Cohomología de Brown-Peterson

En matemáticas, la cohomología de Brown-Peterson es una teoría generalizada de cohomología introducida por Edgar H. Brown y Franklin P. Peterson  (1966), que depende de la elección de un primo p . Douglas Ravenel (2003, capítulo 4) la describe en detalle  . Su espectro representativo se denota por BP.

Cobordismo complejo y idempotente de Quillen

La cohomología de Brown-Peterson BP es un sumando de MU _{( p )} , que es un cobordismo complejo MU localizado en un primo p . De hecho, MU _(p) es un producto en cuña de suspensiones de BP.

Para cada primo p , Daniel Quillen demostró que existe un mapa idempotente único de espectros de anillos ε desde MUQ _{( p )} hasta sí mismo, con la propiedad de que ε([CP ⁿ ]) es [CP ⁿ ] si n +1 es una potencia de p , y 0 en caso contrario. El espectro BP es la imagen de este ε idempotente.

Estructura de BP

El anillo de coeficientes es un álgebra polinómica sobre generadores en grados para . ${\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle 2(p^{n}-1)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\text{BP}}_{*}({\text{BP}})}$es isomorfo al anillo polinomial con generadores en de grados . ${\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})[t_{1},t_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle {\text{BP}}_{2(p^{i}-1)}({\text{BP}})}$ ${\displaystyle 2(p^{i}-1)}$

La cohomología del algebroide de Hopf es el término inicial de la secuencia espectral de Adams-Novikov para calcular grupos de homotopía p-local de esferas . ${\displaystyle (\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))}$

BP es el ejemplo universal de una teoría de cohomología orientada a complejos cuya ley de grupo formal asociada es p-típica.

Véase también

• Lista de teorías de cohomología#Cohomología de Brown-Peterson

Referencias

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Brown, Edgar H. Jr. ; Peterson, Franklin P. (1966), "Un espectro cuya cohomología Z _p es el álgebra de potencias p reducidas ^" , Topology , 5 ( 2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR  0192494.
• Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes formales de grupo de la teoría del cobordismo no orientado y complejo" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de homotopía estables de esferas (2.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7
• Wilson, W. Stephen (1982), Homología de Brown-Peterson: una introducción y una muestra, Serie de conferencias regionales de CBMS sobre matemáticas, vol. 48, Washington, DC: Conference Board of the Mathematical Sciences, ISBN 978-0-8219-1699-5, Sr.  0655040