , un teorema principal de la teoría de campos de clases locales . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta _{v}}$

Prueba

Se puede lograr una prueba cohomológica de la ley de reciprocidad global estableciendo primero que

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

constituye una formación de clase en el sentido de Artin y Tate. ^[6] Entonces se demuestra que

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

donde denotan los grupos de cohomología de Tate . Al calcular los grupos de cohomología se establece que es un isomorfismo. ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$

Significado

La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un cuerpo global K que se basa en el principio local-global de Hasse y el uso de los elementos de Frobenius . Junto con el teorema de existencia de Takagi , se utiliza para describir las extensiones abelianas de K en términos de la aritmética de K y para comprender el comportamiento de los lugares no arquimedianos en ellas. Por lo tanto, la ley de reciprocidad de Artin puede interpretarse como uno de los principales teoremas de la teoría de cuerpos de clase global. Puede usarse para demostrar que las L-funciones de Artin son meromórficas , y también para demostrar el teorema de densidad de Chebotarev . ^[7]

Dos años después de la publicación de su ley de reciprocidad general en 1927, Artin redescubrió el homomorfismo de transferencia de I. Schur y utilizó la ley de reciprocidad para traducir el problema de principalización para clases ideales de cuerpos numéricos algebraicos a la tarea teórica de grupos de determinar los núcleos de transferencias de grupos finitos no abelianos. ^[8]

Extensiones finitas de campos globales

(Consulte https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP para obtener una explicación de algunos de los términos utilizados aquí)

La definición del mapa de Artin para una extensión abeliana finita L / K de campos globales (tal como una extensión abeliana finita de ) tiene una descripción concreta en términos de ideales primos y elementos de Frobenius . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es primo de K entonces los grupos de descomposición de primos anteriores son iguales en Gal( L / K ) ya que el último grupo es abeliano . Si no está ramificado en L , entonces el grupo de descomposición es canónicamente isomorfo al grupo de Galois de la extensión de cuerpos de residuos sobre . Por lo tanto, hay un elemento de Frobenius definido canónicamente en Gal( L / K ) denotado por o . Si Δ denota el discriminante relativo de L / K , el símbolo de Artin (o mapa de Artin , o mapa de reciprocidad (global) ) de L / K se define en el grupo de ideales fraccionarios primos a Δ , , por linealidad: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$ ${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

La ley de reciprocidad de Artin (o ley de reciprocidad global ) establece que existe un módulo c de K tal que la función de Artin induce un isomorfismo.

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

donde K _{c ,1} es el módulo del rayo c , N _{L / K} es la función normativa asociada a L / K y son los ideales fraccionarios de L primos de c . Tal módulo c se denomina módulo definitorio de L / K . El módulo definitorio más pequeño se denomina conductor de L / K y normalmente se denota ${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

Ejemplos

Campos cuadráticos

Si es un entero sin cuadrados , y , entonces se puede identificar con {±1}. El discriminante Δ de L sobre es d o 4 d dependiendo de si d ≡ 1 (mod 4) o no. La función de Artin se define entonces sobre primos p que no dividen a Δ por ${\displaystyle d\neq 1}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

donde es el símbolo de Kronecker . ^[9] Más específicamente, el conductor de es el ideal principal (Δ) o (Δ)∞ según si Δ es positivo o negativo, ^[10] y el mapa de Artin en un ideal primo-a-Δ ( n ) está dado por el símbolo de Kronecker Esto muestra que un primo p está dividido o es inerte en L según si es 1 o −1. ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

Campos ciclotómicos

Sea m > 1 un entero impar o un múltiplo de 4, sea una raíz primitiva m -ésima de la unidad y sea el m -ésimo campo ciclotómico . se puede identificar con enviando σ a un _σ dado por la regla ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

El conductor de es ( m )∞, ^[11] y la función de Artin en un ideal primo a m ( n ) es simplemente n (mod m ) en ^[12] ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Relación con la reciprocidad cuadrática

Sean p y primos impares distintos. Por conveniencia, sea (que siempre es 1 (mod 4)). Entonces, la reciprocidad cuadrática establece que ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

La relación entre las leyes de reciprocidad cuadrática y de Artin se da estudiando el campo cuadrático y el campo ciclotómico de la siguiente manera. ^[9] Primero, F es un subcuerpo de L , por lo que si H = Gal( L / F ) y entonces Dado que este último tiene orden 2, el subgrupo H debe ser el grupo de cuadrados en Una propiedad básica del símbolo de Artin dice que para cada ideal primo a ℓ ( n ) ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

Cuando n = p , esto demuestra que si y solo si, p módulo ℓ está en H , es decir, si y solo si, p es un cuadrado módulo ℓ. ${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

Declaración en términos deyo-funciones

Una versión alternativa de la ley de reciprocidad, que conduce al programa Langlands , conecta las L-funciones de Artin asociadas a extensiones abelianas de un cuerpo numérico con las L-funciones de Hecke asociadas a caracteres del grupo de clases idèle. ^[13]

Un carácter de Hecke (o Größencharakter) de un cuerpo numérico K se define como un cuasicarácter del grupo de clases idèle de K . Robert Langlands interpretó los caracteres de Hecke como formas automórficas en el grupo algebraico reductivo GL (1) sobre el anillo de adeles de K . ^[14]

Sea una extensión abeliana de Galois con grupo de Galois G . Entonces, para cualquier carácter (es decir, representación compleja unidimensional del grupo G ), existe un carácter de Hecke de K tal que ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

donde el lado izquierdo es la función L de Artin asociada a la extensión con carácter σ y el lado derecho es la función L de Hecke asociada a χ, Sección 7.D de. ^[14]

La formulación de la ley de reciprocidad de Artin como una igualdad de L -funciones permite formular una generalización a representaciones n -dimensionales, aunque todavía falta una correspondencia directa.

Notas

1. Helmut Hasse , Historia de la teoría de campos de clases , en Teoría de números algebraicos , editado por Cassels y Frölich, Academic Press, 1967, págs. 266-279
2. Neukirch (1999) pág. 391
3. Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, pág. 408. De hecho, una versión más precisa de la ley de reciprocidad realiza un seguimiento de la ramificación.
4. Serre (1967) pág. 140
5. Serre (1979) pág. 197
6. Serre (1979) pág. 164
7. Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Capítulo VII
8. Artin, Emil (diciembre de 1929), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi :10.1007/BF02941159.
9. Lemmermeyer 2000, §3.2
10. Milne 2008, ejemplo 3.11
11. Milne 2008, ejemplo 3.10
12. Milne 2008, ejemplo 3.2
13. James Milne, Teoría de campos de clases
14. Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos de Adèle , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR  0379375.

Referencias

• Emil Artin (1924) "Über eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Artículos recopilados , Addison Wesley (1965), 105-124
• Emil Artin (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Artículos recopilados , 131-141
• Emil Artin (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Artículos recopilados , 159-164
• Frei, Günther (2004), "Sobre la historia de la ley de reciprocidad de Artin en extensiones abelianas de cuerpos numéricos algebraicos: cómo Artin llegó a su ley de reciprocidad", en Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.), El legado de Niels Henrik Abel. Documentos de la conferencia del bicentenario de Abel, Universidad de Oslo, Oslo, Noruega, 3-8 de junio de 2002 , Berlín: Springer-Verlag , pp. 267-294, ISBN 978-3-540-43826-7, MR  2077576, Zbl  1065.11001
• Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Graduate Texts in Mathematics , vol. 110 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, Sr.  1282723
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Milne, James (2008), Teoría de campos de clases (edición v4.0) , consultado el 22 de febrero de 2010
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Teoría de campos de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia instructiva organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN) con el apoyo de la International Mathematical Union , Londres: Academic Press, pp. 128–161, Zbl  0153.07403
• Tate, John (1967), "VII. Teoría de campos de clases globales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia instructiva organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN) con el apoyo de la International Mathematical Union , Londres: Academic Press, pp. 162–203, Zbl  0153.07403