Espectro de anillo altamente estructurado

clase de cohomología

En matemáticas, un espectro de anillo o anillo altamente estructurado es un objeto en la teoría de la homotopía que codifica un refinamiento de una estructura multiplicativa en una teoría de cohomología . Una versión conmutativa de un anillo se llama anillo. Aunque originalmente estaban motivados por cuestiones de topología geométrica y teoría de haces , hoy en día se utilizan con mayor frecuencia en la teoría de la homotopía estable . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Fondo

Los espectros de anillos altamente estructurados tienen mejores propiedades formales que las teorías de cohomología multiplicativa , un punto utilizado, por ejemplo, en la construcción de formas modulares topológicas , y que ha permitido también nuevas construcciones de objetos más clásicos, como la teoría K de Morava . Además de sus propiedades formales, las estructuras - también son importantes en los cálculos, ya que permiten operaciones en la teoría de cohomología subyacente, análogas (y generalizadoras) a las bien conocidas operaciones de Steenrod en cohomología ordinaria. Como no todas las teorías de cohomología permiten tales operaciones, no todas las estructuras multiplicativas pueden refinarse a una estructura -e incluso en los casos en que esto sea posible, demostrarlo puede ser una tarea formidable. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

La idea aproximada de espectros de anillo altamente estructurados es la siguiente: si la multiplicación en una teoría de cohomología (análoga a la multiplicación en cohomología singular, que induce el producto de copa ) cumple la asociatividad (y conmutatividad) sólo hasta la homotopía, esto es demasiado laxo para muchas construcciones. (por ejemplo, para límites y colimites en el sentido de la teoría de categorías). Por otro lado, exigir una asociatividad estricta (o conmutatividad) de manera ingenua es demasiado restrictivo para muchos de los ejemplos buscados. Una idea básica es que las relaciones sólo necesitan cumplir con la homotopía, pero estas homotopías deberían cumplir nuevamente algunas relaciones de homotopía, cuyas homotopías nuevamente cumplen algunas condiciones de homotopía adicionales; etcétera. El enfoque clásico organiza esta estructura a través de óperas , mientras que el enfoque reciente de Jacob Lurie se ocupa de ello utilizando -operadas en -categorías. Los enfoques más utilizados hoy en día emplean el lenguaje de categorías de modelos . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Todos estos enfoques dependen de la construcción cuidadosa de una categoría subyacente de espectros .

Enfoques para la definición.

Operadas

La teoría de las óperas está motivada por el estudio de los espacios de bucle . Un espacio de bucle ΩX tiene una multiplicación

${\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

por composición de bucles. Aquí los dos bucles se aceleran en un factor de 2 y el primero toma el intervalo [0,1/2] y el segundo [1/2,1]. Este producto no es asociativo ya que los escalamientos no son compatibles, pero es asociativo hasta la homotopía y las homotopías son coherentes hasta homotopías superiores y así sucesivamente. Esta situación se puede precisar diciendo que ΩX es un álgebra sobre el operado de intervalo pequeño . Este es un ejemplo de una -operada, es decir, una operada de espacios topológicos que es homotópicamente equivalente a la operada asociativa pero que tiene la "libertad" apropiada para permitir que las cosas solo cumplan con la homotopía (sucintamente: cualquier reemplazo cofibrante de la operada asociativa) . Ahora se puede imaginar un espectro en anillo como un álgebra sobre un operado en una categoría adecuada de espectros y condiciones de compatibilidad adecuadas (véase mayo de 1977). ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Para la definición de espectros de anillo funciona esencialmente el mismo enfoque, donde se reemplaza la operada por una operada, es decir, una operada de espacios topológicos contráctiles con condiciones de "libre" análogas. Un ejemplo de una operación de este tipo puede estar nuevamente motivado por el estudio de los espacios de bucle. El producto del espacio de doble bucle ya es conmutativo hasta la homotopía, pero esta homotopía no cumple condiciones superiores. Para obtener una coherencia total de las homotopías superiores, se debe suponer que el espacio es (equivalente a) un espacio de bucle n veces para todo  n . Esto conduce a la operación en -cubo de cubos de dimensiones infinitas en un espacio de dimensiones infinitas, que es un ejemplo de operación -. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

El enfoque anterior fue iniciado por J. Peter May . Junto con Elmendorf, Kriz y Mandell desarrolló en los años 90 una variante de su antigua definición de espectros, los llamados módulos S (ver Elmendorf et al., 2007). Los módulos S poseen una estructura de modelo , cuya categoría de homotopía es la categoría de homotopía estable . En los módulos S, la categoría de módulos sobre un operado y la categoría de monoides son equivalentes a Quillen y también la categoría de módulos sobre un operado y la categoría de monoides conmutativos. Por lo tanto, ¿es posible definir los espectros de anillo y los espectros de anillo como monoides (conmutativos) en la categoría de módulos S, las llamadas álgebras S (conmutativas) ? Dado que los monoides (conmutativos) son más fáciles de manejar que las álgebras sobre operaciones complicadas, este nuevo enfoque es más conveniente para muchos propósitos. Sin embargo, cabe señalar que la construcción real de la categoría de módulos S es técnicamente bastante complicada. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Espectros de diagrama

Otro enfoque para el objetivo de ver espectros de anillos altamente estructurados como monoides en una categoría adecuada de espectros son las categorías de espectros de diagrama. Probablemente la más famosa de ellas sea la categoría de espectros simétricos, iniciada por Jeff Smith. Su idea básica es la siguiente:

En el sentido más ingenuo, un espectro es una secuencia de espacios (puntiagudos) junto con mapas , donde ΣX denota la suspensión . Otro punto de vista es el siguiente: se considera la categoría de secuencias de espacios junto con la estructura monoide dada por un producto smash . Entonces la secuencia de esferas tiene la estructura de un monoide y los espectros son solo módulos sobre este monoide. Si este monoide fuera conmutativo, entonces surgiría una estructura monoide en la categoría de módulos encima (como en álgebra los módulos sobre un anillo conmutativo tienen un producto tensorial). Pero la estructura monoide de la secuencia de esferas no es conmutativa debido a diferentes ordenamientos de las coordenadas. ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$ ${\displaystyle (S^{0},S^{1},\dots )}$

La idea ahora es que se pueden incorporar los cambios de coordenadas en la definición de una secuencia: una secuencia simétrica es una secuencia de espacios junto con una acción del enésimo grupo simétrico en . Si se equipa con un producto monoidal adecuado, se obtiene que la secuencia de esferas es un monoide conmutativo . Ahora los espectros simétricos son módulos sobre la secuencia de esferas, es decir, una secuencia de espacios junto con una acción del n -ésimo grupo simétrico sobre mapas que satisfacen condiciones de equivarianza adecuadas. La categoría de espectros simétricos tiene un producto monoidal indicado por . Un espectro de anillo altamente estructurado (conmutativo) ahora se define como un monoide (conmutativo) en espectros simétricos, llamado espectro de anillo simétrico (conmutativo) . Esto se reduce a dar mapas. ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}\to X_{i+1}}$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle X_{n}\wedge X_{m}\to X_{n+m},}$

que satisfacen condiciones adecuadas de equivarianza, unitario y asociatividad (y conmutatividad) (ver Schwede 2007).

Existen varias estructuras modelo en espectros simétricos, que tienen como homotopía la categoría de homotopía estable. También aquí es cierto que la categoría de módulos sobre una operada y la categoría de monoides son equivalentes a Quillen y también la categoría de módulos sobre una operada y la categoría de monoides conmutativas. ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Una variante de los espectros simétricos son los espectros ortogonales , donde se sustituye el grupo simétrico por el grupo ortogonal (ver Mandell et al., 2001). Tienen la ventaja de que los grupos de homotopía definidos ingenuamente coinciden con los de la categoría de homotopía estable, lo que no es el caso de los espectros simétricos. (Es decir, el espectro de la esfera ahora es cofibrante). Por otro lado, los espectros simétricos tienen la ventaja de que también pueden definirse para conjuntos simpliciales . Los espectros simétricos y ortogonales son posiblemente las formas más sencillas de construir una categoría de espectros monoidal simétrica sensible .

Categorías infinitas

Las categorías infinitas son una variante de las categorías clásicas donde la composición de los morfismos no está definida de forma única, sino sólo hasta una elección contráctil. En general, no tiene sentido decir que un diagrama conmuta estrictamente en una categoría infinita, sino sólo que conmuta hasta una homotopía coherente. Se puede definir una categoría infinita de espectros (como lo hizo Lurie ). También se pueden definir versiones infinitas de monoides (conmutativos) y luego definir espectros de anillo como monoides en espectros y espectros de anillo como monoides conmutativos en espectros. Esto se resuelve en el libro Higher Algebra de Lurie . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Comparación

Las categorías de módulos S, espectros simétricos y ortogonales y sus categorías de monoides (conmutativos) admiten comparaciones mediante equivalencias de Quillen debido al trabajo de varios matemáticos (incluido Schwede). A pesar de esto, la categoría de modelo de módulos S y la categoría de modelo de espectros simétricos tienen un comportamiento bastante diferente: en los módulos S cada objeto es fibrante (lo que no es cierto en los espectros simétricos), mientras que en los espectros simétricos el espectro de esfera es cofibrante. (lo cual no es cierto en los módulos S). Según un teorema de Lewis, no es posible construir una categoría de espectros que tenga todas las propiedades deseadas. En Lurie's Higher Algebra 4.4.4.9 se puede encontrar una comparación del enfoque de categoría infinita de los espectros con el enfoque de categoría de modelo más clásico de espectros simétricos . ^{[ dudoso ]}

Ejemplos

Es más fácil escribir ejemplos concretos de espectros de anillo en espectros simétricos/ortogonales. El ejemplo más fundamental es el espectro de esferas con el mapa de multiplicación (canónico) . Tampoco es difícil escribir mapas de multiplicación para los espectros de Eilenberg-MacLane (que representan la cohomología ordinaria ) y ciertos espectros de Thom (que representan las teorías del bordismo ). La teoría K topológica (real o compleja) también es un ejemplo, pero más difícil de obtener: en espectros simétricos se usa una interpretación de álgebra C* de la teoría K, en el enfoque de óperas se usa una máquina de teoría multiplicativa del espacio de bucle infinito . ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}}$

Un enfoque más reciente para encontrar refinamientos de las teorías de cohomología multiplicativa es la teoría de la obstrucción de Goerss-Hopkins. Logró encontrar estructuras de anillos en los espectros de Lubin-Tate y en los espectros elípticos . Mediante un método similar (pero más antiguo), también se podría demostrar que la teoría K de Morava y también otras variantes de la cohomología de Brown-Peterson poseen una estructura de anillo (ver, por ejemplo, Baker y Jeanneret, 2002). Basterra y Mandell han demostrado que la cohomología de Brown-Peterson tiene incluso una estructura de anillo, donde una estructura se define reemplazando la operada de cubos de dimensiones infinitas en un espacio de dimensiones infinitas por cubos de 4 dimensiones en un espacio de 4 dimensiones en la definición. de espectros de anillo. Por otro lado, Tyler Lawson ha demostrado que la cohomología de Brown-Peterson no tiene estructura. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Construcciones

Los espectros de anillos altamente estructurados permiten muchas construcciones.

• Forman una categoría de modelo y, por lo tanto, existen límites (homotopía) y colimites.
• Los módulos distribuidos en un espectro anular altamente estructurado forman una categoría de modelo estable . En particular, su categoría de homotopía está triangulada . Si el espectro en anillo tiene una estructura -, la categoría de módulos tiene un producto smash monoide ; si es al menos , entonces tiene un producto monoidal simétrico (aplastamiento). ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{4}}$
• Se pueden formar espectros de anillos de grupo.
• Se puede definir la teoría K algebraica , la homología topológica de Hochschild , etc., de un espectro de anillo altamente estructurado.
• Se puede definir el espacio de unidades, lo cual es crucial para algunas cuestiones de orientabilidad de paquetes.

Ver también

• Espectro de anillo conmutativo
• En anillo

Referencias

Referencias sobre espectros de anillo E ∞

• Elmendorf, AD; Kriz, I.; Mandell, MA; Mayo, JP (2007). Anillos, módulos y álgebras en la teoría de la homotopía estable . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
• Mayo, J. Peter (1977). E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} -espacios de anillo y E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} -espectros de anillo. Saltador.
• Mayo, J. Peter (2009). "¿Qué son exactamente los espacios de los anillos y los espectros de los anillos?". Monografías de geometría y topología . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . doi :10.2140/gtm.2009.16.215. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Referencias sobre la estructura de los espectros de anillos E ∞

• Basterra, M.; Mandell, MA (2005). "Homología y cohomología de los espectros del anillo E-infinito" (PDF)
• Lawson, T. (2017). "Cálculo de grupos de obstrucción para espectros de anillos". arXiv : 1709.09629 [matemáticas.AT]. ${\displaystyle E_{\infty }}$

Referencias sobre ejemplos específicos

• panadero, A.; Jeanneret, A. (2002). "Nuevos y valientes algebroides de Hopf y extensiones de álgebras MU". Homología, Homotopía y Aplicaciones . 4 (1): 163–173. doi : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
• Basterra, M.; Mandell, MA (junio de 2013). «La multiplicación por BP» (PDF) . Revista de topología . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . doi :10.1112/jtopol/jts032. S2CID  119652118. Archivado desde el original (PDF) el 6 de febrero de 2015.

Referencias generales sobre espectros relacionados.

• Lurie, J. "Álgebra superior" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 6 de febrero de 2015.
• Mandell, MA; Mayo, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). "Categorías de modelos de espectros de diagramas" (PDF) . Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 82 (2): 441–512. doi :10.1112/S0024611501012692. S2CID  551246.
• Richter, B. (2017). "Espectros de anillo conmutativo". arXiv : 1710.02328 [matemáticas.AT].
• Schwede, S. (2001). "Módulos S y espectros simétricos" (PDF) . Matemáticas. Ana . 319 (3): 517–532. doi :10.1007/PL00004446. S2CID  6866612.
• Schwede S. Schwede, S. (2007). "Un proyecto de libro sin título sobre espectros simétricos" (PDF) .