Orden cíclico

En matemáticas , un orden cíclico es una forma de organizar un conjunto de objetos en un círculo . ^[nb] A diferencia de la mayoría de las estructuras en la teoría del orden , un orden cíclico no se modela como una relación binaria , como " $a < b$ ". No se dice que el este es "más en el sentido de las agujas del reloj" que el oeste. En cambio, un orden cíclico se define como una relación ternaria $[a, b, c]$ , lo que significa "después de $a$ , se llega $a b$ antes que $a c$ ". Por ejemplo, [junio, octubre, febrero], pero no [junio, febrero, octubre], cf. imagen. Una relación ternaria se llama orden cíclico si es cíclica, asimétrica, transitiva y conexa. Si se omite el requisito de "conexo", se obtiene un orden cíclico parcial .

Un conjunto con un orden cíclico se denomina conjunto cíclicamente ordenado o simplemente ciclo . ^[nb] Algunos ciclos conocidos son discretos, ya que tienen solo un número finito de elementos : hay siete días de la semana , cuatro direcciones cardinales , doce notas en la escala cromática y tres jugadas en piedra, papel o tijera . En un ciclo finito, cada elemento tiene un "elemento siguiente" y un "elemento anterior". También hay órdenes cíclicos con infinitos elementos, como el círculo unitario orientado en el plano.

Los órdenes cíclicos están estrechamente relacionados con los órdenes lineales más conocidos , que organizan los objetos en una línea . Cualquier orden lineal se puede doblar en un círculo, y cualquier orden cíclico se puede cortar en un punto, lo que da como resultado una línea. Estas operaciones, junto con las construcciones relacionadas de intervalos y mapas de recubrimiento, significan que las preguntas sobre los órdenes cíclicos a menudo se pueden transformar en preguntas sobre los órdenes lineales. Los ciclos tienen más simetrías que los órdenes lineales, y a menudo ocurren naturalmente como residuos de estructuras lineales, como en los grupos cíclicos finitos o la línea proyectiva real .

Ciclos finitos

Un orden cíclico en un conjunto $X$ con $n$ elementos es como una disposición de $X$ en la esfera de un reloj, para un reloj $de n horas. Cada elemento$ $x$ en $X$ tiene un "elemento siguiente" y un "elemento anterior", y al tomar sucesores o predecesores se realiza un ciclo exactamente una vez a través de los elementos como $x (1), x (2), ..., x (n)$ .

Hay algunas formas equivalentes de enunciar esta definición. Un orden cíclico en $X$ es lo mismo que una permutación que convierte a todo $X$ en un solo ciclo , que es un tipo especial de permutación: una permutación circular . Alternativamente, un ciclo con $n$ elementos también es un $Z n$ - torsor : un conjunto con una acción transitiva libre por un grupo cíclico finito . ^[1] Otra formulación es convertir $a X$ en el gráfico de ciclo dirigido estándar en $n$ vértices, mediante alguna coincidencia de elementos con vértices.

Puede ser instintivo utilizar órdenes cíclicos para funciones simétricas , por ejemplo como en

xy + yz + zx

donde escribir el monomio final como $xz$ distraería del patrón.

Un uso sustancial de los órdenes cíclicos es en la determinación de las clases de conjugación de grupos libres . Dos elementos $g$ y $h$ del grupo libre $F$ en un conjunto $Y$ son conjugados si y solo si, cuando se escriben como productos de elementos $y$ e $y -1$ con $y$ en $Y$ , y luego esos productos se colocan en orden cíclico, los órdenes cíclicos son equivalentes bajo las reglas de reescritura que permiten eliminar o agregar $y e$ $y$ −1 $adyacentes$ .

Un orden cíclico en un conjunto $X$ puede determinarse mediante un orden lineal en $X$ , pero no de forma única. Elegir un orden lineal es equivalente a elegir un primer elemento, por lo que hay exactamente $n$ órdenes lineales que inducen un orden cíclico dado. Como hay $n!$ órdenes lineales posibles (como en permutaciones ), hay $(n - 1)!$ órdenes cíclicos posibles (como en permutaciones circulares ).

Definiciones

Un conjunto infinito también puede ordenarse cíclicamente. Ejemplos importantes de ciclos infinitos incluyen el círculo unitario , $S 1$ , y los números racionales , $Q$ . La idea básica es la misma: ordenamos los elementos del conjunto alrededor de un círculo. Sin embargo, en el caso infinito no podemos confiar en una relación de sucesor inmediato, porque los puntos pueden no tener sucesores. Por ejemplo, dado un punto en el círculo unitario, no hay un "próximo punto". Tampoco podemos confiar en una relación binaria para determinar cuál de dos puntos viene "primero". Viajando en el sentido de las agujas del reloj en un círculo, ni el este ni el oeste vienen primero, sino que cada uno sigue al otro.

En su lugar, utilizamos una relación ternaria que denota que los elementos $a$ , $b$ , $c$ aparecen uno después del otro (no necesariamente inmediatamente) a medida que recorremos el círculo. Por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj, [este, sur, oeste]. Al currar los argumentos de la relación ternaria $[a, b, c]$ , se puede pensar en un orden cíclico como una familia de un parámetro de relaciones de orden binario, llamadas cortes , o como una familia de dos parámetros de subconjuntos de $K$ , llamados intervalos .

La relación ternaria

La definición general es la siguiente: un orden cíclico en un conjunto $X$ es una relación $C \subset X 3$ , escrita $[a, b, c]$ , que satisface los siguientes axiomas: ^[nb]

Ciclicidad: Si $[a, b, c]$ entonces $[b, c, a]$
Asimetría: Si $[a, b, c]$ entonces no $[c, b, a]$
Transitividad: Si $[a, b, c]$ y $[a, c, d]$ entonces $[a, b, d]$
Conectividad: si $a$ , $b$ y $c$ son distintos, entonces $[a, b, c]$ o $[c, b, a]$

Los axiomas se nombran por analogía con los axiomas de asimetría , transitividad y conexidad para una relación binaria, que juntos definen un orden lineal estricto . Edward Huntington (1916, 1924) consideró otras posibles listas de axiomas, incluida una lista que pretendía enfatizar la similitud entre un orden cíclico y una relación de intermediación . Una relación ternaria que satisface los primeros tres axiomas, pero no necesariamente el axioma de totalidad, es un orden cíclico parcial .

Rodamientos y cortes

Dado un orden lineal $<$ en un conjunto $X$ , el orden cíclico en $X$ inducido por $<$ se define como sigue: ^[2]

[a, b, c]

si y sólo si

a < b < c

b < c < a

c < a < b

Dos órdenes lineales inducen el mismo orden cíclico si pueden transformarse entre sí mediante un reordenamiento cíclico, como al cortar una baraja de cartas . ^[3] Se puede definir una relación de orden cíclico como una relación ternaria que es inducida por un orden lineal estricto como el anterior. ^[4]

Al eliminar un único punto de un orden cíclico se obtiene un orden lineal. Más precisamente, dado un conjunto cíclico ordenado , cada elemento define un orden lineal natural en el resto del conjunto, , mediante la siguiente regla: ^[5] $(K,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])$ $a\en K$ $<_{a}$ $K\setminus \{a\}$

Estilo de visualización x<_{a}y

si y sólo si .

[a,x,y]

Además, se puede extender mediante la unión como elemento menor; el orden lineal resultante en se denomina corte principal con elemento menor . Asimismo, la unión como elemento mayor da como resultado un corte . ^[6] $<_{a}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización a}$ $<^{a}$

Intervalos

Dados dos elementos , el intervalo abierto de a , escrito , es el conjunto de todos los elementos tales que . El sistema de intervalos abiertos define completamente el orden cíclico y puede utilizarse como una definición alternativa de una relación de orden cíclico. ^[7] $a\neq b\in K$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización (a,b)}$ $x\en K$ ${\estilo de visualización [a,x,b]}$

Un intervalo tiene un orden lineal natural dado por . Se pueden definir intervalos semicerrados y cerrados , , y mediante la unión como elemento menor y/o como elemento mayor . ^[8] Como caso especial, el intervalo abierto se define como el corte . ${\estilo de visualización (a,b)}$ $<_{a}$ ${\estilo de visualización [a,b)}$ ${\estilo de visualización (a,b]}$ ${\estilo de visualización [a,b]}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización (a,a)}$ $K\setmenos a$

De manera más general, un subconjunto propio de se denomina convexo si contiene un intervalo entre cada par de puntos: para , o también deben estar en . ^[9] Un conjunto convexo está ordenado linealmente por el corte para cualquier no en el conjunto; este orden es independiente de la elección de . ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización K}$ $a\neq b\in S$ ${\estilo de visualización (a,b)}$ ${\estilo de visualización (b,a)}$ ${\estilo de visualización S}$ $estilo de visualización <_{x}}$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización x}$

Automorfismos

Como un círculo tiene un orden en el sentido de las agujas del reloj y un orden en el sentido contrario, cualquier conjunto con un orden cíclico tiene dos sentidos . Una biyección del conjunto que conserva el orden se llama correspondencia ordenada . Si el sentido se mantiene como antes, es una correspondencia directa , de lo contrario se llama correspondencia opuesta . ^[10] Coxeter utiliza una relación de separación para describir el orden cíclico, y esta relación es lo suficientemente fuerte como para distinguir los dos sentidos del orden cíclico. Los automorfismos de un conjunto cíclicamente ordenado pueden identificarse con C ₂ , el grupo de dos elementos, de correspondencias directas y opuestas.

Funciones monótonas

La idea de "orden cíclico = disposición en un círculo" funciona porque cualquier subconjunto de un ciclo es en sí mismo un ciclo. Para utilizar esta idea para imponer órdenes cíclicos a conjuntos que no son en realidad subconjuntos del círculo unitario en el plano, es necesario considerar funciones entre conjuntos.

Una función entre dos conjuntos ordenados cíclicamente, $f : X \to Y$ , se denomina función monótona u homomorfismo si revierte el ordenamiento en $Y$ : siempre que $[f (a), f (b), f (c)]$ , se tiene $[a, b, c]$ . De manera equivalente, $f$ es monótona si siempre que $[a, b, c]$ y $f (a), f (b)$ y $f (c)$ son todos distintos, entonces $[f (a), f (b), f (c)]$ . Un ejemplo típico de una función monótona es la siguiente función en el ciclo con 6 elementos:

f (0) = f (1) = 4,

f (2) = f (3) = 0,

f (4) = f (5) = 1.

Una función se denomina incrustación si es tanto monótona como inyectiva . ^[nb] De manera equivalente, una incrustación es una función que empuja hacia adelante el ordenamiento en $X$ : siempre que $[a, b, c]$ , uno tiene $[f (a), f (b), f (c)]$ . Como ejemplo importante, si $X$ es un subconjunto de un conjunto cíclicamente ordenado $Y$ , y $a X$ se le da su ordenamiento natural, entonces la función de inclusión $i : X \to Y$ es una incrustación.

Generalmente, una función inyectiva $f$ de un conjunto desordenado $X$ a un ciclo $Y$ induce un orden cíclico único en $X$ que hace que $f$ sea una incrustación.

Funciones sobre conjuntos finitos

Un orden cíclico en un conjunto finito $X$ puede determinarse mediante una inyección en el círculo unitario, $X \to S 1$ . Hay muchas funciones posibles que inducen el mismo orden cíclico; de hecho, infinitas. Para cuantificar esta redundancia, se necesita un objeto combinatorio más complejo que un simple número. Examinar el espacio de configuración de todos estos mapas conduce a la definición de un politopo de dimensión $(n - 1)$ conocido como cicloedro . Los cicloedros se aplicaron primero al estudio de invariantes de nudos ; ^[11] más recientemente se han aplicado a la detección experimental de genes expresados periódicamente en el estudio de relojes biológicos . ^[12]

La categoría de homomorfismos de los ciclos finitos estándar se denomina categoría cíclica ; puede utilizarse para construir la homología cíclica de Alain Connes .

Se puede definir un grado de una función entre ciclos, de forma análoga al grado de una aplicación continua . Por ejemplo, la aplicación natural del círculo de quintas al círculo cromático es una aplicación de grado 7. También se puede definir un número de rotación .

Terminación

Un corte con un elemento menor y un elemento mayor se llama salto . Por ejemplo, cada corte de un ciclo finito $Z n$ es un salto. Un ciclo sin saltos se llama denso . ^[13]^[14]
Un corte que no tiene ni un elemento menor ni un elemento mayor se llama hueco . Por ejemplo, los números racionales $Q$ tienen un hueco en cada número irracional. También tienen un hueco en el infinito, es decir, el orden habitual. Un ciclo sin huecos se llama completo . ^[15]^[14]
Un corte con exactamente un punto final se denomina corte principal o de Dedekind . Por ejemplo, cada corte del círculo $S 1$ es un corte principal. Un ciclo en el que cada corte es principal, al ser denso y completo, se denomina continuo . ^[16]^[14]

El conjunto de todos los cortes está ordenado cíclicamente por la siguiente relación: $[< 1, < 2, < 3]$ si y sólo si existen $x, y, z$ tales que: ^[17]

x < 1 y < 1 z

x < 1

y < 2 z < 2 x

, y

x < 1 y < 1

z < 3 x < 3 y

Un cierto subconjunto de este ciclo de recortes es la finalización por parte de Dedekind del ciclo original.

Construcciones posteriores

Desenrollado y cubiertas

Partiendo de un conjunto ordenado cíclicamente $K$ , se puede formar un orden lineal desenrollándolo a lo largo de una línea infinita. Esto captura la noción intuitiva de llevar un registro de cuántas veces se da una vuelta al círculo. Formalmente, se define un orden lineal sobre el producto cartesiano $Z \times K$ , donde $Z$ es el conjunto de números enteros , fijando un elemento $a$ y exigiendo que para todo $i$ : ^[18]

[a, x, y]

, entonces

a i < x i < y i < a i +1

Por ejemplo, los meses de enero de 2024, mayo de 2024, septiembre de 2024 y enero de 2025 ocurren en ese orden.

Este orden de $Z \times K$ se denomina cobertura universal de $K$ . ^[nb] Su tipo de orden es independiente de la elección de $a$ , pero la notación no lo es, ya que la coordenada entera "se da vuelta" en $a$ . Por ejemplo, aunque el orden cíclico de las clases de tonos es compatible con el orden alfabético de A a G, se elige C para que sea la primera nota en cada octava, por lo que en la notación de nota-octava , B ₃ es seguida por C ₄ .

La construcción inversa comienza con un conjunto ordenado linealmente y lo enrosca hasta formar un conjunto ordenado cíclicamente. Dado un conjunto ordenado linealmente $L y una$ biyección que preserva el orden $T : L \to L$ con órbitas ilimitadas, el espacio de órbitas $L / T$ está ordenado cíclicamente según el requisito: ^[7]^[nb]

a < b < c < T (a)

, entonces

[[a], [b], [c]]

En particular, se puede recuperar $K$ definiendo $T (x i) = x i +1$ en $Z \times K$ .

También existen recubrimientos $n -fold para$ $n$ finitos ; en este caso, un conjunto ordenado cíclicamente cubre otro conjunto ordenado cíclicamente. Por ejemplo, el reloj de 24 horas es un recubrimiento doble del reloj de 12 horas . En geometría, el lápiz de rayos que emanan de un punto en el plano orientado es un recubrimiento doble del lápiz de líneas no orientadas que pasan por el mismo punto. ^[19] Estos mapas de recubrimiento se pueden caracterizar elevándolos al recubrimiento universal. ^[7]

Productos y retractos

Dado un conjunto ordenado cíclicamente $(K, [ ])$ y un conjunto ordenado linealmente $(L, <)$ , el producto lexicográfico (total) es un orden cíclico en el conjunto producto $K \times L$ , definido por $[(a, x), (b, y), (c, z)]$ si se cumple una de las siguientes condiciones: ^[20]

$[a, b, c]$
$a = b \neq c$ y $x < y$
$b = c \neq a$ y $y < z$
$c = a \neq b$ y $z < x$
$a = b = c$ y $[x, y, z]$

El producto lexicográfico $K \times L$ globalmente se parece a $K$ y localmente se parece a $L$ ; puede considerarse como $K$ copias de $L$ . Esta construcción se utiliza a veces para caracterizar grupos ordenados cíclicamente. ^[21]

También se pueden unir diferentes conjuntos ordenados linealmente para formar un conjunto ordenado circularmente. Por ejemplo, dados dos conjuntos ordenados linealmente $L 1$ y $L 2$ , se puede formar un círculo uniéndolos en el infinito positivo y negativo. Un orden circular en la unión disjunta $L 1 \cup L 2 \cup {-\infty, \infty$ } se define por $\infty < L 1 < -\infty < L 2 < \infty$ , donde el orden inducido en $L 1$ es el opuesto de su orden original. Por ejemplo, el conjunto de todas las longitudes se ordena circularmente uniendo todos los puntos oeste y todos los puntos este, junto con el meridiano principal y el meridiano 180. Kuhlmann, Marshall y Osiak (2011) utilizan esta construcción al caracterizar los espacios de ordenamientos y lugares reales de series formales dobles de Laurent sobre un cuerpo real cerrado . ^[22]

Topología

Los intervalos abiertos forman una base para una topología natural , la topología de orden cíclico . Los conjuntos abiertos en esta topología son exactamente aquellos conjuntos que están abiertos en cada orden lineal compatible. ^[23] Para ilustrar la diferencia, en el conjunto [0, 1), el subconjunto [0, 1/2) es un entorno de 0 en el orden lineal pero no en el orden cíclico.

Ejemplos interesantes de espacios ordenados cíclicamente incluyen el límite conforme de una superficie de Lorentz simplemente conexa ^[24] y el espacio de hoja de una laminación esencial elevada de ciertas 3-variedades. ^{[25] También se han estudiado}sistemas dinámicos discretos en espacios ordenados cíclicamente. ^[26]

La topología de intervalos olvida la orientación original del orden cíclico. Esta orientación se puede restaurar enriqueciendo los intervalos con sus órdenes lineales inducidos; entonces se tiene un conjunto cubierto con un atlas de órdenes lineales que son compatibles donde se superponen. En otras palabras, un conjunto ordenado cíclicamente puede considerarse como un espacio ordenado linealmente localmente: un objeto como una variedad , pero con relaciones de orden en lugar de gráficos de coordenadas. Este punto de vista hace que sea más fácil ser preciso acerca de conceptos tales como los mapas de recubrimiento. La generalización a un espacio parcialmente ordenado localmente se estudia en Roll (1993); véase también Topología dirigida .

Estructuras relacionadas

Grupos

Un grupo cíclicamente ordenado es un conjunto con una estructura de grupo y un orden cíclico, de modo que la multiplicación por la izquierda y la derecha preservan el orden cíclico. Los grupos cíclicamente ordenados fueron estudiados en profundidad por primera vez por Ladislav Rieger en 1947. ^[27] Son una generalización de los grupos cíclicos : el grupo cíclico infinito $Z$ y los grupos cíclicos finitos $Z / n$ . Dado que un orden lineal induce un orden cíclico, los grupos cíclicamente ordenados también son una generalización de los grupos linealmente ordenados : los números racionales $Q$ , los números reales $R$ , etc. Algunos de los grupos cíclicamente ordenados más importantes no entran en ninguna de las categorías anteriores: el grupo circular $T$ y sus subgrupos, como el subgrupo de puntos racionales .

Todo grupo ordenado cíclicamente puede expresarse como un cociente $L / Z$ , donde $L$ es un grupo ordenado linealmente y $Z$ es un subgrupo cofinal cíclico de $L$ . Todo grupo ordenado cíclicamente también puede expresarse como un subgrupo de un producto $T \times L$ , donde $L$ es un grupo ordenado linealmente. Si un grupo ordenado cíclicamente es arquimediano o compacto, puede estar incluido en el propio $T.$ ^[28]

Axiomas modificados

Un orden cíclico parcial es una relación ternaria que generaliza un orden cíclico (total) de la misma manera que un orden parcial generaliza un orden total . Es cíclico, asimétrico y transitivo, pero no necesita ser total. Una variedad de orden es un orden cíclico parcial que satisface un axioma de propagación adicional. ^[29] Reemplazar el axioma de asimetría con una versión complementaria da como resultado la definición de un orden cocíclico . Apropiadamente, los órdenes cocíclicos totales están relacionados con los órdenes cíclicos de la misma manera que $\leq$ está relacionado con $<$ .

Un orden cíclico obedece a un axioma de transitividad de 4 puntos relativamente fuerte. Una estructura que debilita este axioma es un sistema CC : una relación ternaria que es cíclica, asimétrica y total, pero generalmente no transitiva. En cambio, un sistema CC debe obedecer a un axioma de transitividad de 5 puntos y a un nuevo axioma de interioridad , que restringe las configuraciones de 4 puntos que violan la transitividad cíclica. ^[30]

Se requiere que un orden cíclico sea simétrico bajo permutación cíclica, $[a, b, c] \Rightarrow [b, c, a]$ , y asimétrico bajo inversión: $[a, b, c] \Rightarrow \neg[c, b, a]$ . Una relación ternaria que es asimétrica bajo permutación cíclica y simétrica bajo inversión, junto con versiones apropiadas de los axiomas de transitividad y totalidad, se llama relación de intermediación . Una relación de separación es una relación cuaternaria que puede considerarse como un orden cíclico sin una orientación. La relación entre un orden circular y una relación de separación es análoga a la relación entre un orden lineal y una relación de intermediación. ^[31]

Simetrías y teoría de modelos

Evans, Macpherson e Ivanov (1997) proporcionan una descripción teórica de modelos de los mapas de cobertura de los ciclos.

Tararin (2001, 2002) estudia grupos de automorfismos de ciclos con diversas propiedades de transitividad . Giraudet y Holland (2002) caracterizan ciclos cuyos grupos de automorfismos completos actúan libre y transitivamente . Campero-Arena y Truss (2009) caracterizan ciclos coloreados contables cuyos grupos de automorfismos actúan transitivamente. Truss (2009) estudia el grupo de automorfismos del único ciclo denso contable (hasta isomorfismo).

Kulpeshov y Macpherson (2005) estudian las condiciones de minimalidad en estructuras ordenadas circularmente , es decir, modelos de lenguajes de primer orden que incluyen una relación de orden cíclico. Estas condiciones son análogas a la o-minimalidad y la o-minimalidad débil para el caso de estructuras ordenadas linealmente. Kulpeshov (2006, 2009) continúa con algunas caracterizaciones de estructuras ω-categóricas . ^[32]

Cognición

Hans Freudenthal ha destacado el papel de los órdenes cíclicos en el desarrollo cognitivo, en contraste con Jean Piaget , que sólo se ocupa de los órdenes lineales. Se han realizado algunos experimentos para investigar las representaciones mentales de conjuntos ordenados cíclicamente, como los meses del año.

Notas sobre el uso

^orden cíclico La relación puede denominarse orden cíclico (Huntington 1916, p. 630), orden circular (Huntington 1916, p. 630), ordenamiento cíclico (Kok 1973, p. 6) u ordenamiento circular (Mosher 1996, p. 109). Algunos autores denominan a dicho ordenamiento orden cíclico total (Isli & Cohn 1998, p. 643), orden cíclico completo (Novák 1982, p. 462), orden cíclico lineal (Novák 1984, p. 323) u orden l-cíclico u orden ℓ-cíclico (Černák 2001, p. 32), para distinguirlo de la clase más amplia de órdenes cíclicos parciales , a los que denominan simplemente órdenes cíclicos . Finalmente, algunos autores pueden interpretar el orden cíclico como una relación de separación cuaternaria no orientada (Bowditch 1998, p. 155).

^ciclo Un conjunto con un orden cíclico puede llamarse ciclo (Novák 1982, p. 462) o círculo (Giraudet & Holland 2002, p. 1). Las variaciones anteriores también aparecen en forma adjetiva: conjunto cíclicamente ordenado ( cyklicky uspořádané množiny , Čech 1936, p. 23), conjunto circularmente ordenado , conjunto total cíclicamente ordenado , conjunto completo cíclicamente ordenado , conjunto linealmente cíclicamente ordenado , conjunto l-cíclicamente ordenado , conjunto ℓ- cíclicamente ordenado . Todos los autores coinciden en que un ciclo está totalmente ordenado.

Relación ternaria Existen algunos símbolos diferentes en uso para una relación cíclica. Huntington (1916, p. 630) utiliza la concatenación: $ABC$ . Čech (1936, p. 23) y (Novák 1982, p. 462) utilizan ternas ordenadas y el símbolo de pertenencia a conjuntos: $(a, b, c) \in C$ . Megiddo (1976, p. 274) utiliza la concatenación y la pertenencia a conjuntos: $abc \in C$ , entendiendo $abc$ como una terna ordenada cíclicamente. La literatura sobre grupos, como la de Świerczkowski (1959a, p. 162) y Černák & Jakubík (1987, p. 157), tiende a utilizar corchetes: $[a, b, c]$ . Giraudet y Holland (2002, p. 1) utilizan paréntesis redondos: $(a, b, c)$ , reservando los corchetes para una relación de intermediación. Campero-Arena y Truss (2009, p. 1) utilizan una notación de estilo de función: $R (a, b, c)$ . Rieger (1947), citado después de Pecinová 2008, p. 82) utiliza un símbolo "menor que" como delimitador: $< x, y, z <$ . Algunos autores utilizan la notación infija: $a < b < c$ , con el entendimiento de que esto no conlleva el significado habitual de $a < b$ y $b < c$ para alguna relación binaria < (Černy 1978, p. 262). Weinstein (1996, p. 81) enfatiza la naturaleza cíclica repitiendo un elemento: $p ↪ r ↪ q ↪ p$ .

^incrustación Novák (1984, p. 332) llama a una incrustación una "incrustación isomórfica".

^roll En este caso, Giraudet y Holland (2002, p. 2) escriben que $K$ es $L$ "enrollado".

^espacio orbital La función T es llamada arquimediana por Bowditch (2004, p. 33), coterminal por Campero-Arena y Truss (2009, p. 582), y una traducción por McMullen (2009, p. 10).

^cobertura universal McMullen (2009, p. 10) llama $a Z \times K$ la "cobertura universal" de $K$ . Giraudet y Holland (2002, p. 3) escriben que $K$ es $Z \times K$ "enrollado". Freudenthal y Bauer (1974, p. 10) llaman $a Z \times K$ la "cobertura ∞-veces" de $K$ . A menudo, esta construcción se escribe como el orden antilexicográfico en $K \times Z$ .

Referencias

Citas

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Bibliografía

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Enlaces externos

orden cíclico en el laboratorio n