Superficie cúbica

En matemáticas , una superficie cúbica es una superficie en un espacio tridimensional definida por una ecuación polinómica de grado 3. Las superficies cúbicas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica al trabajar en el espacio proyectivo en lugar del espacio afín , por lo que las superficies cúbicas generalmente se consideran en el espacio proyectivo tridimensional . La teoría también se vuelve más uniforme al centrarse en superficies sobre números complejos en lugar de números reales ; tenga en cuenta que una superficie compleja tiene dimensión real 4. Un ejemplo simple es la superficie cúbica de Fermat . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

en . Muchas propiedades de las superficies cúbicas se aplican de manera más general a las superficies de Del Pezzo . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Una superficie cúbica lisa (la superficie Clebsch)

Racionalidad de superficies cúbicas

Una característica central de las superficies cúbicas suaves X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es que todas son racionales , como lo demostró Alfred Clebsch en 1866. ^[1] Es decir, existe una correspondencia biunívoca definida por funciones racionales entre el plano proyectivo menos un subconjunto de menor dimensión y X menos un subconjunto de menor dimensión. De manera más general, toda superficie cúbica irreducible (posiblemente singular) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional a menos que sea el cono proyectivo sobre una curva cúbica. ^[2] En este sentido, las superficies cúbicas son mucho más simples que las superficies suaves de grado al menos 4 en , que nunca son racionales. En la característica cero, las superficies suaves de grado al menos 4 en ni siquiera están unirregladas . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Más firmemente, Clebsch demostró que cada superficie cúbica suave en sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es isomorfa a la explosión de en 6 puntos. ^[4] Como resultado, cada superficie cúbica suave sobre los números complejos es difeomorfa a la suma conexa , donde el signo menos se refiere a un cambio de orientación . Por el contrario, la explosión de en 6 puntos es isomorfa a una superficie cúbica si y solo si los puntos están en posición general, lo que significa que no hay tres puntos en una línea y los 6 no se encuentran en una cónica . Como una variedad compleja (o una variedad algebraica ), la superficie depende de la disposición de esos 6 puntos. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

27 líneas en una superficie cúbica

La mayoría de las pruebas de racionalidad para superficies cúbicas comienzan por encontrar una línea en la superficie. (En el contexto de la geometría proyectiva, una línea en es isomorfa a ). Más precisamente, Arthur Cayley y George Salmon demostraron en 1849 que cada superficie cúbica suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado contiene exactamente 27 líneas. ^[5] Esta es una característica distintiva de las cúbicas: una superficie cuadrática suave (grado 2) está cubierta por una familia continua de líneas, mientras que la mayoría de las superficies de grado al menos 4 en no contienen líneas. Otra técnica útil para encontrar las 27 líneas implica el cálculo de Schubert que calcula el número de líneas utilizando la teoría de intersección del Grassmanniano de líneas en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

A medida que varían los coeficientes de una superficie cúbica compleja suave, las 27 líneas se mueven continuamente. Como resultado, un bucle cerrado en la familia de superficies cúbicas suaves determina una permutación de las 27 líneas. El grupo de permutaciones de las 27 líneas que surge de esta manera se llama grupo de monodromía de la familia de superficies cúbicas. Un descubrimiento notable del siglo XIX fue que el grupo de monodromía no es trivial ni todo el grupo simétrico ; es un grupo de orden 51840 , que actúa transitivamente sobre el conjunto de líneas. ^[4] Este grupo fue reconocido gradualmente (por Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) y Patrick du Val (1936)) como el grupo de Weyl de tipo , un grupo generado por reflexiones sobre un espacio vectorial real de 6 dimensiones, relacionado con el grupo de Lie de dimensión 78. ^[4] ${\displaystyle S_{27}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

El mismo grupo de orden 51840 puede describirse en términos combinatorios, como el grupo de automorfismos del grafo de las 27 líneas, con un vértice para cada línea y una arista siempre que dos líneas se encuentran. ^[6] Este grafo fue analizado en el siglo XIX utilizando subgrafos como la configuración doble seis de Schläfli . El grafo complementario (con una arista siempre que dos líneas son disjuntas) se conoce como grafo de Schläfli .

El gráfico de Schläfli

Muchos problemas sobre superficies cúbicas pueden resolverse utilizando la combinatoria del sistema raíz . Por ejemplo, las 27 líneas pueden identificarse con los pesos de la representación fundamental del grupo de Lie . Los posibles conjuntos de singularidades que pueden ocurrir en una superficie cúbica pueden describirse en términos de subsistemas del sistema raíz. ^[7] Una explicación para esta conexión es que la red surge como el complemento ortogonal a la clase anticanónica en el grupo de Picard , con su forma de intersección (que proviene de la teoría de intersección de curvas en una superficie). Para una superficie cúbica compleja suave, la red de Picard también puede identificarse con el grupo de cohomología . ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$

Un punto de Eckardt es un punto en el que se cruzan 3 de las 27 líneas. La mayoría de las superficies cúbicas no tienen un punto de Eckardt, pero estos puntos aparecen en un subconjunto de codimensión -1 de la familia de todas las superficies cúbicas lisas. ^[8]

Dada una identificación entre una superficie cúbica en X y la explosión de en 6 puntos en posición general, las 27 líneas en X pueden verse como: las 6 curvas excepcionales creadas por la explosión, las transformaciones biracionales de las 15 líneas a través de pares de los 6 puntos en , y las transformaciones biracionales de las 6 cónicas que contienen todos menos uno de los 6 puntos. ^[9] Una superficie cúbica dada puede verse como una explosión de en más de una forma (de hecho, de 72 formas diferentes), por lo que una descripción como una explosión no revela la simetría entre las 27 líneas. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

La relación entre las superficies cúbicas y el sistema de raíces se generaliza a una relación entre todas las superficies de Del Pezzo y los sistemas de raíces. Esta es una de las muchas clasificaciones ADE en matemáticas. Siguiendo estas analogías, Vera Serganova y Alexei Skorobogatov dieron una relación geométrica directa entre las superficies cúbicas y el grupo de Lie . ^[10] ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

En física, las 27 líneas se pueden identificar con las 27 cargas posibles de la teoría M en un toro de seis dimensiones (6 momentos; 15 membranas ; 6 cincobranas ) y el grupo E6 _actúa entonces naturalmente como el grupo de dualidad U. Este mapa entre las superficies de Del Pezzo y la teoría M en toros se conoce como dualidad misteriosa .

Superficies cúbicas especiales

La superficie cúbica compleja suave con el grupo de automorfismos más grande es la superficie cúbica de Fermat, definida por ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Su grupo de automorfismos es una extensión , de orden 648. ^[11] ${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$

La siguiente superficie cúbica suave más simétrica es la superficie Clebsch , que se puede definir mediante las dos ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo simétrico , de orden 120. Después de un cambio lineal complejo de coordenadas, la superficie de Clebsch también se puede definir mediante la ecuación ${\displaystyle S_{5}}$

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Superficie cúbica nodal de Cayley

Entre las superficies cúbicas complejas singulares, la superficie cúbica nodal de Cayley es la única superficie con el número máximo de nodos , 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Su grupo de automorfismo es , de orden 24. ${\displaystyle S_{4}}$

Superficies cúbicas reales

A diferencia del caso complejo, el espacio de superficies cúbicas suaves sobre los números reales no está conexo en la topología clásica (basada en la topología de R ). Sus componentes conexos (en otras palabras, la clasificación de superficies cúbicas reales suaves hasta la isotopía ) fueron determinados por Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) y HG Zeuthen (1875). ^[12] Es decir, hay 5 clases de isotopía de superficies cúbicas reales suaves X en , que se distinguen por la topología del espacio de puntos reales . El espacio de puntos reales es difeomorfo a , o a la unión disjunta de y la 2-esfera, donde denota la suma conexa de r copias del plano proyectivo real . En consecuencia, el número de líneas reales contenidas en X es 27, 15, 7, 5 o 3. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$

Una superficie cúbica real suave es racional sobre R si y sólo si su espacio de puntos reales está conexo, es decir, en los primeros cuatro de los cinco casos anteriores. ^[13]

El número promedio de líneas reales en X es ^[14] cuando el polinomio definitorio de X se muestrea aleatoriamente del conjunto gaussiano inducido por el producto interno de Bombieri . ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$

El espacio de módulos de superficies cúbicas

Dos superficies cúbicas lisas son isomorfas como variedades algebraicas si y solo si son equivalentes por algún automorfismo lineal de . La teoría de invariantes geométricos proporciona un espacio de módulos de superficies cúbicas, con un punto para cada clase de isomorfismo de superficies cúbicas lisas. Este espacio de módulos tiene dimensión 4. Más precisamente, es un subconjunto abierto del espacio proyectivo ponderado P(12345), de Salmon y Clebsch (1860). En particular, es un cuadruple racional. ^[15] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

El cono de curvas

Las líneas en una superficie cúbica X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado pueden describirse intrínsecamente, sin referencia a la incrustación de X en : son exactamente las (−1)-curvas en X , es decir, las curvas isomorfas a las que tienen autointersección −1. Además, las clases de líneas en la red de Picard de X (o equivalentemente el grupo de clases divisor ) son exactamente los elementos u de Pic( X ) tales que y . (Esto utiliza que la restricción del fibrado de líneas del hiperplano O(1) sobre X es el fibrado de líneas anticanónico , por la fórmula de adjunción ). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle u^{2}=-1}$ ${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$

Para cualquier variedad proyectiva X , el cono de curvas significa el cono convexo abarcado por todas las curvas en X (en el espacio vectorial real de 1-ciclos módulo equivalencia numérica, o en el grupo de homología si el cuerpo base son los números complejos). Para una superficie cúbica, el cono de curvas está abarcado por las 27 líneas. ^[16] En particular, es un cono poliédrico racional en con un gran grupo de simetría, el grupo de Weyl de . Existe una descripción similar del cono de curvas para cualquier superficie de del Pezzo. ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

Superficies cúbicas sobre un campo

Una superficie cúbica suave X sobre un cuerpo k que no es algebraicamente cerrado no necesita ser racional sobre k . Como caso extremo, hay superficies cúbicas suaves sobre los números racionales Q (o los números p-ádicos ) sin puntos racionales , en cuyo caso X ciertamente no es racional. ^[17] Si X ( k ) no está vacío, entonces X es al menos uniracional sobre k , por Beniamino Segre y János Kollár . ^[18] Para k infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de puntos k -racionales es denso de Zariski en X . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$

El grupo absoluto de Galois de k permuta las 27 líneas de X sobre el cierre algebraico de k (a través de algún subgrupo del grupo de Weyl de ). Si alguna órbita de esta acción consiste en líneas disjuntas, entonces X es la explosión de una superficie de Del Pezzo "más simple" sobre k en un punto cerrado. De lo contrario, X tiene número de Picard 1. (El grupo de Picard de X es un subgrupo del grupo geométrico de Picard ). En el último caso, Segre demostró que X nunca es racional. Más firmemente, Yuri Manin demostró un enunciado de rigidez biracional: dos superficies cúbicas suaves con número de Picard 1 sobre un cuerpo perfecto k son biracionales si y solo si son isomorfas. ^[19] Por ejemplo, estos resultados dan muchas superficies cúbicas sobre Q que son uniracionales pero no racionales. ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$

Superficies cúbicas singulares

A diferencia de las superficies cúbicas suaves que contienen 27 líneas, las superficies cúbicas singulares contienen menos líneas. ^[20] Además, se pueden clasificar por el tipo de singularidad que surge en su forma normal. Estas singularidades se clasifican utilizando diagramas de Dynkin .

Clasificación

Se dice que una superficie cúbica singular normal en con coordenadas locales está en forma normal si está dada por . Dependiendo del tipo de singularidad que contenga, es isomorfa a la superficie proyectiva en dada por donde son como en la tabla siguiente. Eso significa que podemos obtener una clasificación de todas las superficies cúbicas singulares. Los parámetros de la siguiente tabla son los siguientes: son tres elementos distintos de , los parámetros están en y es un elemento de . Observe que hay dos superficies cúbicas singulares diferentes con singularidad . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$ ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\displaystyle d,e}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

En forma normal, siempre que una superficie cúbica contenga al menos una singularidad, tendrá una singularidad en . ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle [0:0:0:1]}$

Líneas sobre superficies cúbicas singulares

Según la clasificación de superficies cúbicas singulares, la siguiente tabla muestra el número de líneas que contiene cada superficie.

Grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros

Un automorfismo de una superficie cúbica singular normal es la restricción de un automorfismo del espacio proyectivo a . Tales automorfismos conservan los puntos singulares. Además, no permutan singularidades de diferentes tipos. Si la superficie contiene dos singularidades del mismo tipo, el automorfismo puede permutarlas. La colección de automorfismos en una superficie cúbica forma un grupo , el llamado grupo de automorfismos . La siguiente tabla muestra todos los grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Superficie algebraica
• Clasificación Enriques-Kodaira
• Variedad Fano
• Cálculo de Schubert

Notas

1. Reid (1988), Corolario 7.4.
2. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejemplo 1.28.
3. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.59.
4. Dolgachev (2012), Capítulo 9, Notas históricas.
5. Reid (1988), sección 7.6.
6. Hartshorne (1997), Ejercicio V.4.11.
7. Bruce y Wall (1979), sección 4; Dolgachev (2012), Tabla 9.1.
8. Dolgachev (2012), sección 9.1.4.
9. Hartshorne (1997), Teorema V.4.9.
10. Serganova y Skorobogatov (2007).
11. Dolgachev (2012), Tabla 9.6.
12. Degtyarev y Kharlamov (2000), sección 3.5.2. Los distintos tipos de superficies cúbicas reales y las líneas que las forman se muestran en Holzer & Labs (2006).
13. Silhol (1989), sección VI.5.
14. Basu, S.; Lerario, A.; Lundberg, E.; Peterson, C. (2019). "Campos aleatorios y geometría enumerativa de líneas en hipersuperficies reales y complejas". Mathematische Annalen . 374 (3–4): 1773–1810. arXiv : 1610.01205 . doi :10.1007/s00208-019-01837-0. S2CID  253717173.
15. Dolgachev (2012), ecuación (9.57).
16. Hartshorne (1997), Teorema V.4.11.
17. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.29.
18. Kollár, Smith, Corti (2004), Teoremas 1.37 y 1.38.
19. Kollár, Smith, Corti (2004), Teoremas 2.1 y 2.2.
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Referencias

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Enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Superficie cúbica", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Líneas en una superficie cúbica de Ryan Hoban (Laboratorio de Geometría Experimental de la Universidad de Maryland), basado en el trabajo de William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
• El DVD de superficies cúbicas (54 animaciones de superficies cúbicas, descargables por separado o como DVD)