Modelo de pila de arena abeliana

Autómata celular

Elemento de identidad del grupo de pilas de arena de una cuadrícula rectangular. Los píxeles amarillos corresponden a los vértices que contienen tres partículas, los lilas a dos partículas, los verdes a una y los negros a cero.

El modelo de pila de arena abeliano (ASM) es el nombre más popular del modelo original de Bak–Tang–Wiesenfeld (BTW). El modelo BTW fue el primer ejemplo descubierto de un sistema dinámico que muestra criticidad autoorganizada . Fue introducido por Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld en un artículo de 1987. ^[1]

Tres años más tarde, Deepak Dhar descubrió que el modelo de pila de arena BTW sigue una dinámica abeliana y, por lo tanto, se refirió a este modelo como el modelo de pila de arena abeliano. ^[2]

El modelo es un autómata celular . En su formulación original, cada sitio en una cuadrícula finita tiene un valor asociado que corresponde a la pendiente de la pila. Esta pendiente se acumula a medida que se colocan aleatoriamente "granos de arena" (o "astillas") sobre la pila, hasta que la pendiente excede un valor umbral específico, momento en el que ese sitio colapsa transfiriendo arena a los sitios adyacentes, aumentando su pendiente. Bak, Tang y Wiesenfeld consideraron un proceso de colocación aleatoria sucesiva de granos de arena en la cuadrícula; cada colocación de arena en un sitio en particular puede no tener efecto, o puede causar una reacción en cascada que afectará a muchos sitios.

Dhar ha demostrado que la configuración estable final del montón de arena después de que termina la avalancha, es independiente de la secuencia precisa de derribos que se siguen durante la avalancha. Como consecuencia directa de este hecho, se muestra que si se agregan dos granos de arena a la configuración estable en dos órdenes diferentes, por ejemplo, primero en el sitio A y luego en el sitio B, y primero en B y luego en A, la configuración estable final de los granos de arena resulta ser exactamente la misma. Cuando se agrega un grano de arena a una configuración estable de montón de arena, da como resultado una avalancha que finalmente se detiene y conduce a otra configuración estable. Dhar propuso que la adición de un grano de arena puede considerarse un operador, cuando actúa sobre una configuración estable, produce otra configuración estable. Dhar mostró que todos estos operadores de adición forman un grupo abeliano, de ahí el nombre de modelo de montón de arena abeliano. ^{[3] [4]} Desde entonces, el modelo se ha estudiado en la red infinita, en otras redes (no cuadradas) y en grafos arbitrarios (incluidos los multigrafos dirigidos ). ^[5] Está estrechamente relacionado con el juego del dólar , una variante del juego de fichas introducido por Biggs. ^[6]

Definición (cuadrículas rectangulares)

El modelo de pila de arena es un autómata celular definido originalmente en una cuadrícula rectangular ( damero ) de la red cuadrada estándar . A cada vértice ( lado , campo ) de la cuadrícula, asociamos un valor ( granos de arena , pendiente , partículas ) , al que denominamos configuración (inicial) de la pila de arena. ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }}$

La dinámica del autómata en la iteración se define entonces de la siguiente manera: ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

1. Elija un vértice aleatorio de acuerdo con alguna distribución de probabilidad (generalmente uniforme). ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Gamma }$
2. Agregue un grano de arena a este vértice mientras deja sin cambios los números de grano de todos los demás vértices, es decir, establezca y para todos .
   ${\displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$
   ${\displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\neq (x_{i},y_{i})}$
3. Si todos los vértices son estables , es decir, para todos , también se dice que la configuración es estable. En este caso, se continúa con la siguiente iteración. ${\displaystyle z_{i}(x,y)<4}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{i}}$
4. Si al menos un vértice es inestable , es decir, para algún , se dice que toda la configuración es inestable. En este caso, elija cualquier vértice inestable al azar. Derribe este vértice reduciendo su número de grano en cuatro y aumentando el número de grano de cada uno de sus (cuatro como máximo) vecinos directos en uno, es decir, establezca , y si . Si un vértice en el límite del dominio se derrumba, esto da como resultado una pérdida neta de granos (dos granos en la esquina de la cuadrícula, un grano en el resto). ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4}$ ${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1}$ ${\displaystyle (x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma }$
   
5. Debido a la redistribución de los granos, el derribo de un vértice puede hacer que los demás vértices se vuelvan inestables. Por lo tanto, repita el procedimiento de derribo hasta que todos los vértices se vuelvan estables y continúe con la siguiente iteración. ${\displaystyle z_{i}}$

El derribo de varios vértices durante una iteración se denomina avalancha . Se garantiza que cada avalancha se detendrá eventualmente, es decir, después de un número finito de derribos se alcanza una configuración estable tal que el autómata está bien definido. Además, aunque a menudo habrá muchas opciones posibles para el orden en el que derribar vértices, la configuración estable final no depende del orden elegido; este es un sentido en el que el montón de arena es abeliano . De manera similar, el número de veces que cada vértice se derrumba durante cada iteración también es independiente de la elección del orden de derribo.

Definición (multigrafos finitos no dirigidos)

Para generalizar el modelo de pila de arena de la cuadrícula rectangular de la red cuadrada estándar a un multigrafo finito arbitrario no dirigido , se especifica un vértice especial llamado sumidero que no puede volcarse. Una configuración (estado) del modelo es entonces una función que cuenta el número no negativo de granos en cada vértice que no es sumidero. Un vértice que no es sumidero con ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v\in V\setminus \{s\}}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg(v)}$

es inestable; puede volcarse, lo que envía uno de sus granos a cada uno de sus vecinos (no hundidos):

${\displaystyle z(v)\to z(v)-\deg(v)}$

${\displaystyle z(u)\to z(u)+1}$para todos , . ${\displaystyle u\sim v}$ ${\displaystyle u\neq s}$

El autómata celular luego progresa como antes, es decir, añadiendo, en cada iteración, una partícula a un vértice no hundido elegido aleatoriamente y cayendo hasta que todos los vértices sean estables.

La definición del modelo de pila de arena dada anteriormente para cuadrículas rectangulares finitas de la red cuadrada estándar puede verse entonces como un caso especial de esta definición: considere el gráfico que se obtiene de añadiendo un vértice adicional, el sumidero, y dibujando aristas adicionales desde el sumidero hasta cada vértice límite de tal que el grado de cada vértice que no sea sumidero de sea cuatro. De esta manera, también se pueden definir modelos de pila de arena en cuadrículas no rectangulares de la red cuadrada estándar (o de cualquier otra red): Intersecar algún subconjunto acotado de con . Contraer cada arista de cuyos dos puntos finales no estén en . El único vértice restante fuera de entonces constituye el sumidero del gráfico de pila de arena resultante. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$

Configuraciones transitorias y recurrentes

En la dinámica del autómata de pila de arena definido anteriormente, algunas configuraciones estables ( para todos ) aparecen infinitamente a menudo, mientras que otras solo pueden aparecer un número finito de veces (si es que aparecen). Las primeras se denominan configuraciones recurrentes , mientras que las últimas se denominan configuraciones transitorias . Las configuraciones recurrentes consisten, por tanto, en todas las configuraciones estables no negativas a las que se puede llegar desde cualquier otra configuración estable añadiendo repetidamente granos de arena a los vértices y derribando. Es fácil ver que la configuración mínimamente estable , donde cada vértice lleva granos de arena, es alcanzable desde cualquier otra configuración estable (añadir granos a cada vértice). Por tanto, de forma equivalente, las configuraciones recurrentes son exactamente aquellas configuraciones a las que se puede llegar desde la configuración mínimamente estable añadiendo únicamente granos de arena y estabilizándose. ${\displaystyle 0\leq z(v)<4}$ ${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z_{m}}$ ${\displaystyle z_{m}(v)=deg(v)-1}$ ${\displaystyle deg(v)-z(v)-1\geq 0}$

No todas las configuraciones estables no negativas son recurrentes. Por ejemplo, en cada modelo de pila de arena en un grafo que consta de al menos dos vértices no sumideros conectados, cada configuración estable donde ambos vértices llevan cero granos de arena es no recurrente. Para probar esto, primero note que la adición de granos de arena solo puede aumentar el número total de granos llevados por los dos vértices juntos. Para llegar a una configuración donde ambos vértices llevan cero partículas a partir de una configuración donde este no es el caso, entonces, necesariamente implica pasos donde al menos uno de los dos vértices es derribado. Considere el último de estos pasos. En este paso, uno de los dos vértices tiene que derribarse último. Dado que el derribo transfiere un grano de arena a cada vértice vecino, esto implica que el número total de granos llevados por ambos vértices juntos no puede ser menor que uno, lo que concluye la prueba.

Grupo de pilas de arena

Dada una configuración , para todos , el derribo de vértices inestables no sumideros en un grafo conexo finito hasta que no quede ningún vértice inestable no sumidero conduce a una única configuración estable , que se denomina estabilización de . Dadas dos configuraciones estables y , podemos definir la operación , correspondiente a la adición de granos por vértice seguida de la estabilización del montón de arena resultante. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z(v)\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z*w:=(z+w)^{\circ }}$

Dado un orden arbitrario pero fijo de los vértices que no son sumidero, las operaciones de vuelco múltiples, que pueden ocurrir, por ejemplo, durante la estabilización de una configuración inestable, se pueden codificar de manera eficiente utilizando el laplaciano de grafos , donde es la matriz de grados y es la matriz de adyacencia del grafo. Al eliminar la fila y la columna de correspondientes con el sumidero se obtiene el laplaciano de grafos reducido . Luego, al comenzar con una configuración y derribar cada vértice un total de veces se obtiene la configuración , donde es el producto de contracción. Además, si corresponde al número de veces que se derriba cada vértice durante la estabilización de una configuración dada , entonces ${\displaystyle \Delta =D-A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z^{\circ }=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$

En este caso se habla de función de vuelco o de odómetro (de estabilización de ). ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle z}$

Bajo la operación , el conjunto de configuraciones recurrentes forma un grupo abeliano isomorfo al conúcleo del grafo reducido Laplaciano , es decir a , por lo que denota el número de vértices (incluido el sumidero). De manera más general, el conjunto de configuraciones estables (transitorias y recurrentes) forma un monoide conmutativo bajo la operación . El ideal mínimo de este monoide es entonces isomorfo al grupo de configuraciones recurrentes. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle *}$

El grupo formado por las configuraciones recurrentes, así como el grupo al que el primero es isomorfo, se conoce más comúnmente como el grupo de pila de arena . Otros nombres comunes para el mismo grupo son grupo crítico , grupo jacobiano o (menos a menudo) grupo de Picard . Nótese, sin embargo, que algunos autores solo denotan al grupo formado por las configuraciones recurrentes como el grupo de pila de arena, mientras que reservan el nombre de grupo jacobiano o grupo crítico para el grupo (isomorfo) definido por (o para definiciones isomorfas relacionadas). Finalmente, algunos autores usan el nombre de grupo de Picard para referirse al producto directo del grupo de pila de arena y , que aparece naturalmente en un autómata celular estrechamente relacionado con el modelo de pila de arena, conocido como el juego de disparo de chips o dólar. ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Dados los isomorfismos establecidos anteriormente, el orden del grupo de pilas de arena es el determinante de , que según el teorema del árbol matricial es el número de árboles de expansión del gráfico. ${\displaystyle \Delta '}$

Criticidad autoorganizada

El interés original detrás del modelo surgió del hecho de que en simulaciones en redes, es atraído a su estado crítico , en cuyo punto la longitud de correlación del sistema y el tiempo de correlación del sistema tienden al infinito, sin ningún ajuste fino de un parámetro del sistema. Esto contrasta con ejemplos anteriores de fenómenos críticos, como las transiciones de fase entre sólido y líquido, o líquido y gas, donde el punto crítico solo se puede alcanzar mediante un ajuste preciso (por ejemplo, de la temperatura). Por lo tanto, en el modelo de pila de arena podemos decir que la criticidad es autoorganizada .

Una vez que el modelo de pila de arena alcanza su estado crítico, no existe correlación entre la respuesta del sistema a una perturbación y los detalles de la misma. En general, esto significa que dejar caer otro grano de arena sobre la pila puede no provocar que pase nada o puede provocar que toda la pila se derrumbe en un deslizamiento masivo. El modelo también muestra ruido 1/ ƒ , una característica común a muchos sistemas complejos de la naturaleza.

Este modelo solo muestra un comportamiento crítico en dos o más dimensiones. El modelo de pila de arena se puede expresar en 1D; sin embargo, en lugar de evolucionar hacia su estado crítico, el modelo de pila de arena 1D alcanza un estado mínimamente estable donde cada sitio de la red se dirige hacia la pendiente crítica.

Para dos dimensiones, se ha planteado la hipótesis de que la teoría de campo conforme asociada consiste en fermiones simplécticos con una carga central c  = −2. ^[7]

Propiedades

Principio de mínima acción

La estabilización de las configuraciones de chips obedece a una forma de principio de mínima acción : cada vértice no se derrumba más de lo necesario en el curso de la estabilización. ^[8] Esto se puede formalizar de la siguiente manera. Llamemos a una secuencia de derrumbes legal si solo derrumba vértices inestables, y estabilizadora si da como resultado una configuración estable. La forma estándar de estabilizar el montón de arena es encontrar una secuencia legal máxima; es decir, derrumbando mientras sea posible. Dicha secuencia es obviamente estabilizadora, y la propiedad abeliana del montón de arena es que todas esas secuencias son equivalentes hasta la permutación del orden de derrumbamiento; es decir, para cualquier vértice , el número de veces que se derrumba es el mismo en todas las secuencias estabilizadoras legales. Según el principio de mínima acción, una secuencia estabilizadora mínima también es equivalente hasta la permutación del orden de derrumbamiento a una secuencia legal (y aún estabilizadora). En particular, la configuración resultante de una secuencia estabilizadora mínima es la misma que la que resulta de una secuencia legal máxima. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

Más formalmente, si es un vector tal que es el número de veces que el vértice se vuelca durante la estabilización (a través del vértice inestable) de una configuración de chip , y es un vector integral (no necesariamente no negativo) tal que es estable, entonces para todos los vértices . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} (v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle z-\mathbf {n} \Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)}$ ${\displaystyle v}$

Límites de escala

Animación de la identidad de la pila de arena en cuadrículas cuadradas de tamaño creciente. El color negro indica vértices con 0 granos, el verde con 1, el violeta con 2 y el dorado con 3.

La animación muestra la configuración recurrente correspondiente a la identidad del grupo de pilas de arena en diferentes cuadrículas cuadradas de tamaños crecientes , por lo que las configuraciones se reescalan para tener siempre la misma dimensión física. Visualmente, las identidades en cuadrículas más grandes parecen volverse cada vez más detalladas y "converger a una imagen continua". Matemáticamente, esto sugiere la existencia de límites de escala de la identidad de la pila de arena en cuadrículas cuadradas basadas en la noción de convergencia débil-* (o alguna otra noción generalizada de convergencia). De hecho, la existencia de límites de escala de configuraciones recurrentes de pilas de arena ha sido probada por Wesley Pegden y Charles Smart. ^{[9] [10]} En un trabajo conjunto posterior con Lionel Levine, utilizan el límite de escala para explicar la estructura fractal de la pila de arena en cuadrículas cuadradas. ^[11] Otro límite de escala, cuando las relajaciones de una perturbación del estado estable máximo convergen a una imagen definida por curvas tropicales , se establece en los trabajos de Nikita Kalinin y Mikhail Shkolnikov. ^[12] ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\geq 1}$

Completitud de Turing

Los montones de arena abelianos en tres o más dimensiones se pueden utilizar para simular una máquina de Turing y, por lo tanto, son Turing completos . ^[13]

Generalizaciones y modelos relacionados

Modelos de pilas de arena en cuadrículas infinitas

Se dejaron caer 30 millones de granos en un lugar de la cuadrícula infinita y luego se volcaron de acuerdo con las reglas del modelo de pila de arena. El color blanco indica los lugares con 0 granos, el verde con 1, el violeta con 2 y el dorado con 3. El cuadro delimitador mide 3967×3967.

Existen varias generalizaciones del modelo de pila de arena para cuadrículas infinitas. Un desafío en tales generalizaciones es que, en general, ya no se garantiza que todas las avalanchas se detengan eventualmente. Por lo tanto, varias de las generalizaciones solo consideran la estabilización de configuraciones para las cuales esto se puede garantizar.

Un modelo bastante popular sobre la red cuadrada (infinita) con sitios se define de la siguiente manera: ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Comience con alguna configuración no negativa de valores que sea finita, es decir, ${\displaystyle z(x,y)\in \mathbf {Z} }$

${\displaystyle \sum _{x,y}z(x,y)<\infty .}$

Cualquier sitio con ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle z(x,y)\geq 4}$

es inestable y puede caerse (o dispararse ), enviando uno de sus chips a cada uno de sus cuatro vecinos:

${\displaystyle z(x,y)\rightarrow z(x,y)-4,}$

${\displaystyle z(x\pm 1,y)\rightarrow z(x\pm 1,y)+1,}$

${\displaystyle z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.}$

Dado que la configuración inicial es finita, se garantiza que el proceso terminará y los granos se dispersarán hacia afuera.

Un caso especial popular de este modelo se da cuando la configuración inicial es cero para todos los vértices excepto el origen. Si el origen lleva una gran cantidad de granos de arena, la configuración después de la relajación forma patrones fractales (ver figura). Al permitir que la cantidad inicial de granos en el origen llegue al infinito, se demostró que las configuraciones estabilizadas reescaladas convergen a un límite único. ^{[10] [11]}

Modelos de pila de arena en gráficos dirigidos

El modelo de pila de arena se puede generalizar a multigrafos arbitrarios dirigidos. Las reglas son que cualquier vértice con ${\displaystyle v}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg ^{+}(v)}$

es inestable; al derribarlo nuevamente se envían chips a cada uno de sus vecinos, uno a lo largo de cada borde saliente:

${\displaystyle z(v)\rightarrow z(v)-\deg ^{+}(v)+\deg(v,v)}$

y, para cada uno : ${\displaystyle u\neq v}$

${\displaystyle z(u)\rightarrow z(u)+\deg(v,u)}$

¿Dónde está el número de aristas de a ? ${\displaystyle \deg(v,u)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

En este caso, la matriz laplaciana no es simétrica. Si especificamos un sumidero tal que exista un camino desde cada otro vértice hasta , entonces la operación de estabilización en grafos finitos está bien definida y el grupo de pilas de arena se puede escribir ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$

Como antes.

El orden del grupo de pilas de arena es nuevamente el determinante de , que según la versión general del teorema del árbol matricial es el número de árboles de expansión orientados con raíz en el sumidero. ${\displaystyle \Delta '}$

El modelo de pila de arena extendido

Dinámica de pilas de arena inducida por la función armónica H=x*y en una cuadrícula de 255x255.

Para comprender mejor la estructura del grupo de pilas de arena para diferentes cuadrículas convexas finitas de la red cuadrada estándar , Lang y Shkolnikov introdujeron el modelo de pila de arena extendido en 2019. ^[14] El modelo de pila de arena extendido se define casi exactamente igual que el modelo de pila de arena habitual (es decir, el modelo original de Bak–Tang–Wiesenfeld ^[1] ), excepto que ahora se permite que los vértices en el límite de la cuadrícula lleven un número real no negativo de granos. Por el contrario, los vértices en el interior de la cuadrícula todavía solo pueden llevar números enteros de granos. Las reglas de derribo permanecen sin cambios, es decir, se supone que tanto los vértices interiores como los de los límites se vuelven inestables y se derrumban si el número de granos alcanza o supera cuatro. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial \Gamma }$

Además, las configuraciones recurrentes del modelo de pila de arena extendida forman un grupo abeliano, denominado grupo de pila de arena extendida , del cual el grupo de pila de arena usual es un subgrupo discreto . A diferencia del grupo de pila de arena usual, el grupo de pila de arena extendida es, sin embargo, un grupo de Lie continuo . Dado que se genera simplemente añadiendo granos de arena al límite de la cuadrícula, el grupo de pila de arena extendida tiene además la topología de un toro de dimensión y un volumen dados por el orden del grupo de pila de arena usual. ^[14] ${\displaystyle \partial \Gamma }$ ${\displaystyle |\partial \Gamma |}$

De particular interés es la cuestión de cómo las configuraciones recurrentes cambian dinámicamente a lo largo de las geodésicas continuas de este toro que pasa por la identidad. Esta cuestión conduce a la definición de la dinámica de la pila de arena.

${\displaystyle D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }}$(modelo de pila de arena extendido)

respectivamente

${\displaystyle {\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }}$(modelo habitual de pila de arena)

inducida por la función armónica de valor entero en el tiempo , con la identidad del grupo de pilas de arena y la función de piso. ^[14] Para funciones armónicas polinómicas de orden bajo, la dinámica de las pilas de arena se caracteriza por la transformación suave y la conservación aparente de los parches que constituyen la identidad de la pila de arena. Por ejemplo, la dinámica armónica inducida por se asemeja al "estiramiento suave" de la identidad a lo largo de las diagonales principales visualizadas en la animación. Además, se conjeturó que las configuraciones que aparecen en la dinámica inducida por la misma función armónica en cuadrículas cuadradas de diferentes tamaños convergen débilmente, lo que significa que supuestamente existen límites de escala para ellas. ^[14] Esto propone una renormalización natural para los grupos de pilas de arena extendidos y usuales, lo que significa un mapeo de configuraciones recurrentes en una cuadrícula dada a configuraciones recurrentes en una subcuadrícula. De manera informal, esta renormalización simplemente asigna configuraciones que aparecen en un momento dado en la dinámica de la pila de arena inducida por alguna función armónica en la cuadrícula más grande a las configuraciones correspondientes que aparecen al mismo tiempo en la dinámica de la pila de arena inducida por la restricción de la subcuadrícula respectiva. ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ ${\displaystyle H=xy}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

El montón de arena divisible

Un modelo fuertemente relacionado es el llamado modelo de pila de arena divisible , introducido por Levine y Peres en 2008, ^[15] en el que, en lugar de un número discreto de partículas en cada sitio , hay un número real que representa la cantidad de masa en el sitio. En caso de que dicha masa sea negativa, se puede entender como un agujero. El derrumbe ocurre siempre que un sitio tiene una masa mayor que 1; derriba el exceso de manera uniforme entre sus vecinos, lo que resulta en la situación de que, si un sitio está lleno en el momento , estará lleno para todos los momentos posteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle t}$

Referencias culturales

El montón de arena de Bak-Tang-Wiesenfeld fue mencionado en el episodio "Rampage" de Numb3rs , cuando el matemático Charlie Eppes explica a sus colegas una solución a una investigación criminal.

El juego de computadora Hexplode se basa en el modelo de pila de arena abeliana sobre una cuadrícula hexagonal finita donde, en lugar de colocar los granos de forma aleatoria, los jugadores los colocan.

Referencias

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3. Dhar, D (2006). "Estudios teóricos de la criticidad autoorganizada". Physica A . 369 (14): 29–70. doi :10.1016/j.physa.2006.04.004. PMID  10041442.
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5. Holroyd, A.; Levine, L.; Mészáros, K.; Peres, Y.; Propp, J.; Wilson, B. (2008). "Disparo de chips y enrutamiento de rotores en grafos dirigidos". Dentro y fuera del equilibrio 2. Progreso en probabilidad. Vol. 60. págs. 331–364. arXiv : 0801.3306 . Código Bibliográfico : 1987PhRvL..59..381B. doi : 10.1007/978-3-7643-8786-0_17. ISBN : 978-3-7643-8786-0_17. 978-3-7643-8785-3. Número de identificación del sujeto  7313023.
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15. Levine, Lionel; Peres, Yuval (29 de octubre de 2008). "Asintótica esférica fuerte para la agregación de rotor-enrutador y la pila de arena divisible". Análisis de potencial . 30 (1): 1–27. arXiv : 0704.0688 . doi :10.1007/s11118-008-9104-6. ISSN  0926-2601. S2CID  2227479.

Lectura adicional

• Per Bak (1996). Cómo funciona la naturaleza: la ciencia de la criticidad autoorganizada . Nueva York: Copernicus. ISBN 978-0-387-94791-4.
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1987). "Criticidad autoorganizada: una explicación del ruido 1/ ƒ ". Physical Review Letters . 59 (4): 381–384. Bibcode :1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754.
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1988). "Criticidad autoorganizada". Physical Review A . 38 (1): 364–374. Bibcode :1988PhRvA..38..364B. doi :10.1103/PhysRevA.38.364. PMID  9900174.
• Cori, Robert; Rossin, Dominique; Salvy, Bruno (2002). "Ideales polinomiales para pilas de arena y sus bases de Gröbner" (PDF) . Theor. Comput. Sci . 276 (1–2): 1–15. doi :10.1016/S0304-3975(00)00397-2. Zbl  1002.68105.
• Klivans, Caroline (2018). Las matemáticas de la combustión de virutas . CRC Press.
• Perkinson, David; Perlman, Jacob; Wilmes, John (2013). "Geometría algebraica de pilas de arena". En Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander (eds.). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, EE. UU., 6 al 13 de mayo de 2011. Matemáticas contemporáneas. Vol. 605. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 211–256. CiteSeerX  10.1.1.760.283 . doi :10.1090/conm/605/12117. ISBN . 978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577. Zbl  1281.14002.

Enlaces externos

• García-Puente, Luis David. "Pilas de arena" (vídeo de YouTube) . YouTube . Brady Haran . Archivado desde el original el 15 de diciembre de 2021. Consultado el 15 de enero de 2017 .
• Ellenberg, Jordan (6 de octubre de 2021). "Las matemáticas del asombroso montón de arena". Nautilus Quarterly .
• Phelps, Christopher (5 de noviembre de 2021). Una implementación interactiva en Python de modelos de red cuadrada