Modelo Arrow-Debreu

Modelo económico

En economía matemática , el modelo Arrow-Debreu es un modelo teórico de equilibrio general . Postula que, en virtud de ciertos supuestos económicos ( preferencias convexas , competencia perfecta e independencia de la demanda), debe existir un conjunto de precios tal que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada de cada producto de la economía. ^[1]

El modelo es fundamental para la teoría del equilibrio general (económico) y se utiliza a menudo como referencia general para otros modelos microeconómicos. Fue propuesto por Kenneth Arrow , Gérard Debreu en 1954, ^[1] y Lionel W. McKenzie de forma independiente en 1954, ^[2] con mejoras posteriores en 1959. ^{[3] [4]}

El modelo AD es uno de los modelos más generales de economía competitiva y es una parte crucial de la teoría del equilibrio general , ya que puede utilizarse para demostrar la existencia del equilibrio general (o equilibrio walrasiano ) de una economía. En general, puede haber muchos equilibrios.

Arrow (1972) y Debreu (1983) recibieron por separado el Premio Nobel de Economía por el desarrollo del modelo. McKenzie, sin embargo, no recibió el galardón. ^[5]

Declaración formal

El contenido de ambos teoremas [teoremas fundamentales de la economía del bienestar] son ​​viejas creencias en economía. Arrow y Debreu han tratado recientemente esta cuestión con técnicas que permiten demostraciones.

—  Gérard Debreu, Equilibrio de valoración y óptimo de Pareto (1954)

Esta afirmación es absolutamente correcta: antes había creencias, ahora había conocimiento. Pero había más en juego. Los grandes eruditos cambian la forma en que pensamos sobre el mundo, y sobre qué y quiénes somos. El modelo Arrow-Debreu, tal como se comunica en la Teoría del valor, cambió el pensamiento básico y rápidamente se convirtió en el modelo estándar de la teoría de los precios. Es el modelo de referencia en finanzas, comercio internacional, finanzas públicas, transporte e incluso macroeconomía... En poco tiempo ya no era "tal como es" en Marshall, Hicks y Samuelson; más bien se convirtió en "tal como es" en la Teoría del valor.

—  Hugo Sonnenschein, comentarios en la conferencia de Debreu, Berkeley, 2005

Esta sección sigue la presentación en ^[6] que se basa en ^{[7] .}

Descripción intuitiva del modelo Arrow-Debreu

El modelo Arrow-Debreu presenta una economía como una combinación de tres tipos de agentes: los hogares, los productores y el mercado. Los hogares y los productores realizan transacciones con el mercado, pero no entre ellos directamente.

Los hogares poseen dotaciones (paquetes de bienes con los que comienzan), que se pueden considerar como "herencia". Para mayor claridad matemática, se requiere que todos los hogares vendan toda su dotación en el mercado al comienzo. Si desean conservar parte de la dotación, tendrían que volver a comprarla en el mercado más tarde. Las dotaciones pueden ser horas de trabajo, uso de la tierra, toneladas de maíz, etc.

Los hogares poseen participaciones proporcionales en los productores, que pueden considerarse como sociedades anónimas . Las ganancias obtenidas por el productor se dividen entre los hogares en proporción a la cantidad de existencias que cada hogar posee para el productor . La propiedad se impone desde el principio y los hogares no pueden venderlas, comprarlas, crearlas ni descartarlas. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Los hogares reciben un presupuesto, como la suma de los ingresos provenientes de la venta de dotaciones y los dividendos provenientes de las ganancias de los productores.

Los hogares tienen preferencias sobre paquetes de bienes, lo que, según los supuestos dados, los convierte en maximizadores de utilidad . Los hogares eligen el plan de consumo que les ofrece la mayor utilidad posible utilizando su presupuesto.

Los productores son capaces de transformar paquetes de mercancías en otros paquetes de mercancías. Los productores no tienen funciones de utilidad separadas, sino que son puramente maximizadores de beneficios.

El mercado sólo es capaz de "elegir" un vector de precios de mercado, que es una lista de precios para cada producto, que cada productor y cada familia toma (no hay comportamiento de negociación: cada productor y cada familia es un tomador de precios ). El mercado no tiene utilidad ni beneficio. En cambio, el mercado intenta elegir un vector de precios de mercado tal que, aunque cada familia y cada productor maximice su propia utilidad y beneficio, sus planes de consumo y producción "armonicen". Es decir, " el mercado se equilibra ". En otras palabras, el mercado está desempeñando el papel de un " subastador walrasiano ".

Configuración de notación

En general, escribimos los índices de los agentes como superíndices y los índices de coordenadas vectoriales como subíndices.

Notaciones útiles para vectores reales

• ${\displaystyle x\succeq y}$si ${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$es el conjunto de tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$es el conjunto de tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$es el N-simplex . A menudo lo llamamos el simplex de precios ya que a veces escalamos el vector de precios para que se encuentre en él.

mercado

• Los productos básicos se indexan como . Aquí se indica el número de productos básicos que existen en la economía. Es un número finito. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle N}$
• El vector de precios es un vector de longitud , en el que cada coordenada es el precio de un producto. Los precios pueden ser cero o positivos. ${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle N}$

hogares

• Los hogares están indexados como . ${\displaystyle i\in I}$
• Cada hogar comienza con una dotación de productos básicos . ${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar comienza con una tupla de propiedades de los productores . Las propiedades satisfacen . ${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• El presupuesto que recibe el hogar es la suma de sus ingresos por la venta de bienes a precio de mercado, más las ganancias por su propiedad de bienes de producción: ( representa dinero ) $${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$ ${\displaystyle M}$
• Cada hogar tiene un conjunto de posibilidades de consumo . ${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Cada hogar tiene una relación de preferencia sobre . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$
• Con los supuestos (que se dan en la siguiente sección), cada relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad mediante los teoremas de Debreu . Por lo tanto, en lugar de maximizar la preferencia, podemos afirmar equivalentemente que el hogar está maximizando su utilidad. ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• Un plan de consumo es un vector en , escrito como . ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$¿Es el conjunto de planes de consumo al menos tan preferible como . ${\displaystyle x^{i}}$
• El conjunto presupuestario es el conjunto de planes de consumo que puede permitirse: . $${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
• Para cada vector de precios , el hogar tiene un vector de demanda de bienes, como . Esta función se define como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. Puede que no esté bien definida para todos los . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definida en vectores de precios de equilibrio. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$ $${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

productores

• Los productores están indexados como . ${\displaystyle j\in J}$
• Cada productor tiene un conjunto de posibilidades de producción . Tenga en cuenta que el vector de oferta puede tener coordenadas tanto positivas como negativas. Por ejemplo, indica un plan de producción que utiliza 1 unidad del producto 1 para producir 1 unidad del producto 2. ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle (-1,1,0)}$
• Un plan de producción es un vector en , escrito como . ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle y^{j}}$
• Para cada vector de precios , el productor tiene un vector de oferta de bienes, como . Esta función se definirá como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. Puede que no esté bien definida para todos los . Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que esté bien definida en vectores de precios de equilibrio. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$ $${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• La ganancia es $${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

Agregados

• conjunto de posibilidades de consumo agregado . ${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• conjunto de posibilidades de producción agregada . ${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• dotación agregada ${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• demanda agregada ${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• oferta agregada ${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• exceso de demanda ${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

toda la economía

• Una economía es una tupla , es decir, una tupla que especifica los bienes, las preferencias de los consumidores, los conjuntos de posibilidades de consumo y los conjuntos de posibilidades de producción de los productores. ${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• Una economía con distribución inicial es una economía, junto con una tupla de distribución inicial para la economía. ${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• Un estado de la economía es una tupla de precios, planes de consumo y planes de producción para cada hogar y productor: . ${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• Un estado es factible si y solo si cada , cada , y . ${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$ ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• El conjunto de posibilidades de producción factibles, dada la dotación , es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• Dada una economía con distribución, el estado correspondiente a un vector de precios es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• Dada una economía con distribución, un vector de precios es un vector de precios de equilibrio para la economía con distribución inicial, solo si: Es decir, si un producto no es gratuito, entonces la oferta es exactamente igual a la demanda, y si un producto es gratuito, entonces la oferta es igual o mayor que la demanda (permitimos que haya un exceso de oferta de un producto gratuito). ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
• Un estado es un estado de equilibrio si es el estado correspondiente a un vector de precios de equilibrio.

Suposiciones

Imponer una restricción artificial

Las funciones no están necesariamente bien definidas para todos los vectores de precios . Por ejemplo, si el productor 1 es capaz de transformar unidades del producto 1 en unidades del producto 2, y tenemos , entonces el productor puede crear planes con ganancias infinitas, por lo tanto , y no está definido. ${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$ ${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$ ${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$

En consecuencia, definimos " mercado restringido " como el mismo mercado, excepto que existe un límite superior universal , de modo que cada productor debe utilizar un plan de producción y cada hogar debe utilizar un plan de consumo . Denote las cantidades correspondientes en el mercado restringido con una tilde. Así, por ejemplo, es la función de exceso de demanda en el mercado restringido. ^[8] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$ ${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$se elige para que sea "suficientemente grande" para la economía, de modo que la restricción no se aplique en condiciones de equilibrio (véase la siguiente sección). En detalle, se elige para que sea lo suficientemente grande como para que: ${\displaystyle C}$

• Cualquier plan de consumo tal como este es tan "extravagante" que incluso si todos los productores se coordinaran, aún así no lograrían satisfacer la demanda. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• Para cualquier lista de planes de producción para la economía , si , entonces para cada . En otras palabras, para cualquier plan de producción alcanzable con la dotación dada , el plan de producción individual de cada productor debe estar estrictamente dentro de la restricción. ${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle r}$

Cada requisito es satisfacible.

• Definamos el conjunto de planes de producción agregada alcanzables como , entonces, bajo los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de que "no hay almuerzos gratis arbitrarios"), está acotado para cualquier (prueba omitida). Por lo tanto, el primer requisito es satisfacible. ${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}}$ ${\displaystyle r\succeq 0}$
• Defina el conjunto de planes de producción individuales alcanzables que, en virtud de los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de que no se produzcan transformaciones arbitrariamente grandes), está acotado para cualquier (se omite la prueba). Por lo tanto, el segundo requisito es satisfacible. ${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$ ${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

Los dos requisitos juntos implican que la restricción no es una restricción real cuando los planes de producción y los planes de consumo son " interiores " a la restricción.

• En cualquier vector de precios , si , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de producción de un productor restringido es interior a la restricción artificial, entonces el productor sin restricciones elegiría el mismo plan de producción. Esto se demuestra explotando el segundo requisito en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle C}$
• Si todos , entonces los hogares restringidos y no restringidos tienen el mismo presupuesto. Ahora bien, si también tenemos , entonces existe y es igual a . En otras palabras, si el plan de consumo de un hogar restringido es interior a la restricción artificial, entonces el hogar no restringido elegiría el mismo plan de consumo. Esto se demuestra explotando el primer requisito sobre . ${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$ ${\displaystyle D^{i}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$ ${\displaystyle C}$

Estas dos proposiciones implican que los equilibrios para el mercado restringido son equilibrios para el mercado sin restricciones:

Teorema  :  Si es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces también es un vector de precios de equilibrio para el mercado no restringido. Además, tenemos . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)}$

Existencia de equilibrio general

Como última pieza de la construcción, definimos la ley de Walras :

• El mercado sin restricciones satisface la ley de Walras en si y solo si todos están definidos, y , es decir, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$ ${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• El mercado restringido satisface la ley de Walras en si y solo si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

La ley de Walras se puede interpretar en ambos lados:

• Del lado de los hogares, se dice que el gasto total del hogar es igual a la ganancia total y al ingreso total por la venta de bienes. En otras palabras, cada hogar gasta todo su presupuesto.
• Del lado de los productores, lo que se dice es que el beneficio agregado más el coste agregado es igual al ingreso agregado.

Teorema  —  satisface la ley débil de Walras: Para todo , y si , entonces para algún . ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ $${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0}$$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

Boceto de prueba

Si el valor total de la demanda excedente es exactamente cero, entonces cada hogar ha gastado todo su presupuesto. De lo contrario, algún hogar está restringido a gastar solo una parte de su presupuesto. Por lo tanto, la cesta de consumo de ese hogar está en el límite de la restricción, es decir, . Hemos elegido (en la sección anterior) que sea tan grande que incluso si todos los productores se coordinaran, aún así no alcanzarían a satisfacer la demanda. En consecuencia, existe algún producto tal que ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}}$

Teorema  :  Existe un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, en cuyo punto el mercado restringido satisface la ley de Walras.

Boceto de prueba

Por definición de equilibrio, si es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces en ese punto, el mercado restringido satisface la ley de Walras. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}}$es continua ya que todas son continuas. ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}}$

Defina una función sobre el simplex de precios, donde es una constante positiva fija. $${\displaystyle f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$

Según la ley débil de Walras, esta función está bien definida. Según el teorema del punto fijo de Brouwer, tiene un punto fijo. Según la ley débil de Walras, este punto fijo es un equilibrio de mercado.

Obsérvese que la prueba anterior no proporciona un algoritmo iterativo para hallar ningún equilibrio, ya que no hay garantía de que la función sea una contracción . Esto no es sorprendente, ya que no hay garantía (sin más suposiciones) de que cualquier equilibrio de mercado sea un equilibrio estable. ${\displaystyle f}$

Corolario  :  Existe un vector de precios de equilibrio para el mercado sin restricciones, en cuyo punto el mercado sin restricciones satisface la ley de Walras.

El papel de la convexidad

Un cuarto de vuelta del disco unitario convexo deja el punto  (0,0) fijo pero mueve todos los puntos en el círculo unitario no convexo .

En 1954, McKenzie y el dúo Arrow y Debreu demostraron de forma independiente la existencia de equilibrios generales invocando el teorema de punto fijo de Kakutani sobre los puntos fijos de una función continua de un conjunto compacto y convexo en sí mismo. En el enfoque de Arrow-Debreu, la convexidad es esencial, porque tales teoremas de punto fijo son inaplicables a conjuntos no convexos. Por ejemplo, la rotación del círculo unitario de 90 grados carece de puntos fijos, aunque esta rotación es una transformación continua de un conjunto compacto en sí mismo; aunque compacto, el círculo unitario no es convexo. En contraste, la misma rotación aplicada a la envoltura convexa del círculo unitario deja el punto  (0,0) fijo. Nótese que el teorema de Kakutani no afirma que exista exactamente un punto fijo. Reflejar el disco unitario a través del eje y deja un segmento vertical fijo, de modo que esta reflexión tiene un número infinito de puntos fijos.

No convexidad en las grandes economías

El supuesto de convexidad impidió muchas aplicaciones, que fueron discutidas en el Journal of Political Economy de 1959 a 1961 por Francis M. Bator, M. J. Farrell , Tjalling Koopmans y Thomas J. Rothenberg. ^[9] Ross M. Starr  (1969) demostró la existencia de equilibrios económicos cuando algunas preferencias de los consumidores no necesitan ser convexas . ^[9] En su artículo, Starr demostró que una economía "convexificada" tiene equilibrios generales que se aproximan estrechamente a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; la prueba de Starr utilizó el teorema de Shapley-Folkman . ^[10]

Teorema de equivalencia de Uzawa

( Uzawa , 1962) ^[11] demostró que la existencia de equilibrio general en una economía caracterizada por una función de exceso de demanda continua que cumple la Ley de Walras es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer. Por lo tanto, el uso del teorema del punto fijo de Brouwer es esencial para demostrar que el equilibrio existe en general. ^[12]

Teoremas fundamentales de la economía del bienestar

En la economía del bienestar, una posible preocupación es encontrar un plan Pareto óptimo para la economía.

Intuitivamente, se puede considerar que el problema de la economía del bienestar es el problema al que se enfrenta un planificador general para toda la economía: dada la dotación inicial para toda la sociedad, el planificador debe elegir un plan general factible de planes de producción y consumo . El planificador general tiene una amplia libertad para elegir el plan general, pero cualquier planificador razonable debería estar de acuerdo en que, si la utilidad de alguien puede aumentarse, mientras que la de los demás no disminuye, entonces es un plan mejor. Es decir, debe seguirse el ordenamiento de Pareto. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

Defina el ordenamiento de Pareto en el conjunto de todos los planes mediante ff para todos . ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Entonces, decimos que un plan es Pareto-eficiente con respecto a una dotación inicial , si es factible y no existe otro plan factible que sea estrictamente mejor en el orden de Pareto. ${\displaystyle r}$

En general, existe todo un continuo de planes Pareto-eficientes para cada dotación inicial . ${\displaystyle r}$

Con lo expuesto, tenemos dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar: ^[13]

Primer teorema fundamental de la economía del bienestar  :  cualquier estado de equilibrio del mercado es Pareto-eficiente.

Boceto de prueba

El hiperplano de precios separa las producciones alcanzables y los consumos Pareto-mejores. Es decir, el hiperplano separa y , donde es el conjunto de todos los , tales que , y . Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente Pareto-mejores. ${\displaystyle \langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle }$ ${\displaystyle r+PPS_{r}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$

Las producciones alcanzables se encuentran en el lado inferior del hiperplano de precios, mientras que los consumos mejores en el sentido de Pareto se encuentran estrictamente en el lado superior del hiperplano de precios. Por lo tanto, ningún plan mejor en el sentido de Pareto es alcanzable.

• Cualquier plan de consumo mejor en el sentido de Pareto debe costar al menos lo mismo para cada hogar, y más para al menos un hogar.
• Cualquier plan de producción alcanzable debe generar como máximo el mismo beneficio para cada productor.

Segundo teorema fundamental de la economía del bienestar  :  para cualquier dotación total y cualquier estado Pareto-eficiente alcanzable utilizando esa dotación, existe una distribución de dotaciones y propiedades privadas de los productores tal que el estado dado es un estado de equilibrio de mercado para algún vector de precios . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{r^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Idea de prueba: cualquier plan de consumo óptimo en el sentido de Pareto está separado por un hiperplano del conjunto de planes de consumo alcanzables. La pendiente del hiperplano sería el precio de equilibrio. Verifique que, con esos precios, cada productor y cada hogar considerarían óptimo el estado dado. Verifique que se cumple la ley de Walras y, por lo tanto, los gastos coinciden con los ingresos más los beneficios, por lo que es posible proporcionar a cada hogar exactamente el presupuesto necesario.

Prueba

Como el estado es alcanzable, tenemos . La igualdad no se cumple necesariamente, por lo que definimos el conjunto de consumos agregados alcanzables . Cualquier paquete de consumo agregado en es alcanzable, y cualquier paquete de consumo externo no lo es. ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$ ${\displaystyle V:=\{r+y-z:y\in PPS,z\succeq 0\}}$ ${\displaystyle V}$

Encuentra el precio de mercado . ${\displaystyle p}$

Definamos como el conjunto de todos los , tales que , y . Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente mejores en el sentido de Pareto. Como cada uno es convexo y cada preferencia es convexa, el conjunto también es convexo. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Ahora bien, como el estado es óptimo en el sentido de Pareto, el conjunto debe ser inalcanzable con la dotación dada. Es decir, es disjunto de . Como ambos conjuntos son convexos, existe un hiperplano separador entre ellos. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle V}$

Sea el hiperplano definido por , donde , y . El signo se elige de manera que y . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =c}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0}$ ${\displaystyle c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle \geq c}$ ${\displaystyle \langle p,r+PPS\rangle \leq c}$

Afirmar: . ${\displaystyle p\succ 0}$

Supongamos que no, entonces existe algo tal que . Entonces, si es suficientemente grande, pero también tenemos , contradicción. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle p_{n}<0}$ ${\displaystyle \langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+0-ke_{n}\in V}$

Tenemos por construcción , y . Ahora afirmamos: . ${\displaystyle \langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,V\rangle \leq c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Para cada hogar , sea el conjunto de planes de consumo para que son al menos tan buenos como , y sea el conjunto de planes de consumo para que son estrictamente mejores que . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Por no saciedad local de , el semiespacio cerrado contiene . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$

Por continuidad de , el semiespacio abierto contiene . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$

Sumándolos, encontramos que el semiespacio abierto contiene . ${\displaystyle \langle p,q\rangle >c}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Afirmación (Ley de Walras): ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Como la producción es alcanzable, tenemos , y como , tenemos . ${\displaystyle r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle p\succ 0}$ ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Por construcción del hiperplano separador, también tenemos , por lo tanto tenemos una igualdad. ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Afirmación: al precio , cada productor maximiza su beneficio en , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle y^{j}}$

Si existe algún plan de producción tal que un productor pueda alcanzar mayores ganancias , entonces ${\displaystyle y'^{j}}$ ${\displaystyle \langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle }$

$${\displaystyle \langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c}$$

pero entonces tendríamos un punto en el otro lado del hiperplano separador, violando nuestra construcción. ${\displaystyle r+PPS}$

Afirmación: a precio y presupuesto , el hogar maximiza la utilidad en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

De lo contrario, existe algo tal que y . Entonces, considere la cesta de consumo agregada . Está en , pero también satisface . Pero esto contradice la afirmación anterior de que . ${\displaystyle x'^{i}}$ ${\displaystyle x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Según la ley de Walras, la dotación total de ingresos y beneficios es exactamente igual al gasto total. Solo queda distribuirlos de manera que cada hogar reciba exactamente lo que le corresponde según su presupuesto. Esto es trivial. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$

He aquí un algoritmo codicioso para hacerlo: primero distribuya toda la dotación del producto 1 al hogar 1. Si el hogar 1 puede alcanzar su presupuesto antes de distribuirlo todo, entonces pase al hogar 2. De lo contrario, comience a distribuir toda la dotación del producto 2, y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las propiedades de los productores.

Convexidad vs convexidad estricta

Los supuestos de convexidad estricta pueden flexibilizarse y convertirse en convexidad. Esta modificación transforma las funciones de oferta y demanda de funciones puntuales en funciones de valores conjuntos (o "correspondencias"), y la aplicación del teorema del punto fijo de Brouwer en el teorema del punto fijo de Kakutani.

Esta modificación es similar a la generalización del teorema minimax a la existencia de equilibrios de Nash .

Los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar se mantienen sin modificaciones.

Equilibrio versus "cuasi-equilibrio"

La definición de equilibrio de mercado supone que cada hogar maximiza su utilidad, sujeto a restricciones presupuestarias. Es decir, el problema dual sería la minimización de costos sujeta a restricciones de utilidad. Es decir, para algún número real . La brecha de dualidad entre los dos problemas no es negativa y puede ser positiva. En consecuencia, algunos autores estudian el problema dual y las propiedades de su "cuasi-equilibrio" ^[14] (o "equilibrio compensado" ^[15] ). Todo equilibrio es un cuasi-equilibrio, pero lo inverso no es necesariamente cierto. ^[15] $${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$ ${\displaystyle u_{0}^{i}}$

Extensiones

Contabilización de la negociación estratégica

En el modelo, todos los productores y hogares son " tomadores de precios ", lo que significa que simplemente realizan transacciones en el mercado utilizando el vector de precios . En particular, no se modelan comportamientos como el cártel, el monopolio, la coalición de consumidores, etc. El teorema del límite de Edgeworth muestra que, bajo ciertos supuestos más fuertes, los hogares no pueden hacer nada mejor que aceptar precios en el límite de una economía infinitamente grande. ${\displaystyle p}$

Configuración

En detalle, continuamos con el modelo económico de los hogares y los productores, pero consideramos un método diferente de diseñar la producción y distribución de bienes que la economía de mercado. Puede interpretarse como un modelo de economía "socialista".

• No hay dinero, ni mercado, ni propiedad privada de los productores.
• Desde que hemos abolido la propiedad privada, el dinero y el afán de lucro, no tiene sentido distinguir a un productor de otro. Por consiguiente, en lugar de que cada productor planifique individualmente , es como si toda la sociedad tuviera un gran productor que produjera . ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle y\in PPS}$
• Los hogares siguen teniendo las mismas preferencias y dotaciones, pero ya no tienen presupuestos.
• Los productores no producen para maximizar sus ganancias, ya que no las hay. Todos los hogares se unen para crear un estado —un plan de producción y consumo para toda la economía— con las siguientes restricciones: ${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$ $${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• Cualquier subconjunto de hogares no vacío puede eliminar todos los demás hogares, conservando al mismo tiempo el control de los productores.

Esta economía es, pues, un juego cooperativo en el que cada hogar es un jugador, y tenemos los siguientes conceptos de la teoría de juegos cooperativos:

• Una coalición de bloqueo es un subconjunto no vacío de hogares, de modo que existe un plan estrictamente Pareto-mejor incluso si se eliminan todos los demás hogares.
• Un Estado es un Estado central si no hay coaliciones de bloqueo.
• El núcleo de una economía es el conjunto de estados centrales.

Dado que asumimos que cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás hogares, manteniendo al mismo tiempo el control de los productores, los únicos estados que pueden ser ejecutados son los estados centrales. Un estado que no sea un estado central sería inmediatamente objetado por una coalición de hogares.

Necesitamos una suposición más sobre , que es un cono , es decir, para cualquier . Esta suposición descarta dos formas en que la economía se vuelve trivial. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

• La maldición del almuerzo gratis: en este modelo, el todo está disponible para cualquier coalición no vacía, incluso una coalición de una sola persona. En consecuencia, si nadie tiene dotación alguna y, sin embargo, contiene algún "almuerzo gratis" , entonces (suponiendo que las preferencias sean monótonas) cada hogar querría quedarse con todo para sí mismo y, en consecuencia, no existe *ningún* estado central. Intuitivamente, la imagen del mundo es la de un comité de personas egoístas que vetan cualquier plan que no les dé todo el almuerzo gratis. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle y\succ 0}$ ${\displaystyle y}$
• El límite del crecimiento: Consideremos una sociedad con dos bienes: uno es el "trabajo" y el otro es el "alimento". Los hogares tienen como dotación únicamente el trabajo, pero sólo consumen alimentos. La ecuación parece una rampa con la parte superior plana. Por lo tanto, si se invierten entre 0 y 1.000 horas de trabajo, se obtienen entre 0 y 1.000 kg de alimentos, de forma lineal, pero si se invierte más trabajo, no se obtienen alimentos. Ahora supongamos que cada hogar está dotado con 1.000 horas de trabajo. Está claro que cada hogar bloquearía inmediatamente a todos los demás, ya que siempre es mejor que uno utilice todo el dinero para sí mismo. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$

Resultados principales (Debreu y Scarf, 1963)

Proposición  —  Los equilibrios de mercado son estados centrales.

Prueba

Defina el hiperplano de precios . Dado que es un hiperplano de soporte de , y es un cono convexo, el hiperplano de precios pasa por el origen. Por lo tanto . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle \langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0}$

Como es la ganancia total y cada productor puede obtener al menos cero ganancias (es decir, ), esto significa que la ganancia es exactamente cero para cada productor. En consecuencia, el presupuesto de cada hogar proviene exactamente de la venta de la dotación. ${\displaystyle \sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle 0\in PPS^{j}}$

$${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle }$$

Mediante la maximización de la utilidad, cada hogar ya está haciendo todo lo que podría. En consecuencia, tenemos . ${\displaystyle \langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle }$

En particular, para cualquier coalición y cualquier plan de producción que sea Pareto-mejor, tenemos ${\displaystyle I'\subset I}$ ${\displaystyle x'^{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle }$$y en consecuencia, el punto se encuentra por encima del hiperplano de precios, lo que lo hace inalcanzable. ${\displaystyle \sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}}$

En el artículo de Debreu y Scarf, definieron una forma particular de abordar una economía infinitamente grande, mediante la "replicación de hogares". Es decir, para cualquier número entero positivo , definir una economía en la que haya hogares que tengan exactamente el mismo conjunto de posibilidades de consumo y preferencias que el hogar . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$

Supongamos que representa el plan de consumo de la réplica -ésima del hogar . Defina un plan que sea equitativo si y solo si para cualquier y . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle k,k'\in K}$

En general, un estado sería bastante complejo y trataría a cada réplica de manera diferente. Sin embargo, los estados centrales son significativamente más simples: son equitativos y tratan a todas las réplicas por igual.

Proposición  —  Cualquier estado central es equitativo.

Prueba

Utilizamos el término "coalición de los desvalidos".

Consideremos un estado central . Definamos distribuciones promedio . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}}$

Es alcanzable, por eso lo tenemos. ${\displaystyle K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Supongamos que existe alguna desigualdad, es decir, alguna , entonces por convexidad de preferencias, tenemos , donde es el hogar peor tratado del tipo . ${\displaystyle x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle i}$

Ahora definamos la "coalición desfavorecida" que consiste en el hogar peor tratado de cada tipo, y proponen distribuir de acuerdo con . Esto es Pareto-mejor para la coalición, y como es cónica, también tenemos , por lo que el plan es alcanzable. Contradicción. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ ${\displaystyle PP}$ ${\displaystyle \sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

En consecuencia, al estudiar los estados centrales, es suficiente considerar un plan de consumo para cada tipo de hogar. Ahora, definamos como el conjunto de todos los estados centrales de la economía con réplicas por hogar. Es claro que , por lo que podemos definir el conjunto límite de estados centrales . ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

Hemos visto que contiene el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. Lo inverso es cierto bajo un supuesto adicional menor: ^[16] ${\displaystyle C}$

(Debreu y Scarf, 1963)  —  Si es un cono poligonal, o si cada tiene interior no vacío con respecto a , entonces es el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle C}$

La suposición de que es un cono poligonal, o que cada uno tiene un interior no vacío, es necesaria para evitar el problema técnico del "cuasi-equilibrio". Sin la suposición, sólo podemos demostrar que está contenido en el conjunto de cuasi-equilibrios. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle C}$

Contabilización de la no convexidad

El supuesto de que los conjuntos de posibilidades de producción son convexos es una restricción importante, ya que implica que no hay economías de escala. De manera similar, podemos considerar conjuntos de posibilidades de consumo y preferencias no convexos. En tales casos, las funciones de oferta y demanda pueden ser discontinuas con respecto al vector de precios, por lo que puede no existir un equilibrio general. ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

Sin embargo, podemos "convexificar" la economía, encontrar un equilibrio para ella, y entonces, por el teorema de Shapley-Folkman-Starr , es un equilibrio aproximado para la economía original.

En detalle, dada cualquier economía que satisfaga todos los supuestos dados, excepto la convexidad de y , definimos la "economía convexificada" como la misma economía, excepto que ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$ ${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$si y solo si . ${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

donde denota la envoltura convexa . ${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

Con esto, cualquier equilibrio general para la economía convexificada es también un equilibrio aproximado para la economía original. Es decir, si es un vector de precios de equilibrio para la economía convexificada, entonces ^[17] donde es la distancia euclidiana, y es cualquier límite superior en los radios internos de todos (ver la página sobre el teorema de Shapley–Folkman–Starr para la definición de radios internos). ${\displaystyle p^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

La economía convexificada puede no satisfacer los supuestos. Por ejemplo, el conjunto es cerrado, pero su envoltura convexa no lo es. Si se impone el supuesto adicional de que la economía convexificada también satisface los supuestos, se llega a la conclusión de que la economía original siempre tiene un equilibrio aproximado. ${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Contabilización del tiempo, el espacio y la incertidumbre

Los productos básicos del modelo Arrow-Debreu son completamente abstractos. Por lo tanto, aunque normalmente se lo representa como un mercado estático, se lo puede utilizar para modelar el tiempo, el espacio y la incertidumbre dividiendo un producto básico en varios, cada uno de ellos supeditado a un tiempo, lugar y estado del mundo determinados. Por ejemplo, las "manzanas" se pueden dividir en "manzanas en Nueva York en septiembre si hay naranjas disponibles" y "manzanas en Chicago en junio si no hay naranjas disponibles".

Dados algunos productos básicos, el mercado completo de Arrow-Debreu es un mercado en el que hay un producto separado para cada momento futuro, para cada lugar de entrega, para cada estado del mundo considerado, para cada producto básico.

En economía financiera, el término "Arrow-Debreu" se refiere más comúnmente a un título Arrow-Debreu . Un título Arrow-Debreu canónico es un título que paga una unidad de numerario si se alcanza un estado particular del mundo y cero en caso contrario (el precio de dicho título es el llamado " precio de estado "). Como tal, cualquier contrato de derivados cuyo valor de liquidación sea una función de un subyacente cuyo valor sea incierto en la fecha del contrato puede descomponerse como una combinación lineal de títulos Arrow-Debreu.

Desde el trabajo de Breeden y Lizenberger en 1978, ^[18] un gran número de investigadores han utilizado opciones para extraer precios de Arrow-Debreu para una variedad de aplicaciones en economía financiera . ^[19]

Contabilización de la existencia del dinero

Aquí no se ofrece ninguna teoría del dinero y se supone que la economía funciona sin la ayuda de un bien que sirva como medio de intercambio.

—  Gérard Debreu, Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico (1959)

Para el teórico puro, en la coyuntura actual, el aspecto más interesante y desafiante del dinero es que no puede encontrar cabida en una economía Arrow-Debreu. Esta circunstancia también debería tener una importancia considerable para los macroeconomistas, pero rara vez lo tiene.

—  Frank Hahn , Los fundamentos de la teoría monetaria (1987)

Por lo general, los economistas consideran que las funciones del dinero son las de unidad de cuenta, depósito de valor, medio de intercambio y patrón de pago diferido. Sin embargo, esto es incompatible con el mercado completo de Arrow-Debreu descrito anteriormente. En el mercado completo, solo hay una transacción única en el mercado "al comienzo de los tiempos". Después de eso, los hogares y los productores simplemente ejecutan sus producciones, consumos y entregas de mercancías planificadas hasta el final de los tiempos. En consecuencia, no hay ninguna utilidad para el almacenamiento de valor o medio de intercambio. Esto se aplica no solo al mercado completo de Arrow-Debreu, sino también a modelos (como aquellos con mercados de mercancías contingentes y contratos de seguros de Arrow) que difieren en forma, pero son matemáticamente equivalentes a él. ^[20]

Cálculo de equilibrios generales

Scarf (1967) ^[21] fue el primer algoritmo que calculó el equilibrio general. Véase Scarf (2018) ^[22] y Kubler (2012) ^[23] para obtener reseñas.

Número de equilibrios

Ciertas economías, en determinados vectores de dotación, pueden tener infinitos vectores de precios de equilibrio. Sin embargo, "genéricamente", una economía tiene sólo un número finito de vectores de precios de equilibrio. Aquí, "genéricamente" significa "en todos los puntos, excepto en un conjunto cerrado de medida de Lebesgue cero", como en el teorema de Sard . ^{[24] [25]}

Existen muchos teoremas de genericidad de este tipo. Un ejemplo es el siguiente: ^{[26] [27]}

Genericidad  —  Para cualquier distribución de dotación estrictamente positiva y cualquier vector de precios estrictamente positivo , defina el exceso de demanda como antes. ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$

Si en todo caso , ${\displaystyle p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$está bien definido,
• ${\displaystyle Z}$es diferenciable,
• ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$tiene , ${\displaystyle (N-1)}$

Entonces, para cualquier distribución de dotación genéricamente , solo hay un número finito de equilibrios . ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Prueba (boceto)

Defina la "variedad de equilibrio" como el conjunto de soluciones de . Por la ley de Walras, una de las restricciones es redundante. Por supuestos de que tiene rango , no hay más restricciones redundantes. Por lo tanto, la variedad de equilibrio tiene dimensión , que es igual al espacio de todas las distribuciones de dotaciones estrictamente positivas . ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$ ${\displaystyle (N-1)}$ ${\displaystyle N\times I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Por continuidad de , la proyección es cerrada. Por lo tanto, por el teorema de Sard, la proyección desde la variedad de equilibrio hasta es crítica solo en un conjunto de medida 0. Queda por comprobar que la preimagen de la proyección no es genéricamente solo discreta, sino también finita. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Véase también

• Modelo (economía)
• Mercados incompletos
• Mercado de intercambio Arrow-Debreu : un modelo de mercado más simple, en el que solo hay hogares (que pueden ser tanto compradores como vendedores), pero no hay productores.
• Mercado Fisher : un modelo de mercado aún más simple, en el que solo hay compradores; se da la cantidad total de cada producto y cada comprador viene solo con un presupuesto monetario.
• Lista de artículos sobre precios de activos
• Economía financiera § Economía subyacente

Referencias

1. Arrow, KJ; Debreu, G. (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva". Econometrica . 22 (3): 265–290. doi :10.2307/1907353. JSTOR  1907353.
2. McKenzie, Lionel W. (1954). "Sobre el equilibrio en el modelo de Graham del comercio mundial y otros sistemas competitivos". Econometrica . 22 (2): 147–161. doi :10.2307/1907539. JSTOR  1907539.
3. McKenzie, Lionel W. (1959). "Sobre la existencia de equilibrio general para una economía competitiva". Econometrica . 27 (1): 54–71. doi :10.2307/1907777. JSTOR  1907777.
4. Para una exposición de la prueba, véase Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics (2.ª ed.). Londres: Cambridge University Press. pp. 265–274. ISBN. 978-0-521-31498-5.
5. Düppe, Till; Weintraub, E. Roy (31 de diciembre de 2014). Encontrar el equilibrio. Princeton: Princeton University Press. doi :10.1515/9781400850129. ISBN 978-1-4008-5012-9.
6. Starr, Ross M. (2011). Teoría del equilibrio general: una introducción (2.ª edición). Cambridge University Press. ISBN 978-0521533867.
7. Arrow, KJ (1962). “Conferencias sobre la teoría del equilibrio competitivo”. Notas inéditas de conferencias presentadas en la Universidad Northwestern.
8. La técnica del mercado restringido se describe en (Starr 2011), Sección 18.2. La técnica se utilizó en la publicación original Arrow y Debreu (1954).
9. Starr, Ross M. (1969), "Cuasi-equilibrios en mercados con preferencias no convexas (Apéndice 2: El teorema de Shapley-Folkman, págs. 35-37)", Econometrica , 37 (1): 25-38, CiteSeerX 10.1.1.297.8498 , doi :10.2307/1909201, JSTOR  1909201 .
10. Starr, Ross M. (2008). "Teorema de Shapley-Folkman". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics . Vol. 4 (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 317–318. doi :10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
11. Uzawa, Hirofumi (1962). "Teorema de existencia de Walras y teorema del punto fijo de Brouwer".季刊 理論経済学. 13 (1): 59–62. doi :10.11398/economía1950.13.1_59.
12. (Starr 2011), Sección 18.4
13. (Starr 2011), Capítulo 19
14. Debreu, Gerard (1 de enero de 1959). Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico. Yale University Press. ISBN 978-0-300-01559-1.
15. Arrow, Kenneth J. (2007). Análisis general de la competencia. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-85497-1.OCLC 817224321  .
16. (Starr 2011) Teorema 22.2
17. (Starr 2011), Teorema 25.1
18. Breeden, Douglas T.; Litzenberger, Robert H. (1978). "Precios de derechos contingentes al Estado implícitos en precios de opciones". Journal of Business . 51 (4): 621–651. doi :10.1086/296025. JSTOR  2352653. S2CID  153841737.
19. Almeida, Caio; Vicente, José (2008). "¿Son importantes las opciones sobre tasas de interés para la evaluación del riesgo de interés?" (PDF) . Serie Documentos de Trabajo N.º 179, Banco Central de Brasil .
20. (Starr 2011) Ejercicio 20.15
21. Scarf, Herbert (septiembre de 1967). "La aproximación de puntos fijos de una aplicación continua". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 15 (5): 1328–1343. doi :10.1137/0115116. ISSN  0036-1399.
22. Scarf, Herbert E. (2018), "Cálculo de equilibrios generales", The New Palgrave Dictionary of Economics , Londres: Palgrave Macmillan UK, págs. 1973-1984, doi :10.1057/978-1-349-95189-5_451, ISBN 978-1-349-95188-8, consultado el 6 de enero de 2023
23. Kubler, Felix (2012), "Cálculo de equilibrios generales (nuevos desarrollos)", The New Palgrave Dictionary of Economics, versión 2012 , Basingstoke: Palgrave Macmillan, doi : 10.1057/9781137336583.0296, ISBN 9781137336583, consultado el 6 de enero de 2023
24. Debreu, Gérard (junio de 2000), "Stephen Smale y la teoría económica del equilibrio general", The Collected Papers of Stephen Smale , World Scientific Publishing Company, págs. 243-258, doi :10.1142/9789812792815_0025, ISBN 978-981-02-4991-5, consultado el 6 de enero de 2023
25. Smale, Steve (1981-01-01), "Capítulo 8 Análisis global y economía", Handbook of Mathematical Economics , vol. 1, Elsevier, págs. 331–370 , consultado el 6 de enero de 2023
26. Debreu, Gérard (diciembre de 1984). "Teoría económica en el modo matemático". Revista Escandinava de Economía . 86 (4): 393–410. doi :10.2307/3439651. ISSN  0347-0520. JSTOR  3439651.
27. (Starr 2011) Sección 26.3

Lectura adicional

• Athreya, Kartik B. (2013). "El enfoque macroeconómico moderno y el modelo Arrow-Debreu-McKenzie". Grandes ideas en macroeconomía: una visión no técnica . Cambridge: MIT Press. pp. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Geanakoplos, John (1987). "Modelo Arrow-Debreu de equilibrio general". The New Palgrave: A Dictionary of Economics . Vol. 1. págs. 116–124.
• Takayama, Akira (1985). Economía matemática (2.ª ed.). Londres: Cambridge University Press. pp. 255–284. ISBN. 978-0-521-31498-5.
• Düppe, Till (2012). "Arrow y Debreu deshomogeneizados". Revista de Historia del Pensamiento Económico . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . doi :10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

Enlaces externos

• Notas sobre el modelo Arrow-Debreu-McKenzie de una economía, Prof. Kim C. Border Instituto Tecnológico de California
• "El teorema fundamental" de las finanzas; parte II. Prof. Mark Rubinstein , Haas School of Business ^{[ enlace roto ]}