Topología algebraica dirigida

En matemáticas , la topología algebraica dirigida es un refinamiento de la topología algebraica para espacios dirigidos , espacios topológicos y sus contrapartes combinatorias equipadas con alguna noción de dirección. Algunos ejemplos comunes de espacios dirigidos son los espaciotiempos y los conjuntos simpliciales . El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios dirigidos hasta análogos dirigidos de equivalencia de homotopía . Por ejemplo, los grupos de homotopía y los n-grupoides fundamentales de espacios se generalizan a monoides de homotopía y n -categorías fundamentales de espacios dirigidos. La topología algebraica dirigida, como la topología algebraica, está motivada por la necesidad de describir propiedades cualitativas de sistemas complejos en términos de propiedades algebraicas de espacios de estado, que a menudo están dirigidos por el tiempo. Por lo tanto, la topología algebraica dirigida encuentra aplicaciones en concurrencia (ciencia informática) , control de tráfico de red , relatividad general , geometría no conmutativa , teoría de reescritura y sistemas biológicos . ^[1]

Espacios dirigidos

Se han propuesto muchas definiciones matemáticas para formalizar la noción de espacio dirigido. EW Dijkstra introdujo un dialecto simple para tratar con semáforos , el llamado "lenguaje PV", ^[2] y para proporcionar a cada programa PV un modelo abstracto: su "semántica geométrica". Cualquier modelo de este tipo admite una estructura de espacio parcialmente ordenado natural (o poespacio ), es decir, una topología y un orden parcial . ^[3] Los puntos del modelo deben considerarse como los estados del programa y el orden parcial como la relación de "causalidad" entre estados. Siguiendo este enfoque, los caminos dirigidos sobre el modelo, es decir, los caminos continuos monótonos , representan los rastros de ejecución del programa. Sin embargo, desde el punto de vista de la informática , los poespacios resultantes tienen un grave inconveniente. Debido a que los órdenes parciales son por definición antisimétricos, sus únicos bucles dirigidos , es decir, caminos dirigidos que terminan donde comienzan, son los bucles constantes.

Inspirados por las variedades suaves , L. Fajstrup, E. Goubault y M. Raussen utilizan el enfoque de la teoría de haces para definir poespacios locales . ^[4] En términos generales, un poespacio local es un espacio topológico junto con una cubierta abierta cuyos elementos están dotados de un orden parcial. Dados dos elementos U y V de la cubierta, se requiere que los órdenes parciales en U y V coincidan en la intersección . Aunque los poespacios locales permiten bucles dirigidos, forman una categoría cuyos colímites , cuando existen, pueden comportarse bastante mal.

Notando que los caminos dirigidos de un poespacio (local) aparecen como un subproducto del orden parcial (local)—a pesar de que ellos mismos contienen la mayor parte de la información relevante sobre la dirección—Marco Grandis define los d-espacios ^[5] como espacios topológicos dotados de una colección de caminos, cuyos miembros se dice que son dirigidos, de modo que cualquier camino constante es dirigido, la concatenación de dos caminos dirigidos sigue siendo dirigida, y cualquier subcamino de un camino dirigido es dirigido. Los d-espacios admiten bucles dirigidos no constantes y forman una categoría que disfruta de propiedades similares a las que disfruta la categoría de espacios topológicos .

Como lo muestra Sanjeevi Krishnan, las desventajas de los poespacios locales pueden evitarse si extendemos la noción de poespacios por medio de 'cohaces'. La noción de corriente ^[6] se define así. Más precisamente, se consideran preórdenes en subconjuntos abiertos y se requiere que, dado cualquier subconjunto abierto U y cualquier recubrimiento abierto Ω de U , el preorden asociado con U sea 'generado' por los preórdenes asociados con cada miembro de Ω. La categoría resultante se comporta tan bien como la categoría de d-espacios. De hecho, ambos pueden definir la realización geométrica dirigida del conjunto cúbico (conjunto simplicial) de modo que su espacio topológico subyacente sea la realización geométrica (usual). De hecho, hay una incrustación natural G de la categoría de corrientes en la categoría de d-espacios. Esta incrustación admite un funtor adjunto izquierdo F. Las imágenes de F y G son isomorfas , un isomorfismo que se obtiene al restringir F y G a esas imágenes. La categoría de espacios d puede verse así como una de las formalizaciones más generales de la noción intuitiva de espacio dirigido.

Homotopías dirigidas entre caminos dirigidos

Independientemente del tipo de espacio dirigido que se considere (poespacios, poespacios locales, d-espacios o corrientes), existe un funtor olvidadizo obvio para la categoría de espacios topológicos. Dados dos caminos dirigidos γ y δ, una homotopía dirigida de γ a δ es un morfismo de espacios dirigidos h cuya función subyacente U( h ) es una homotopía –en el sentido usual– entre los caminos subyacentes U(γ) y U(δ). En topología algebraica, existe una homotopía de α a β si y solo si existe una homotopía de β a α. Debido a la no reversibilidad, esto ya no es cierto para homotopías dirigidas. En consecuencia, definimos la congruencia como la relación de equivalencia mínima en los caminos dirigidos que es compatible con la concatenación y relaciona γ con δ tan pronto como existe una homotopía dirigida de γ a δ. Volviendo a la motivación de la ciencia informática, donde las rutas dirigidas representan rastros de ejecución, las homotopías dirigidas proporcionan una forma de identificar rastros de ejecución. Por lo tanto, dado un espacio dirigido X que modela algún programa concurrente P, la topología de X puede verse como las "conmutaciones locales" de acciones en el programa P. En los modelos clásicos de concurrencia, como los "grafos asincrónicos" o los "rastros de Mazurkiewicz", las conmutaciones locales se proporcionan mediante una relación sobre las flechas o las acciones. ${\displaystyle \sim }$

La categoría fundamental

La categoría fundamental de un espacio dirigido se define imitando la construcción del grupoide fundamental ^{[7] [8]} de un espacio topológico. Más precisamente, dado un espacio dirigido consideramos la categoría ( pequeña ) de caminos dirigidos sobre hasta la reparametrización monótona ^[9] y definimos la categoría fundamental de como el cociente . Esta construcción da lugar a un funtor de la categoría de espacios dirigidos a la categoría de categorías pequeñas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle DX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X):=DX/\!\sim }$ ${\displaystyle \pi _{1}}$

Algunas propiedades

El funtor de categoría fundamental satisface algún tipo de teorema de Seifert-van Kampen .

El funtor de categoría fundamental preserva los productos binarios .

Como consecuencia de la antisimetría, la categoría fundamental C de un poespacio no tiene bucles, es decir, para todos los objetos x e y , si ambos conjuntos de objetos C( x , y ) y C( y , x ) no están vacíos , entonces x = y y C( x , x ) es un singleton.

Dos caminos dirigidos γ y δ que comparten la misma imagen, es decir {γ( t ) | t ∊dom(γ)} = {δ( t ) | t ∊dom(δ)} son dihomotópicos, es decir γ ~ δ. Esta propiedad obviamente falla en la topología algebraica, por ejemplo, considere caminos que giran alrededor del círculo .

Dado X, el modelo de algún programa concurrente P, los homsets de la categoría fundamental de X son contables . Además, si no se produce ninguna instrucción de bucle en P, entonces los homsets de X son finitos. Este es el caso cuando P es un programa PV en el sentido dado originalmente por Dijkstra. En comparación, todos los homsets no triviales de la categoría de caminos dirigidos DX son incontables .

La categoría de componentes

Mientras que la construcción de la categoría fundamental reduce drásticamente el tamaño de los homsets de DX , deja su colección de objetos sin cambios. Y, sin embargo, si X es el modelo geométrico de algún programa concurrente P, esta colección es incontable. La categoría de componentes se introdujo para encontrar una subcategoría completa de la categoría fundamental con la menor cantidad de objetos posible aunque contenga toda la información relevante del original. ^[10] Si es una categoría sin bucles , entonces su categoría de componentes puede describirse en el lenguaje de la teoría de categorías sin asumir que es la categoría fundamental de algún espacio dirigido. En este caso, la noción intuitiva de morfismos insignificantes se formaliza como una colección de morfismos de que satisfacen algunas propiedades de estabilidad y cuyos elementos preservan tanto el pasado de su fuente como el futuro de su destino. Entonces se define como el cociente ^[11] que se demuestra que es equivalente a la localización de una categoría . ^[12] La categoría de componentes de un programa fotovoltaico P se define entonces como donde es el modelo geométrico de P. Como propiedad interesante, la categoría de componentes de cualquier programa fotovoltaico es finita . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{0}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{0}(C)}$ ${\displaystyle C/\Sigma }$ ${\displaystyle C[\Sigma ^{-1}]}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle X}$

Temas

Homotopía dirigida de orden superior

La teoría de homotopía dirigida de orden superior se puede desarrollar a través del funtor cilindro y del funtor trayectoria , expresándose todas las construcciones y propiedades en el contexto del álgebra categórica . Este enfoque enfatiza el papel combinatorio de los conjuntos cúbicos en la topología algebraica dirigida. ${\displaystyle ^{[1]}}$

El enfoque de categorías de modelos

Philippe Gaucher propuso una formalización alternativa de la noción de espacio dirigido que, en términos generales, se basa en la categoría de grafos dirigidos enriquecidos en espacios topológicos, es decir, la colección de flechas de x a y está dotada de una topología. Este enfoque da lugar a la llamada categoría de Flujos , ^[13] que admite una estructura de categoría de modelo no trivial . Introdujo una versión topológica (aquí una categoría topológica significa una categoría equipada con un funtor olvidadizo topológico hacia la categoría de conjuntos ) utilizando una variante de los d-espacios de Marco Grandis, los d-espacios multipunteados. ^[14] En artículos recientes, construyó estructuras de categoría de modelo similares en sistemas de transición cúbicos de dimensión superior (cuya subcategoría reflexiva es la de los sistemas de transición de dimensión superior de Cattani-Sassone) ^[15] y en conjuntos precúbicos simétricos etiquetados. ^[16] Los puntos comunes de todas estas estructuras de categorías de modelos son 1) la presencia de la cofibración {0,1}→{0} que identifica dos estados, 2) la no contractibilidad del segmento dirigido, 3) la fuerte relación con la noción informática de bisimulación. Los cilindros de la categoría de flujos y de la categoría de espacios d multipuntuales hacen oscilar los globos manteniendo constante el conjunto de estados. Todos los objetos de las categorías de modelos de flujos y espacios d multipuntuales son fibrantes. Se puede comprobar que los cilindros de estas categorías de modelos satisfacen la propiedad de intercambio de homotopía introducida por Lafont-Métayer-Worytkiewicz en su trabajo sobre categorías omega globulares. Los cilindros de la categoría de sistemas de transición cúbicos y de conjuntos precúbicos simétricos etiquetados hacen oscilar los cubos manteniendo constante también el conjunto de estados. Estas últimas estructuras de categorías de modelos se construyen utilizando la tesis doctoral de M. Olschok, que generaliza el trabajo de Cisinski sobre la teoría de homotopía de topos . En estas últimas estructuras de categorías de modelos, todos los objetos son cofibrantes.

Thomas Kahl demostró la existencia de una categoría modelo no trivial de posespacios. Sin embargo, esta estructura apenas difiere de la estructura modelo de los espacios topológicos. En muchos aspectos, consiste simplemente en olvidar el orden parcial de los objetos.

Krzysztof Worytkiewicz utiliza métodos avanzados de la teoría de categorías de modelos (a saber, localización y completitud) para construir una categoría de modelos a partir de las pequeñas categorías de hipercubos dirigidos de dimensión finita.

De hecho, cualquier intento de definir una estructura de modelo sobre alguna categoría de espacios dirigidos tiene que enfrentarse a la siguiente cuestión: ¿debería un mapa de inclusión ser una cofibración , una equivalencia débil , ambas (cofibración trivial) o ninguna? Por ejemplo, si suponemos que es una cofibración trivial, entonces (como un subpoespacio del plano dirigido) es equivalente a un punto ya que la colección de cofibraciones triviales es estable bajo empuje. ^[17] Este hecho es prohibitivo para la aplicación en ciencias de la computación aunque es un hecho trivial de la teoría de homotopía si eliminamos la característica de dirección. ${\displaystyle \{*\}\hookrightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle \{0\}\hookrightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}}$

Recubrimientos dirigidos

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Software

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Referencias

1. Topología algebraica dirigida: modelos de mundos no reversibles, Marco Grandis, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76036-2 Descarga gratuita desde el sitio web del autor
2. "Origen de la energía fotovoltaica". cs.nyu.edu . Consultado el 3 de mayo de 2017 .
3. Topología y orden. Leopoldo Nachbin, Van Nostrand Company, 1965
4. Fajstrup, Lisbeth; Raußen, Martin; Goubault, Eric (2006). "Topología algebraica y concurrencia". Ciencias de la computación teórica . 357 (1–3): 241–278. doi : 10.1016/j.tcs.2006.03.022 .
5. Grandis, Marco (2003). "Teoría de la homotopía dirigida, I. La categoría fundamental" (PDF) . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 44 (4): 281–316. arXiv : matemáticas/0111048 .
6. Krishnan, Sanjeevi (2009). "Una categoría conveniente de espacios preordenados localmente". Estructuras categóricas aplicadas . 17 (5): 445–466. arXiv : 0709.3646 . doi :10.1007/s10485-008-9140-9. S2CID  8654714.
7. Higgins, Philip J. (1971). Categorías y grupoides. Van Nostrand Reinhold. Archivado desde el original el 6 de octubre de 2018. Consultado el 15 de diciembre de 2011 .
8. Topología y grupoides. Ronald Brown. Booksurge LLC, 2006
9. Raussen, Martin; Fahrenberg, Ulrich (2007). "Reparametrizaciones de caminos continuos". Revista de homotopía y estructuras relacionadas . 2 (2): 93–117. arXiv : 0706.3560 .
10. Fajstrup, L.; Raussen, M.; Goubault, E.; Haucourt, E. (2004). "Componentes de la Categoría Fundamental". Estructuras categóricas aplicadas . 12 : 81-108. doi :10.1023/B:APCS.0000013812.75342.de. S2CID  15579667.
11. "Congruencias generalizadas: epimorfismos en C a t {\displaystyle Cat}" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 5 (11): 266–280. 1999. Archivado desde el original (PDF) el 2011-11-03 . Consultado el 2011-12-16 .
12. Haucourt, Emmanuel (2006). «Categorías de componentes y categorías sin bucles» (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 16 (27): 736–770. Archivado desde el original (PDF) el 2011-11-03 . Consultado el 2011-12-16 .
13. Gaucher, Philippe (2003). "Una categoría modelo para la teoría de homotopía de la concurrencia". Homología, homotopía y aplicaciones . 5 : 549–599. arXiv : math/0308054 . doi :10.4310/HHA.2003.v5.n1.a20. S2CID  13968745.
14. Gaucher, P. (2009). «Interpretación homotópica del complejo globular mediante un espacio d multipunteado» (PDF) . Theory and Applications of Categories (Teoría y aplicaciones de categorías ) . 22 : 588–621. Archivado desde el original (PDF) el 2013-06-16 . Consultado el 2013-02-18 .
15. Gaucher, P. (2011). "Hacia una teoría de homotopía de sistemas de transición de dimensiones superiores" (PDF) . Theory and Applications of Categories . 25 : 295–341. Archivado desde el original (PDF) el 2013-06-16 . Consultado el 2013-02-18 .
16. Gaucher, Philippe (2012). "Teoría de homotopía de conjuntos precúbicos simétricos etiquetados". arXiv : 1208.4494 [math.AT].
17. Categorías de modelos. Mark Hovey, AMS, 1999

Lectura adicional

• Topología algebraica dirigida y concurrencia, Lisbeth Fajstrup, Éric Goubault, Samuel Mimram, Emmanuel Haucourt, Martin Raussen
• Teoría de la homotopía dirigida, II. Homotopy Constructs, Marco Grandis, Theory and Applications of Categories, vol. 10, núm. 14, 2002, págs. 369–391
• Algunos puntos sobre la topología algebraica dirigida, Marco Grandis
• Homología combinatoria dirigida y toros no conmutativos, Marco Grandis, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 138 (2005), 233-262