Odómetro de Markov

En matemáticas, un odómetro de Markov es un tipo de sistema dinámico topológico . Desempeña un papel fundamental en la teoría ergódica y, especialmente, en la teoría de órbitas de sistemas dinámicos , ya que un teorema de H. Dye afirma que toda transformación ergódica no singular es equivalente en órbita a un odómetro de Markov. ^[1]

El ejemplo básico de este tipo de sistema es el "odómetro no singular", que es un grupo topológico aditivo definido en el espacio de productos de espacios discretos , inducido por la adición definida como , donde . Este grupo puede estar dotado de la estructura de un sistema dinámico ; el resultado es un sistema dinámico conservativo . ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$

La forma general, denominada "odómetro de Markov", se puede construir a través del diagrama de Bratteli-Vershik para definir el espacio compactum de Bratteli-Vershik junto con una transformación correspondiente.

Odómetros no singulares

Se pueden definir varios tipos de odómetros no singulares. ^[2] A veces se los denomina máquinas sumadoras . ^[3] El más simple se ilustra con el proceso de Bernoulli . Este es el conjunto de todas las cadenas infinitas en dos símbolos, aquí denotados por dotados de la topología de producto . Esta definición se extiende naturalmente a un odómetro más general definido en el espacio de producto . ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

para alguna secuencia de números enteros con cada uno ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

El odómetro para todos se denomina odómetro diádico , máquina sumadora de von Neumann-Kakutani o máquina sumadora diádica . ${\displaystyle k_{n}=2}$ ${\displaystyle n}$

La entropía topológica de cada máquina sumadora es cero. ^[3] Cualquier mapa continuo de un intervalo con una entropía topológica de cero es topológicamente conjugado a una máquina sumadora, cuando se restringe a su acción sobre el conjunto transitivo topológicamente invariante, con órbitas periódicas eliminadas. ^[3]

Odómetro diádico

Odómetro diádico visualizado como una transformación de intercambio de intervalo con el mapeo ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.}$

Odómetro diádico iterado dos veces; es decir ${\displaystyle T^{2}.}$

Odómetro diádico iterado tres veces; es decir ${\displaystyle T^{3}.}$

Odómetro diádico iterado cuatro veces; es decir ${\displaystyle T^{4}.}$

El conjunto de todas las cadenas infinitas en cadenas en dos símbolos tiene una topología natural, la topología del producto , generada por los conjuntos de cilindros . La topología del producto se extiende a una sigma-álgebra de Borel ; sea α la que denotemos esa álgebra. Los puntos individuales se denotan como ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}$

El proceso de Bernoulli está convencionalmente dotado de una colección de medidas , las medidas de Bernoulli, dadas por y , para algún independiente de . El valor de es bastante especial; corresponde al caso especial de la medida de Haar , cuando se considera como un grupo abeliano compacto . ¡Obsérvese que la medida de Bernoulli no es la misma que la medida 2-ádica en los enteros diádicos ! Formalmente, se puede observar que también es el espacio base para los enteros diádicos; sin embargo, los enteros diádicos están dotados de una métrica , la métrica p-ádica, que induce una topología métrica distinta de la topología de producto utilizada aquí. ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p}$ ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

El espacio puede estar dotado de adición, definida como adición de coordenadas, con un bit de acarreo. Es decir, para cada coordenada, sea donde y ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}}$

inductivamente. El incremento en uno se denomina entonces odómetro (diádico) . Es la transformación dada por , donde . Se llama odómetro debido a cómo se ve cuando "da vueltas": es la transformación . Nótese que y que es -medible, es decir, para todos ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$ ${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

La transformación no es singular para cada . Recordemos que una transformación medible no es singular cuando, dado , se tiene que si y solo si . En este caso, se encuentra ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }}$

donde . Por lo tanto, no es singular con respecto a . ${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$

La transformación es ergódica . Esto se deduce porque, para cada número natural y , la órbita de debajo es el conjunto . Esto a su vez implica que es conservativa , ya que toda transformación ergódica no singular invertible en un espacio no atómico es conservativa. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$ ${\displaystyle T}$

Téngase en cuenta que para el caso especial de , se trata de un sistema dinámico que preserva la medida . ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$

Odómetros enteros

La misma construcción permite definir un sistema de este tipo para cada producto de espacios discretos . En general, se escribe

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

para con un entero. La topología del producto se extiende naturalmente al álgebra sigma del producto de Borel en . Una medida del producto en se define convencionalmente como dada alguna medida en . La función correspondiente se define por ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )}$

donde es el índice más pequeño para el cual . Este es nuevamente un grupo topológico. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$

Un caso especial de esto es el odómetro de Ornstein , que se define en el espacio

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

con la medida un producto de

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}}$

Modelo de pila de arena

Un concepto estrechamente relacionado con el odómetro conservador es el del modelo de pila de arena abeliano . Este modelo reemplaza la secuencia lineal dirigida de grupos finitos construida anteriormente por un grafo no dirigido de vértices y aristas. En cada vértice se coloca un grupo finito con el grado del vértice . Las funciones de transición se definen mediante el grafo Laplaciano . Es decir, se puede incrementar cualquier vértice dado en uno; al incrementar el elemento de grupo más grande (de modo que vuelva a incrementarse hasta cero), cada uno de los vértices vecinos se incrementa en uno. ${\displaystyle (V,E)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=deg(v)}$ ${\displaystyle v}$

Los modelos de pila de arena difieren de la definición anterior de un odómetro conservador en tres formas diferentes. Primero, en general, no hay un vértice único señalado como el vértice de inicio, mientras que en el modelo anterior, el primer vértice es el vértice de inicio; es el que se incrementa por la función de transición. Luego, los modelos de pila de arena en general usan aristas no dirigidas, de modo que la envoltura del odómetro se redistribuye en todas las direcciones. Una tercera diferencia es que los modelos de pila de arena generalmente no se toman en un grafo infinito, y que en su lugar, hay un vértice especial señalado, el "sumidero", que absorbe todos los incrementos y nunca se envuelve. El sumidero es equivalente a cortar las partes infinitas de un grafo infinito y reemplazarlas por el sumidero; alternativamente, es ignorar todos los cambios más allá de ese punto de terminación.

Odómetro de Markov

Sea un diagrama de Bratteli-Vershik ordenado , que consta de un conjunto de vértices de la forma (unión disjunta) donde es un singleton y de un conjunto de aristas (unión disjunta). ${\displaystyle B=(V,E)}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

El diagrama incluye aplicaciones de sobreyección de origen y aplicaciones de sobreyección de rango . Suponemos que son comparables si y solo si . ${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$ ${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$ ${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$ ${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$

Para este diagrama, consideramos el espacio de producto equipado con la topología de producto . Definimos "Bratteli–Vershik compactum" como el subespacio de caminos infinitos, ${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

Supóngase que existe solo un camino infinito para el cual cada uno es máximo y, de manera similar, un camino infinito . Defina la "mapa de Bratteli-Vershik" mediante y, para cualquier definición , donde es el primer índice para el cual no es máximo y, en consecuencia, sea el único camino para el cual son todos máximos y es el sucesor de . Entonces es el homeomorfismo de . ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$ ${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$ ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$ ${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$ ${\displaystyle y_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle X_{B}}$

Sea una secuencia de matrices estocásticas tales que si y solo si . Defina "medida de Markov" en los cilindros de por . Entonces el sistema se denomina "odómetro de Markov". ${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$ ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$ ${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$ ${\displaystyle v=s_{n}(e)}$ ${\displaystyle X_{B}}$ ${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$

Se puede demostrar que el odómetro no singular es un odómetro de Markov donde todos son singletons. ${\displaystyle V^{(n)}}$

Véase también

• Modelo de pila de arena abeliana

Referencias

1. Dooley, AH; Hamachi, T. (2003). "Sistemas dinámicos no singulares, diagramas de Bratteli y odómetros de Markov". Revista israelí de matemáticas . 138 : 93–123. doi : 10.1007/BF02783421 .
2. Danilenko, Alexander I.; Silva, Cesar E. (2011). "Teoría ergódica: transformaciones no singulares". En Meyers, Robert A. (ed.). Matemáticas de la complejidad y sistemas dinámicos . Springer. arXiv : 0803.2424 . doi : 10.1007/978-1-4614-1806-1_22 .
3. Nicol, Matthew; Petersen, Karl (2009). "Teoría ergódica: ejemplos básicos y construcciones" (PDF) . Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas . Springer. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_177. ISBN 978-0-387-30440-3.

Lectura adicional

• Aaronson, J. (1997). Introducción a la teoría ergódica infinita . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 50. American Mathematical Society . Págs. 25–32. ISBN. 9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). "Odómetros de Markov". En Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de investigación y minicursos presentados en la conferencia internacional y taller estadounidense-ucraniano sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21-30 de agosto de 2000. Londres. Math. Soc. Lect. Note Ser. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 60-80. ISBN 0-521-53365-1.Zbl 1063.37005  .