Juego de cilindros

En matemáticas , los conjuntos de cilindros forman una base de la topología del producto sobre un producto de conjuntos; también son una familia generadora del cilindro σ-álgebra .

Definición general

Dada una colección de conjuntos, considere el producto cartesiano de todos los conjuntos de la colección. La proyección canónica correspondiente a algunos es la función que asigna cada elemento del producto a su componente. Un conjunto de cilindros es una preimagen de una proyección canónica o una intersección finita de dichas preimágenes. Explícitamente, es un conjunto de la forma, ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ ${\displaystyle Y\in S}$ ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}}$$

subconjuntos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Luego, cuando todos los conjuntos son espacios topológicos , la topología del producto se genera mediante conjuntos de cilindros correspondientes a los conjuntos abiertos de los componentes. Es decir, cilindros de la forma donde para cada uno , está abierto . De la misma manera, en el caso de espacios medibles, el cilindro σ-álgebra es el que se genera mediante conjuntos de cilindros correspondientes a los conjuntos medibles de los componentes. ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

La restricción de que el conjunto de cilindros sea la intersección de un número finito de cilindros abiertos es importante; permitir intersecciones infinitas generalmente da como resultado una topología más fina . En este último caso, la topología resultante es la topología de caja ; Los conjuntos de cilindros nunca son cubos de Hilbert .

Juegos de cilindros en productos de juegos discretos.

Sea un conjunto finito que contenga n objetos o letras . La colección de todas las cadenas bi-infinitas en estas letras se denota por ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$

$${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$$

La topología natural es la topología discreta . Los conjuntos abiertos básicos en la topología discreta constan de letras individuales; por lo tanto, los cilindros abiertos de la topología del producto son ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$$

Las intersecciones de un número finito de cilindros abiertos son los conjuntos de cilindros.

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$$

Los juegos de cilindros son juegos abiertos . Como elementos de la topología, los conjuntos de cilindros son por definición conjuntos abiertos. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, pero el complemento de un conjunto de cilindros es una unión de cilindros, por lo que los conjuntos de cilindros también son cerrados y, por tanto, abiertos.

Definición de espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial finito o de dimensión infinita sobre un campo K (como los números reales o complejos ), los conjuntos de cilindros pueden definirse como ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}}$$

Borel establecidofuncional linealespacio dual algebraicoespacios vectoriales topológicosespacio dual continuo ${\displaystyle A\subset K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V')^{\otimes n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Aplicaciones

Los conjuntos de cilindros se utilizan a menudo para definir una topología en conjuntos que son subconjuntos y ocurren con frecuencia en el estudio de la dinámica simbólica ; consulte, por ejemplo, subdesplazamiento de tipo finito . Los conjuntos de cilindros se utilizan a menudo para definir una medida , utilizando el teorema de extensión de Kolmogorov ; por ejemplo, la medida de un conjunto de cilindros de longitud m podría estar dada por 1/ mo por 1/2 ^m . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Se pueden utilizar conjuntos de cilindros para definir una métrica en el espacio: por ejemplo, se dice que dos cadenas están ε-cercas si una fracción 1−ε de las letras de las cadenas coinciden.

Dado que las cadenas pueden considerarse números p -ádicos , parte de la teoría de los números p -ádicos se puede aplicar a conjuntos de cilindros y, en particular, la definición de medidas p -ádicas y métricas p -ádicas se aplican a conjuntos de cilindros. Este tipo de espacios de medidas aparecen en la teoría de sistemas dinámicos y se denominan odómetros no singulares . Una generalización de estos sistemas es el odómetro de Markov . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Los conjuntos de cilindros sobre espacios vectoriales topológicos son el ingrediente central en la definición ^{[ cita requerida ] de} espacios abstractos de Wiener , que proporcionan la definición formal de la integral de trayectoria de Feynman o integral funcional de la teoría cuántica de campos , y la función de partición de la mecánica estadística .

Ver también

• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Medida de conjunto de cilindros  : forma de generar una medida sobre espacios de productosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• σ-álgebra cilíndrica
• Proyección (teoría de conjuntos)  : uno de los dos tipos de funciones u operaciones estrechamente relacionados en la teoría de conjuntosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ultraproduct  – Construcción matemática

Referencias

• RA Minlos (2001) [1994], "Cylinder Set", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press