σ-álgebra

Estructura algebraica del álgebra de conjuntos.

En análisis matemático y en teoría de probabilidad , un σ-álgebra (también σ-campo ) en un conjunto X es una colección no vacía Σ de subconjuntos de X cerrados bajo complemento , uniones contables e intersecciones contables . El par ordenado se llama espacio medible . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

Las σ-álgebras son un subconjunto de las álgebras de conjuntos ; Los elementos de este último solo necesitan cerrarse bajo la unión o intersección de un número finito de subconjuntos, lo cual es una condición más débil. ^[1]

El uso principal de las σ-álgebras es en la definición de medidas ; específicamente, la colección de aquellos subconjuntos para los cuales se define una medida determinada es necesariamente una σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como base para la integración de Lebesgue , y en la teoría de la probabilidad , donde se interpreta como el conjunto de eventos a los que se les pueden asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de expectativa condicional .

En estadística , se necesitan (sub) σ-álgebras para la definición matemática formal de una estadística suficiente , ^[2] particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.

Si una posible σ-álgebra es ¿dónde está el conjunto vacío ? En general, un álgebra finita es siempre una σ-álgebra. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Si es una partición contable de entonces la colección de todas las uniones de conjuntos en la partición (incluido el conjunto vacío) es una σ-álgebra. ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo más útil es el conjunto de subconjuntos de la recta real formado comenzando con todos los intervalos abiertos y sumando todas las uniones contables, intersecciones contables y complementos relativos y continuando este proceso (mediante iteración transfinita a través de todos los ordinales contables ) hasta el cierre relevante. Se logran propiedades (una construcción conocida como jerarquía de Borel ).

Motivación

Hay al menos tres motivadores clave para las σ-álgebras: definir medidas, manipular límites de conjuntos y gestionar información parcial caracterizada por conjuntos.

Medida

Se puede considerar que una medida es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de esto para precisar una noción de "tamaño" o "volumen" para conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjuntos sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjuntos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$

A uno le gustaría asignar un tamaño a cada subconjunto , pero en muchos entornos naturales esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que cuando el tamaño bajo consideración es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la línea real, entonces existen conjuntos para los cuales no existe tamaño, por ejemplo, los conjuntos de Vitali . Por esta razón, se considera en cambio una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de. Estos subconjuntos se denominarán conjuntos medibles. Están cerrados bajo operaciones que uno esperaría para conjuntos mensurables, es decir, el complemento de un conjunto mensurable es un conjunto mensurable y la unión contable de conjuntos mensurables es un conjunto mensurable. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades se denominan σ-álgebras. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Límites de conjuntos

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura , implican límites de secuencias de conjuntos . Para ello, el cierre de uniones e intersecciones contables es primordial. Los límites establecidos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite supremo o límite exterior de una secuencia de subconjuntos de es ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$
  Consta de todos los puntos que están en una cantidad infinita de estos conjuntos (o de manera equivalente, que están en una cantidad infinita de ellos). Es decir, si y sólo si existe una subsecuencia infinita (donde ) de conjuntos que contienen todos ellos, tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• El límite mínimo o límite interno de una secuencia de subconjuntos de es ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$
  Consiste en todos los puntos que están en todos menos en un número finito de estos conjuntos (o de manera equivalente, que finalmente están en todos ellos). Es decir, si y sólo si existe un índice tal que todos contengan eso, tal que ${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

El límite interior es siempre un subconjunto del límite exterior:

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

Sub σ-álgebras

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando se trata de expectativas condicionales , nos preocupamos por conjuntos que representan sólo una parte de toda la información posible que puede observarse. Esta información parcial se puede caracterizar con una σ-álgebra más pequeña que es un subconjunto de la σ-álgebra principal; Consiste en la colección de subconjuntos relevantes únicamente y determinados únicamente por la información parcial. Un ejemplo sencillo basta para ilustrar esta idea.

Imagínese que usted y otra persona están apostando en un juego que implica lanzar una moneda al aire repetidamente y observar si sale Cara ( ) o Cruz ( ). Dado que tú y tu oponente sois infinitamente ricos, no hay límite en cuanto a la duración del juego. Esto significa que el espacio muestral Ω debe consistir en todas las secuencias infinitas posibles de o ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

Sin embargo, después de lanzar la moneda al aire, es posible que desees determinar o revisar tu estrategia de apuestas antes del siguiente lanzamiento. La información observada en ese punto se puede describir en términos de las 2 ⁿ posibilidades para los primeros lanzamientos. Formalmente, dado que es necesario utilizar subconjuntos de Ω, esto se codifica como σ-álgebra ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}.}$$

Observa que entonces

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },}$$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Definición y propiedades

Definición

Sea un conjunto y represente su conjunto potencia . Entonces un subconjunto se llama σ-álgebra si y sólo si satisface las siguientes tres propiedades: ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$está en y se considera el conjunto universal en el siguiente contexto. ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo complementación : si algún conjunto está dentro , también lo está su complemento , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo uniones contables : si están dentro , entonces también lo está ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

De estas propiedades se deduce que el álgebra σ también está cerrada en intersecciones contables (aplicando las leyes de De Morgan ).

También se deduce que el conjunto vacío está en ya que por (1) está en y (2) afirma que su complemento, el conjunto vacío, también está en Además, dado que también satisface la condición (3) , se deduce que es el más pequeño posible σ-álgebra en La mayor σ-álgebra posible en es ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X).}$

Los elementos del σ-álgebra se denominan conjuntos medibles . Un par ordenado donde es un conjunto y es un álgebra σ se llama espacio medible . Una función entre dos espacios medibles se llama función medible si la preimagen de cada conjunto medible es mensurable. La colección de espacios mensurables forma una categoría , con las funciones mensurables como morfismos . Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones desde un álgebra σ hasta ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Un σ-álgebra es a la vez un sistema π y un sistema Dynkin (sistema λ). Lo contrario también es cierto, según el teorema de Dynkin (ver más abajo).

Teorema π-λ de Dynkin

Este teorema (o el teorema de clase monótono relacionado ) es una herramienta esencial para demostrar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Aprovecha la naturaleza de dos clases de conjuntos más simples, a saber, las siguientes.

• Un sistema π es una colección de subconjuntos de que está cerrado bajo un número finito de intersecciones, y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$
• Un sistema Dynkin (o sistema λ) es una colección de subconjuntos de que contiene y está cerrado bajo complemento y bajo uniones contables de subconjuntos disjuntos . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema π-λ de Dynkin dice que si es un sistema π y es un sistema Dynkin que contiene, entonces el álgebra σ generada por está contenida en Dado que ciertos sistemas π son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos disfrutar de la propiedad bajo consideración y, por otro lado, demostrar que la colección de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema Dynkin también puede ser sencillo. El teorema π-λ de Dynkin implica entonces que todos los conjuntos en disfrutan de la propiedad, evitando la tarea de comprobar si es un conjunto arbitrario en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P).}$

Uno de los usos más fundamentales del teorema π-λ es mostrar la equivalencia de medidas o integrales definidas por separado. Por ejemplo, se utiliza para equiparar una probabilidad de una variable aleatoria con la integral de Lebesgue-Stieltjes típicamente asociada con el cálculo de la probabilidad: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$

función de distribución acumulativamedida de probabilidadespacio muestral ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Combinando σ-álgebras

Supongamos que es una colección de σ-álgebras en un espacio ${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Encontrarse

La intersección de una colección de σ-álgebras es una σ-álgebra. Para enfatizar su carácter de σ-álgebra, a menudo se denota por:

$${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

Bosquejo de la prueba: Denotemos la intersección. Dado que está en cada uno, no está vacío. El cierre bajo complemento y uniones contables para cada implica que lo mismo debe ser cierto para Por lo tanto, es un σ-álgebra. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Unirse

La unión de una colección de σ-álgebras no es generalmente una σ-álgebra, ni siquiera un álgebra, pero genera una σ-álgebra conocida como unión, que normalmente se denota

$${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$

Bosquejo de la prueba: ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$

$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$

$${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$

generada

$${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$

$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

σ-álgebras para subespacios

Supongamos que es un subconjunto de y sea un espacio mensurable. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• La colección es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que es un espacio mensurable. La colección es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$ ${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ ${\displaystyle X.}$

Relación con el anillo σ

Un σ -álgebra es simplemente un σ -anillo que contiene el conjunto universal ^[4] Un σ -anillo no necesita ser un σ -álgebra, como por ejemplo los subconjuntos medibles de medida de Lebesgue cero en la línea real son un σ -anillo, pero no es un σ -álgebra ya que la línea real tiene medida infinita y, por lo tanto, no puede obtenerse mediante su unión contable. Si, en lugar de medida cero, se toman subconjuntos mensurables de medida finita de Lebesgue, esos son un anillo pero no un σ -anillo, ya que la línea real se puede obtener mediante su unión contable pero su medida no es finita. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$

nota tipográfica

Las σ -álgebras a veces se denotan utilizando letras mayúsculas caligráficas o el tipo de letra Fraktur . Por lo tanto, puede denotarse como o ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Casos particulares y ejemplos

σ-álgebras separables

Un álgebra separable ${\displaystyle \sigma }$ (o campo separable ${\displaystyle \sigma }$ ) es un álgebra que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica para y una medida finita dada (y siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[5] Cualquier -álgebra generada por una colección contable de conjuntos es separable, pero no es necesario que se cumpla lo contrario. Por ejemplo, el álgebra de Lebesgue es separable (ya que cada conjunto medible de Lebesgue es equivalente a algún conjunto de Borel) pero no se genera contablemente (ya que su cardinalidad es mayor que el continuo). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Un espacio de medida separable tiene una pseudométrica natural que lo hace separable como un espacio pseudométrico . La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica de los dos conjuntos. La diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener medida cero; por lo tanto, la pseudométrica definida anteriormente no tiene por qué ser una métrica verdadera. Sin embargo, si los conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero se identifican en una única clase de equivalencia , el conjunto cociente resultante puede metrizarse adecuadamente mediante la métrica inducida. Si el espacio de medidas es separable, se puede demostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Ejemplos simples basados ​​en conjuntos

Sea cualquier conjunto. ${\displaystyle X}$

• La familia que consta únicamente del conjunto vacío y el conjunto llamado σ-álgebra mínima o trivial sobre ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• El conjunto potencia de llamado σ-álgebra discreta . ${\displaystyle X,}$
• La colección es una σ-álgebra simple generada por el subconjunto ${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$ ${\displaystyle A.}$
• La colección de subconjuntos de los cuales son contables o cuyos complementos son contables es una σ-álgebra (que es distinta del conjunto potencia de si y solo si es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los singletons de Nota: "contable" incluye finito o vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• La colección de todas las uniones de conjuntos en una partición contable de es una σ-álgebra. ${\displaystyle X}$

Detener el tiempo sigma-álgebras

Un tiempo de parada puede definir un álgebra, el llamado álgebra sigma del tiempo de parada , que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, el máxima información que se puede obtener sobre el experimento repitiéndolo arbitrariamente con frecuencia hasta que llegue el momento ^[6] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

σ-álgebras generadas por familias de conjuntos

σ-álgebra generada por una familia arbitraria

Sea una familia arbitraria de subconjuntos de Entonces existe una σ-álgebra única y más pequeña que contiene todos los conjuntos (aunque pueda o no ser en sí misma una σ-álgebra). De hecho, es la intersección de todas las σ-álgebras que contienen (ver intersecciones de σ-álgebras arriba). Esta σ-álgebra se denota y se llama σ-álgebra generada por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle F.}$

Si está vacío, entonces , de lo contrario, consta de todos los subconjuntos de que se pueden formar a partir de elementos de mediante un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

Para un ejemplo simple, considere el conjunto Entonces, el álgebra σ generada por el subconjunto único es Por un abuso de notación , cuando una colección de subconjuntos contiene solo un elemento, puede escribirse en lugar de en el ejemplo anterior en lugar de De hecho, usando para La media también es bastante común. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (\{A\});}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

Hay muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Algunos de estos se presentan aquí.

σ-álgebra generada por una función

Si es una función de un conjunto a un conjunto y es un -álgebra de subconjuntos de entonces el -álgebra generada por la función denotada por es la colección de todas las imágenes inversas de los conjuntos en Es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \sigma (f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B.}$

$${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

Una función de un conjunto a un conjunto es medible con respecto a un σ-álgebra de subconjuntos de si y sólo si es un subconjunto de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Una situación común, y que se entiende por defecto si no se especifica explícitamente, es cuando se trata de un espacio métrico o topológico y es la colección de conjuntos de Borel sobre ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es una función desde hasta entonces es generada por la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos/rectángulos en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$

$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Una propiedad útil es la siguiente. Supongamos que es un mapa medible desde a y es un mapa medible desde hasta Si existe un mapa medible desde hasta tal que para todos entonces If es finito o contablemente infinito o, más generalmente, es un espacio Borel estándar (por ejemplo, un espacio completo separable espacio métrico con sus conjuntos de Borel asociados), entonces lo contrario también es cierto. ^[7] Ejemplos de espacios de Borel estándar incluyen sus conjuntos de Borel y el cilindro σ-álgebra que se describe a continuación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

Borel y Lebesgue σ-álgebras

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico : el σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, por los conjuntos cerrados ). Esta σ-álgebra no es, en general, el conjunto de potencias completo. Para ver un ejemplo no trivial que no es un conjunto de Borel, consulte el conjunto de Vitali o los conjuntos sin Borel .

En el espacio euclidiano otra σ-álgebra es importante: la de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue . Esta σ-álgebra contiene más conjuntos que la σ-álgebra de Borel y se prefiere en la teoría de la integración , ya que proporciona un espacio de medida completo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Producto σ-álgebra

Sean y dos espacios mensurables. El σ-álgebra para el espacio de producto correspondiente se llama producto σ-álgebra y está definido por ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

$${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Observe que es un sistema π. ${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

El álgebra σ de Borel para se genera mediante rectángulos semienfinitos y rectángulos finitos. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Para cada uno de estos dos ejemplos, la familia generadora es un sistema π.

σ-álgebra generada por conjuntos de cilindros

Suponer

$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

es un conjunto de funciones de valor real. Denotemos los subconjuntos de Borel de Un subconjunto de cilindros de es un conjunto finitamente restringido definido como ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

Cada

$${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$

${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$

cilindro σ-álgebratopología del producto ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle X.}$

Un caso especial importante es cuando es un conjunto de números naturales y es un conjunto de secuencias de valores reales. En este caso basta con considerar los juegos de cilindros. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$

$${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

Bola σ-álgebra

La σ-álgebra de bolas es la σ-álgebra más pequeña que contiene todas las bolas abiertas (y/o cerradas). Esto nunca es mayor que el σ-álgebra de Borel . Tenga en cuenta que las dos σ-álgebra son iguales para espacios separables. Para algunos espacios no separables, algunos mapas son medibles con bola aunque no sean medibles con Borel, lo que hace que el uso del álgebra σ de bola sea útil en el análisis de dichos mapas. ^[8]

σ-álgebra generada por variable aleatoria o vector

Supongamos que es un espacio de probabilidad . Si es medible con respecto al álgebra σ de Borel, entonces se llama variable aleatoria ( ) o vector aleatorio ( ). La σ-álgebra generada por es ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

σ-álgebra generada por un proceso estocástico

Supongamos que es un espacio de probabilidad y que el conjunto de funciones con valores reales de If es medible con respecto al cilindro σ-álgebra (ver arriba) pues entonces se llama proceso estocástico o proceso aleatorio . La σ-álgebra generada por es ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

Ver también

• Función medible  : función para la cual la preimagen de un conjunto mensurable es mensurable
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados o resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• Función de conjunto aditivo sigma  – Función de mapeo
• Anillo sigma  : anillo cerrado bajo uniones contables

Referencias

1. "Probabilidad, Estadística Matemática, Procesos Estocásticos". Aleatorio . Universidad de Alabama en Huntsville, Departamento de Ciencias Matemáticas . Consultado el 30 de marzo de 2016 .
2. Billingsley, Patricio (2012). Probabilidad y medida (edición de aniversario). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
3. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054234-1.
4. Vestrup, Eric M. (2009). La Teoría de las Medidas y la Integración . John Wiley e hijos. pag. 12.ISBN _ 978-0-470-31795-2.
5. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). «Propiedades de la clase de medida espacios compactos separables» (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. Si es una medida de Borel en el álgebra de medidas de es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo -conjuntos nulos. Si es finito, entonces dicho álgebra de medidas es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces decimos que es separable si y sólo si este espacio métrico es separable como espacio topológico. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
6. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Cartas de Estadística y Probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.
7. Kallenberg, Olav (2001). Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.). Saltador . pag. 7.ISBN _ 0-387-95313-2.
8. van der Vaart, AW y Wellner, JA (1996). Convergencia débil y procesos empíricos. En Springer Series en Estadística. Springer Nueva York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

enlaces externos

• "Álgebra de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Álgebra Sigma de PlanetMath.