Teoremas de isomorfismo

Grupo de teoremas matemáticos

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , los teoremas de isomorfismo (también conocidos como teoremas de isomorfismo de Noether ) son teoremas que describen la relación entre cocientes , homomorfismos y subobjetos . Existen versiones de los teoremas para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , álgebras de Lie y otras estructuras algebraicas . En álgebra universal , los teoremas de isomorfismo se pueden generalizar al contexto de álgebras y congruencias .

Historia

Los teoremas de isomorfismo fueron formulados con cierta generalidad para homomorfismos de módulos por Emmy Noether en su artículo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , que se publicó en 1927 en Mathematische Annalen . Se pueden encontrar versiones menos generales de estos teoremas en el trabajo de Richard Dedekind y en artículos anteriores de Noether.

Tres años después, BL van der Waerden publicó su influyente Moderne Algebra , el primer libro de texto de álgebra abstracta que adoptó el enfoque de grupos - anillos - campos para el tema. Van der Waerden atribuyó las conferencias de Noether sobre teoría de grupos y de Emil Artin sobre álgebra, así como un seminario dirigido por Artin, Wilhelm Blaschke , Otto Schreier y el propio van der Waerden sobre ideales como las principales referencias. Los tres teoremas de isomorfismo, llamados teorema de homomorfismo , y dos leyes del isomorfismo cuando se aplican a grupos, aparecen explícitamente.

Grupos

Primero presentamos los teoremas de isomorfismo de los grupos .

Teorema A (grupos)

Diagrama del teorema fundamental sobre homomorfismos

Sean G y H grupos, y sea f  :  G  →  H un homomorfismo . Entonces:

1. El núcleo de f es un subgrupo normal de G ,
2. La imagen de f es un subgrupo de H , y
3. La imagen de f es isomorfa al grupo cociente G  / ker( f ).

En particular, si f es sobreyectiva entonces H es isomorfo a G  / ker( f ).

Este teorema se suele llamar el primer teorema de isomorfismo .

Teorema B (grupos)

Diagrama del teorema B4. Los dos grupos cocientes (punteados) son isomorfos.

Sea un grupo. Sea un subgrupo de y sea un subgrupo normal de . Entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. El producto es un subgrupo de , ${\displaystyle SN}$ ${\displaystyle G}$
2. El subgrupo es un subgrupo normal de , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$
3. La intersección es un subgrupo normal de , y ${\displaystyle S\cap N}$ ${\displaystyle S}$
4. Los grupos cocientes y son isomorfos. ${\displaystyle (SN)/N}$ ${\displaystyle S/(S\cap N)}$

Técnicamente, no es necesario que sea un subgrupo normal, siempre que sea un subgrupo del normalizador de en . En este caso, no es un subgrupo normal de , pero sigue siendo un subgrupo normal del producto . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$

Este teorema a veces se denomina teorema del segundo isomorfismo , ^[1] teorema del diamante ^[2] o teorema del paralelogramo . ^[3]

Una aplicación del segundo teorema de isomorfismo identifica grupos lineales proyectivos : por ejemplo, el grupo en la línea proyectiva compleja comienza con el establecimiento de , el grupo de matrices complejas invertibles 2 × 2 , , el subgrupo de matrices determinantes 1 y el subgrupo normal de matrices escalares , tenemos , donde es la matriz identidad , y . Entonces el segundo teorema de isomorfismo establece que: ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$ ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Teorema C (grupos)

Sea un grupo y un subgrupo normal de . Entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Si es un subgrupo de tal que , entonces tiene un subgrupo isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
2. Cada subgrupo de es de la forma para algún subgrupo de tal que . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. Si es un subgrupo normal de tal que , entonces tiene un subgrupo normal isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
4. Todo subgrupo normal de es de la forma para algún subgrupo normal de tal que . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. Si es un subgrupo normal de tal que , entonces el grupo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ ${\displaystyle G/K}$

El último enunciado se denomina a veces tercer teorema de isomorfismo . Los primeros cuatro enunciados suelen incluirse en el teorema D que aparece a continuación y se denominan teorema de red , teorema de correspondencia o cuarto teorema de isomorfismo .

Teorema D (grupos)

Sea un grupo y un subgrupo normal de . El homomorfismo de proyección canónica define una correspondencia biyectiva entre el conjunto de subgrupos de que contiene y el conjunto de (todos) los subgrupos de . Según esta correspondencia, los subgrupos normales corresponden a los subgrupos normales. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Este teorema a veces se denomina teorema de correspondencia , teorema de red y cuarto teorema de isomorfismo .

El lema de Zassenhaus (también conocido como lema de la mariposa) a veces se denomina el cuarto teorema de isomorfismo. ^[4]

Discusión

El primer teorema de isomorfismo puede expresarse en lenguaje teórico de categorías diciendo que la categoría de grupos es (epi normal, mono)-factorizable; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorización para la categoría . Esto se captura en el diagrama conmutativo en el margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia puede deducirse del morfismo . El diagrama muestra que cada morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido teórico de la categoría; el morfismo arbitrario f se factoriza en , donde ι es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría conormal , todos los epimorfismos son normales). Esto se representa en el diagrama por un objeto y un monomorfismo (los núcleos son siempre monomorfismos), que completan la corta secuencia exacta que va desde la parte inferior izquierda a la parte superior derecha del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos ahorra tener que dibujar los morfismos cero de a y . ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \iota \circ \pi }$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/\ker f}$

Si la secuencia está dividida por la derecha (es decir, hay un morfismo σ que se asigna a una π -preimagen de sí mismo), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal y el subgrupo . Si está dividida por la izquierda (es decir, existe alguno tal que ), entonces también debe estar dividida por la derecha, y es una descomposición en producto directo de G . En general, la existencia de una división por la derecha no implica la existencia de una división por la izquierda; pero en una categoría abeliana (como la de los grupos abelianos ), las divisiones por la izquierda y las divisiones por la derecha son equivalentes por el lema de división , y una división por la derecha es suficiente para producir una descomposición en suma directa . En una categoría abeliana, todos los monomorfismos también son normales, y el diagrama puede extenderse mediante una segunda secuencia exacta corta . ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

En el segundo teorema de isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en la red de subgrupos de G , mientras que la intersección S  ∩  N es el encuentro .

El tercer teorema de isomorfismo se generaliza mediante el noveno lema a categorías abelianas y mapas más generales entre objetos.

Nota sobre números y nombres

A continuación presentamos cuatro teoremas, denominados A, B, C y D. Suelen numerarse como "primer teorema de isomorfismo", "segundo...", etc. Sin embargo, no existe un acuerdo universal sobre la numeración. Aquí damos algunos ejemplos de teoremas de isomorfismo de grupos que aparecen en la literatura. Observe que estos teoremas tienen análogos para anillos y módulos.

Es menos común incluir el Teorema D, usualmente conocido como teorema de red o teorema de correspondencia , como uno de los teoremas de isomorfismo, pero cuando se incluye, es el último.

Anillos

Los enunciados de los teoremas para anillos son similares, con la noción de subgrupo normal reemplazada por la noción de ideal .

Teorema A (anillos)

Sean y anillos, y sea un homomorfismo de anillos . Entonces: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. El núcleo de es un ideal de , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R}$
2. La imagen de es un subanillo de , y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$
3. La imagen de es isomorfa al anillo cociente . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

En particular, si es sobreyectiva entonces es isomorfa a . ^[15] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

Teorema B (anillos)

Sea R un anillo. Sea S un subanillo de R y sea I un ideal de R. Entonces:

1. La suma S  +  I  = { s  +  i  |  s  ∈  S ,  i  ∈  I  } es un subanillo de R ,
2. La intersección S  ∩  I es un ideal de S , y
3. Los anillos cocientes ( S  +  I ) /  I y S  / ( S  ∩  I ) son isomorfos.

Teorema C (anillos)

Sea R un anillo, e I un ideal de R. Entonces

1. Si es un subanillo de tal que , entonces es un subanillo de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$
2. Cada subanillo de tiene la forma para algún subanillo de tal que . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. Si es un ideal de tal que , entonces es un ideal de . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle R/I}$
4. Todo ideal de es de la forma para algún ideal de tal que . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. Si es un ideal de tal que , entonces el anillo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ ${\displaystyle R/J}$

Teorema D (anillos)

Sea un ideal de . La correspondencia es una biyección que preserva la inclusión entre el conjunto de subanillos de que contienen y el conjunto de subanillos de . Además, (un subanillo que contiene ) es un ideal de si y solo si es un ideal de . ^[16] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$

Módulos

Los enunciados de los teoremas de isomorfismo para módulos son particularmente simples, ya que es posible formar un módulo cociente a partir de cualquier submódulo . Los teoremas de isomorfismo para espacios vectoriales (módulos sobre un cuerpo ) y grupos abelianos (módulos sobre ) son casos especiales de éstos. Para espacios vectoriales de dimensión finita , todos estos teoremas se siguen del teorema de rango-nulidad . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En lo sucesivo, "módulo" significará " R -módulo " para algún anillo fijo R.

Teorema A (módulos)

Sean M y N módulos, y sea φ  :  M  →  N un homomorfismo de módulo . Entonces:

1. El núcleo de φ es un submódulo de M ,
2. La imagen de φ es un submódulo de N , y
3. La imagen de φ es isomorfa al módulo cociente M  / ker( φ ).

En particular, si φ es sobreyectiva entonces N es isomorfo a M  / ker( φ ).

Teorema B (módulos)

Sea M un módulo, y S y T submódulos de M. Entonces:

1. La suma S  +  T  = { s  +  t  |  s  ∈  S ,  t  ∈  T } es un submódulo de M ,
2. La intersección S  ∩  T es un submódulo de M , y
3. Los módulos cocientes ( S  +  T ) /  T y S  / ( S  ∩  T ) son isomorfos.

Teorema C (módulos)

Sea M un módulo, T un submódulo de M.

1. Si es un submódulo de tal que , entonces es un submódulo de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle M/T}$
2. Cada submódulo de es de la forma para algún submódulo de tal que . ${\displaystyle M/T}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. Si es un submódulo de tal que , entonces el módulo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ ${\displaystyle M/S}$

Teorema D (módulos)

Sea un módulo, un submódulo de . Existe una biyección entre los submódulos de que contienen y los submódulos de . La correspondencia está dada por para todo . Esta correspondencia conmuta con los procesos de tomar sumas e intersecciones (es decir, es un isomorfismo reticular entre el retículo de submódulos de y el retículo de submódulos de que contienen ). ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ ${\displaystyle A\supseteq N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Álgebra universal

Para generalizar esto al álgebra universal , los subgrupos normales deben reemplazarse por relaciones de congruencia .

Una congruencia en un álgebra es una relación de equivalencia que forma una subálgebra de considerada como un álgebra con operaciones componente a componente. Se puede convertir el conjunto de clases de equivalencia en un álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones mediante representantes; esto estará bien definido ya que es una subálgebra de . La estructura resultante es el álgebra del cociente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\times A}$

Teorema A (álgebra universal)

Sea un homomorfismo de álgebra . Entonces la imagen de es una subálgebra de , la relación dada por (es decir, el núcleo de ) es una congruencia en , y las álgebras y son isomorfas . (Obsérvese que en el caso de un grupo, si y solo si , por lo que se recupera la noción de núcleo utilizada en la teoría de grupos en este caso). ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

Teorema B (álgebra universal)

Dada un álgebra , un subálgebra de , y una congruencia en , sea la traza de en y la colección de clases de equivalencia que intersecan . Entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$es una congruencia en , ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$es una subálgebra de , y ${\displaystyle A/\Phi }$
3. El álgebra es isomorfa al álgebra . ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

Teorema C (álgebra universal)

Sea un álgebra y dos relaciones de congruencia en tales que . Entonces es una congruencia en , y es isomorfa a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ ${\displaystyle A/\Psi }$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Teorema D (álgebra universal)

Sea un álgebra y denotemos el conjunto de todas las congruencias en . El conjunto es una red completa ordenada por inclusión. ^[18] Si es una congruencia y denotamos por el conjunto de todas las congruencias que contienen (es decir, es un filtro principal en , además es una subred), entonces la función es un isomorfismo de red. ^{[19] [20]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

Notas

1. Milne (2013), Cap. 1, sec. Teoremas sobre homomorfismos
2. I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pág. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
3. Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pág. 245. ISBN 978-0-471-87731-8.
4. Wilson, Robert A. (2009). Los grupos finitos simples . Textos de posgrado en matemáticas 251. Vol. 251. Springer-Verlag Londres. p. 7. doi :10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
5. Jacobson (2009), sección 1.10
6. van der Waerden, Álgebra (1994).
7. Durbin (2009), sección 54
8. [los nombres son] esencialmente los mismos que [van der Waerden 1994] ^[7]
9. Knapp (2016), sección IV 2
10. Grillet (2007), sección I 5
11. Rotman (2003), sección 2.6
12. Fraleigh (2003), cap. 14, 34
13. Dummit, David Steven (2004). Álgebra abstracta. Richard M. Foote (tercera edición). Hoboken, NJ. pp. 97–98. ISBN 0-471-43334-9.OCLC 52559229  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Scott (1964), secciones 2.2 y 2.3
15. Moy, Samuel (2022). "Introducción a la teoría de extensiones de campo" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Chicago . Consultado el 20 de diciembre de 2022 .
16. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pág. 246. ISBN. 978-0-471-43334-7.
17. Dummit y Foote (2004), pág. 349
18. Burris y Sankappanavar (2012), pág. 37
19. Burris y Sankappanavar (2012), pág. 49
20. Sun, William. "¿Existe una forma general del teorema de correspondencia?". Mathematics StackExchange . Consultado el 20 de julio de 2019 .

Referencias

• Noether, Emmy , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) págs.
• McLarty, Colin, "La topología 'teórica de conjuntos' de Emmy Noether: desde Dedekind hasta el surgimiento de los funtores". La arquitectura de las matemáticas modernas: ensayos de historia y filosofía (editado por Jeremy Gray y José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 1 (2.ª ed.), Dover, ISBN 9780486471891
• Cohn, Paul M., Álgebra universal , Capítulo II.3 pág. 57
• Milne, James S. (2013), Teoría de grupos, 3.13
• van der Waerden, BI (1994), Álgebra , vol. 1 (9 ed.), Springer-Verlag
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Scott, WR (1964), Teoría de grupos , Prentice Hall
• Durbin, John R. (2009). Álgebra moderna: una introducción (6.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Knapp, Anthony W. (2016), Álgebra básica (segunda edición digital)
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta (2 ed.), Springer
• Rotman, Joseph J. (2003), Álgebra moderna avanzada (2.ª ed.), Prentice Hall, ISBN 0130878685
• Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra (Textos de posgrado en matemáticas, 73) , Springer, ISBN 0387905189