stringtranslate.com

Grupo ordenado cíclicamente

En matemáticas , un grupo ordenado cíclicamente es un conjunto con una estructura de grupo y un orden cíclico , de modo que la multiplicación por la izquierda y por la derecha preserva el orden cíclico.

Los grupos cíclicamente ordenados fueron estudiados en profundidad por primera vez por Ladislav Rieger en 1947. [1] Son una generalización de los grupos cíclicos : el grupo cíclico infinito Z y los grupos cíclicos finitos Z / n . Dado que un orden lineal induce un orden cíclico, los grupos cíclicamente ordenados son también una generalización de los grupos linealmente ordenados : los números racionales Q , los números reales R , etcétera. Algunos de los grupos cíclicamente ordenados más importantes no entran en ninguna de las categorías anteriores: el grupo circular T y sus subgrupos , como el subgrupo de puntos racionales .

Cocientes de grupos lineales

Es natural representar grupos ordenados cíclicamente como cocientes : uno tiene Z n = Z / n Z y T = R / Z . Incluso un grupo que alguna vez fue lineal como Z , cuando se dobla en un círculo, puede considerarse como Z 2 / Z . Rieger (1946, 1947, 1948) demostró que esta imagen es un fenómeno genérico. Para cualquier grupo ordenado L y cualquier elemento central z que genere un subgrupo cofinal Z de L , el grupo cociente L / Z es un grupo ordenado cíclicamente. Además, cada grupo ordenado cíclicamente puede expresarse como un grupo cociente de este tipo. [2]

El grupo del círculo

Świerczkowski (1959a) se basó en los resultados de Rieger en otra dirección. Dado un grupo ordenado cíclicamente K y un grupo ordenado L , el producto K × L es un grupo ordenado cíclicamente. En particular, si T es el grupo circular y L es un grupo ordenado, entonces cualquier subgrupo de T × L es un grupo ordenado cíclicamente. Además, cada grupo ordenado cíclicamente puede expresarse como un subgrupo de dicho producto con T . [3]

Por analogía con un grupo ordenado linealmente de Arquímedes , se puede definir un grupo ordenado cíclicamente de Arquímedes como un grupo que no contiene ningún par de elementos x , y tales que [e, x n , y ] para cada entero positivo n . [3] Dado que solo se consideran n positivos , esta es una condición más fuerte que su contraparte lineal. Por ejemplo, Z ya no califica, ya que uno tiene [0, n , −1] para cada n .

Como corolario de la prueba de Świerczkowski, cada grupo ordenado cíclicamente según Arquímedes es un subgrupo del propio T. [3] Este resultado es análogo al teorema de Otto Hölder de 1901 de que cada grupo ordenado linealmente según Arquímedes es un subgrupo de R. [4]

Topología

Todo grupo compacto cíclicamente ordenado es un subgrupo de T.

Estructuras relacionadas

Gluschankof (1993) demostró que una cierta subcategoría de grupos ordenados cíclicamente, los "grupos Ic proyectables con unidad débil", es equivalente a una cierta subcategoría de MV-álgebras , las "MV-álgebras proyectables". [5]

Notas

  1. ^ Pecinová-Kozáková 2005, pag. 194.
  2. ^ Świerczkowski 1959a, pag. 162.
  3. ^ abc Świerczkowski 1959a, págs. 161-162.
  4. ^ Hölder 1901, citado después de Hofmann & Lawson 1996, págs. 19, 21, 37
  5. ^ Gluschankof 1993, pág. 261.

Referencias

Lectura adicional