Geometría algebraica real

En matemáticas , la geometría algebraica real es la subrama de la geometría algebraica que estudia los conjuntos algebraicos reales , es decir, soluciones de números reales a ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales y aplicaciones entre ellas (en particular, aplicaciones polinomiales reales).

La geometría semialgebraica es el estudio de los conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales, y aplicaciones entre ellas. Las aplicaciones más naturales entre conjuntos semialgebraicos son las aplicaciones semialgebraicas, es decir, aplicaciones cuyos gráficos son conjuntos semialgebraicos.

Terminología

En la actualidad, las palabras «geometría semialgebraica» y «geometría algebraica real» se utilizan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no necesita ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . ^{[1] [2]} Campos relacionados son la teoría o-minimal y la geometría analítica real .

Ejemplos: Las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Las funciones algebraicas reales y las funciones de Nash son ejemplos de aplicaciones semialgebraicas. Las aplicaciones polinómicas por partes (véase la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son aplicaciones semialgebraicas.

La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica real (y semialgebraica). El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para dividir conjuntos semialgebraicos en partes precisas y calcular sus proyecciones.

El álgebra real es la parte del álgebra que es relevante para la geometría algebraica real (y semialgebraica). Se ocupa principalmente del estudio de cuerpos ordenados y anillos ordenados (en particular cuerpos cerrados reales ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Véase el problema 17 de Hilbert y Positivestellensatz de Krivine .) La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Los campos relacionados son la teoría de problemas de momento , la optimización convexa , la teoría de formas cuadráticas , la teoría de valoración y la teoría de modelos .

Cronología del álgebra real y de la geometría algebraica real

• Algoritmo de Fourier de 1826 para sistemas de desigualdades lineales. ^[3] Redescubierto por Lloyd Dines en 1919 ^[4] y Theodore Motzkin en 1936. ^[5]
• 1835 Teorema de Sturm sobre el conteo de raíces reales ^[6]
• 1856 Teorema de Hermite sobre el recuento de raíces reales. ^[7]
• 1876 ​​Teorema de la curva de Harnack . ^[8] (Este límite en el número de componentes se extendió posteriormente a todos los números de Betti de todos los conjuntos algebraicos reales ^{[9] [10] [11]} y todos los conjuntos semialgebraicos. ^[12] )
• 1888 Teorema de Hilbert sobre cuárticas ternarias. ^[13]
• Problemas de Hilbert de 1900 (especialmente los problemas 16 y 17 )
• Lema de Farkas de 1902 ^[14] (Puede reformularse como ecuación lineal positiva).
• 1914 Annibale Comessatti demostró que no toda superficie algebraica real es biracional a RP ^{2 [15]}
• 1916 Conjetura de Fejér sobre polinomios trigonométricos no negativos. ^[16] (Resuelto por Frigyes Riesz . ^[17] )
• Solución del problema 17 de Hilbert por Emil Artin en 1927 ^[18]
• Teorema de Krull-Baer de 1927 ^{[19] [20]} (conexión entre ordenamientos y valoraciones)
• 1928 Teorema de Pólya sobre polinomios positivos en un símplex ^[21]
• 1929 BL van der Waerden esboza una prueba de que los conjuntos algebraicos y semialgebraicos reales son triangularizables, ^[22] pero no se han desarrollado las herramientas necesarias para hacer riguroso el argumento.
• 1931 Eliminación del cuantificador real de Alfred Tarski . ^[23] Mejorado y popularizado por Abraham Seidenberg en 1954. ^[24] (Ambos utilizan el teorema de Sturm ).
• 1936 Herbert Seifert demostró que toda subvariedad cerrada y suave de con fibrado normal trivial, puede isotoparse con un componente de un subconjunto algebraico real no singular de cuyo conjunto es una intersección completa ^[25] (de la conclusión de este teorema no se puede eliminar la palabra "componente" ^[26] ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Teorema de representación de Marshall Stone de 1940 para anillos parcialmente ordenados. ^[27] Mejorado por Richard Kadison en 1951 ^[28] y Donald Dubois en 1967 ^[29] (teorema de representación de Kadison-Dubois). Mejorado por Mihai Putinar en 1993 ^[30] y Jacobi en 2001 ^[31] (teorema de representación de Putinar-Jacobi).
• 1952 John Nash demostró que toda variedad cerrada y suave es difeomorfa a un componente no singular de un conjunto algebraico real. ^[32]
• Se formuló la conjetura de Pierce-Birkhoff en 1956. ^[33] (Resuelta en dimensiones ≤ 2. ^[34] )
• 1964 Nullstellensatz y Positivestellensatz de Krivine . ^[35] Redescubierto y popularizado por Stengle en 1974. ^[36] (Krivine utiliza la eliminación del cuantificador real mientras que Stengle utiliza el teorema de homomorfismo de Lang. ^[37] )
• Conjuntos semianalíticos triangulados de Lojasiewicz de 1964 ^[38]
• 1964 Heisuke Hironaka demostró la resolución del teorema de singularidad ^[39]
• 1964 Hassler Whitney demostró que toda variedad analítica admite una estratificación que satisface las condiciones de Whitney . ^[40]
• 1967 Theodore Motzkin encuentra un polinomio positivo que no es una suma de cuadrados de polinomios . ^[41]
• 1972 Vladimir Rokhlin demostró la conjetura de Gudkov . ^[42]
• 1973 Alberto Tognoli demostró que toda variedad cerrada y suave es difeomorfa a un conjunto algebraico real no singular. ^[43]
• 1975 George E. Collins descubre el algoritmo de descomposición algebraica cilíndrica , que mejora la eliminación del cuantificador real de Tarski y permite implementarlo en una computadora. ^[44]
• 1973 Jean-Louis Verdier demostró que todo conjunto subanalítico admite una estratificación con condición (w). ^[45]
• 1979 Michel Coste y Marie-Françoise Roy descubren el espectro real de un anillo conmutativo. ^[46]
• En 1980, Oleg Viro introdujo la técnica de "trabajo de parches" y la utilizó para clasificar curvas algebraicas reales de bajo grado. ^[47] Más tarde, Ilya Itenberg y Viro la utilizaron para producir contraejemplos a la conjetura de Ragsdale , ^{[48] [49]} y Grigory Mikhalkin la aplicó a la geometría tropical para el conteo de curvas. ^[50]
• 1980 Selman Akbulut y Henry C. King dieron una caracterización topológica de conjuntos algebraicos reales con singularidades aisladas y caracterizaron topológicamente conjuntos algebraicos reales no singulares (no necesariamente compactos) ^[51]
• 1980 Akbulut y King demostraron que cada nudo en es el vínculo de un conjunto algebraico real con singularidad aislada en ^[52] ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$
• 1981 Akbulut y King demostraron que toda variedad PL compacta es PL homeomorfa a un conjunto algebraico real. ^{[53] [54] [55]}
• En 1983 Akbulut y King introdujeron las "Torres de Resolución Topológica" como modelos topológicos de conjuntos algebraicos reales, a partir de las cuales obtuvieron nuevos invariantes topológicos de conjuntos algebraicos reales, y caracterizaron topológicamente todos los conjuntos algebraicos tridimensionales. ^[56] Estos invariantes fueron generalizados posteriormente por Michel Coste y Krzysztof Kurdyka ^[57] así como por Clint McCrory y Adam Parusiński. ^[58]
• 1984 Teorema de Ludwig Bröcker sobre la generación mínima de conjuntos semialgebraicos abiertos básicos ^[59] (mejorado y ampliado a conjuntos semialgebraicos cerrados básicos por Scheiderer. ^[60] )
• 1984 Benedetti y Dedo demostraron que no toda variedad cerrada y suave es difeomorfa respecto de un conjunto algebraico real no singular totalmente algebraico (totalmente algebraico significa que todos sus ciclos de homología Z/2Z están representados por subconjuntos algebraicos reales). ^[61]
• 1991 Akbulut y King demostraron que toda variedad cerrada y suave es homeomorfa a un conjunto algebraico real totalmente algebraico. ^[62]
• Solución de Schmüdgen de 1991 del problema del momento multidimensional para conjuntos semialgebraicos compactos y positivstellensatz estricto relacionado. ^[63] Prueba algebraica encontrada por Wörmann. ^[64] Implica la versión de Reznick del teorema de Artin con denominadores uniformes. ^[65]
• En 1992, Akbulut y King demostraron versiones ambientales del teorema de Nash-Tognoli: cada subvariedad cerrada y suave de R ⁿ es isotópica a los puntos no singulares (componentes) de un subconjunto algebraico real de R ⁿ , y extendieron este resultado a subvariedades inmersas de R ⁿ . ^{[66] [67]}
• 1992 Benedetti y Marin demostraron que cada variedad compacta cerrada y lisa de 3 dimensiones M puede obtenerse mediante una secuencia de subidas y bajadas a lo largo de centros lisos, y que M es homeomorfa a una variedad racional algebraica real afín posiblemente singular ^[68] ${\displaystyle S^{3}}$
• 1997 Bierstone y Milman demostraron un teorema de resolución canónica de singularidades ^[69]
• 1997 Mikhalkin demostró que cada variedad n cerrada y lisa puede obtenerse mediante una secuencia de subidas y bajadas topológicas ^[70] ${\displaystyle S^{n}}$
• 1998 János Kollár demostró que no toda variedad 3 cerrada es una variedad 3 real proyectiva que sea biracional a RP ^{3 [71]}
• Principio local-global de Scheiderer de 2000 y extensión no estricta relacionada del positivstellensatz de Schmüdgen en dimensiones ≤ 2. ^{[72] [73] [74]}
• 2000 János Kollár demostró que cada variedad 3-cerrada y lisa es la parte real de una variedad compleja compacta que puede obtenerse mediante una secuencia de explosiones y explosiones reales. ^[75] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$
• 2003 Welschinger introduce un invariante para contar curvas racionales reales ^[76]
• 2005 Akbulut y King demostraron que no todo subconjunto algebraico real no singular de RP ⁿ es suavemente isotópico a la parte real de un subconjunto algebraico complejo no singular de CP ^{n [77] [78]}

Referencias

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Notas

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Enlaces externos

• El papel de los problemas de Hilbert en la geometría algebraica real (PostScript)
• Servidor de preimpresiones de geometría analítica y algebraica real