Tipo de medida Borel
En matemáticas , la medida gaussiana es una medida de Borel en el espacio euclidiano de dimensión finita , estrechamente relacionada con la distribución normal en estadística . También hay una generalización a espacios de dimensiones infinitas. Las medidas gaussianas llevan el nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . Una de las razones por las que las medidas gaussianas son tan omnipresentes en la teoría de la probabilidad es el teorema del límite central . En términos generales, establece que si una variable aleatoria se obtiene sumando un gran número de variables aleatorias independientes con varianza 1, entonces tiene varianza y su ley es aproximadamente gaussiana.
Definiciones
Sea y denote la finalización del álgebra de Borel en . Denotemos la medida habitual de Lebesgue -dimensional . Entonces la medida gaussiana estándar se define por
para cualquier conjunto mensurable . En términos del derivado radón-Nikodym ,
De manera más general, la medida gaussiana con media y varianza viene dada por
Las medidas gaussianas con media se conocen como medidas gaussianas centradas .
La medida de Dirac es el límite débil de as y se considera una medida gaussiana degenerada ; por el contrario, las medidas gaussianas con varianza finita distinta de cero se denominan medidas gaussianas no degeneradas .
Propiedades
La medida gaussiana estándar en
- es una medida de Borel (de hecho, como se comentó anteriormente, se define al completar el álgebra sigma de Borel, que es una estructura más fina);
- es equivalente a la medida de Lebesgue: , donde significa continuidad absoluta de las medidas;
- se apoya en todo el espacio euclidiano: ;
- es una medida de probabilidad , por lo que es localmente finita ;
- es estrictamente positivo : todo conjunto abierto no vacío tiene medida positiva;
- es regular internamente : para todos los conjuntos de Borel , la medida gaussiana es una medida de radón ;
- no es invariante de traducción , pero satisface la relación donde la derivada en el lado izquierdo es la derivada de Radón-Nikodym , y es el avance de la medida gaussiana estándar por el mapa de traducción ;
- es la medida de probabilidad asociada a una distribución de probabilidad normal :
Espacios de dimensión infinita
Se puede demostrar que no existe ningún análogo de la medida de Lebesgue en un espacio vectorial de dimensión infinita . Aun así, es posible definir medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita, siendo el ejemplo principal la construcción abstracta del espacio de Wiener . Se dice que una medida de Borel en un espacio de Banach separable es una medida gaussiana no degenerada (centrada) si, para cada funcional lineal excepto , la medida de avance es una medida gaussiana no degenerada (centrada) en el sentido definido anteriormente. .
Por ejemplo, la medida de Wiener clásica en el espacio de caminos continuos es una medida gaussiana.
Ver también
Referencias
- Bogachev, Vladimir (1998). Medidas gaussianas . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1470418694.
- Strock, Daniel (2010). Teoría de la probabilidad: una visión analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521132503.