Esta herramienta matemática suele usarse para transformar la representación en tiempo continuo de las señales en tiempo discreto y viceversa.
perteneciente a un filtro lineal e invariante en el tiempo que se encuentre definido en el dominio de tiempo discreto.
Este método describe una forma de posicionar números complejos
y pertenecientes al plano S, en la circunferencia trigonométrica con
pertenecientes al plano z. La transformada preserva la estabilidad y posición de cada uno de los puntos correspondientes a la respuesta en frecuencia del filtro en el dominio del tiempo continuo,
, al correspondiente punto en la respuesta en frecuencia que representará el filtro discreto
Por lo tanto cada punto que aparezca en la respuesta en frecuencia del filtro analógico le corresponderá otro punto de idéntica ganancia y desplazamiento de fase en la respuesta en frecuencia del filtro digital, aunque quizás como comentamos, puede que esto ocurra a frecuencias diferentes.
Otras transformaciones bilineales diferentes a la que se describe en este artículo se usan, por ejemplo, para aproximar la resolución no lineal de la respuesta en frecuencia del sistema auditivo humano.
Esta equivalencia se hace evidente con la siguiente sustitución de variables:
Las aplicaciones de ambas transformadas requieren que la función transferencia en el dominio espectral sea un cociente de polinomios, y esta sustitución exponencial no respeta este requerimiento.
z y s queda relacionados matemáticamente mediante un cociente de polinomios.
Sin embargo la aplicación más habitual consiste en convertir un diseño analógico en uno digital, lo que requiere sustituir s por una función de z. Esto equivale a aproximar
Esta sustitución se adopta universalmente como el método para convertir una función transferencia del dominio de Laplace al dominio Z.
Un filtro causal perteneciente al dominio continuo del tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen en lado izquierdo del plano complejo s. Un filtro discreto en el tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro de la circunferencia trigonométrica del plano complejo Z. La transformada bilineal posiciona los puntos que se encuentran en la parte izquierda del plano complejo S al interior de la circunferencia trigonométrica del plano Z. Por lo tanto los filtros diseñados en el dominio continuo del tiempo que son estables, al ser convertidos al dominio discreto guardan su característica de estabilidad.
Esto nos asegura que los cambios producidos desde el plano S al plano Z y viceversa no afectan a estas propiedades de los sistemas.
Este filtro posee una función de transferencia definida en el dominio continuo del tiempo.
Si nosotros quisiésemos implementar dicho filtro, únicamente tendríamos que aplicar la transformación bilineal que acabamos de aprender, sustituyendo la
Siendo una aproximación, la función transferencia resultante de la sustitución bilineal no se comporta exactamente como la original.
La diferencia más relevante consiste en un desplazamiento o deformación de la respuesta en frecuencia, efecto conocido como warp.
la cual se encuentra sobre la circunferencia trigonométrica unitaria en el plano Z,
Ahora lo que queremos es conocer ante una entrada de una frecuencia al filtro discreto construido a partir de la transformación bilineal,
Esto significa que las frecuencias transformadas de tiempo discreto a tiempo a continuo son íntegramente "mapeadas" por la transformación bilineal.
y en cuanto al mapeado inverso El filtro en tiempo discreto se comporta en frecuencia
de la misma forma que el filtro en tiempo continuo se comporta en frecuencia
Toda ganancia y fase retardada que en el filtro de tiempo discreto tiene una frecuencia
También se puede ver que hay una relación no lineal entre
Este efecto de la transformada bilineal se llama warp, o alteración en frecuencia.
Los filtros en tiempo continuo pueden ser diseñados para compensar esta alteración de frecuencia poniendo
Es necesario sin embargo, compensar esta alteración en la frecuencia usando la técnica de "pre-warping" una vez se conozca la especificación de frecuencias del sistema a diseñar.
Esta especificación "pre-warped" podría ser usada en la transformación bilineal para obtener el sistema deseado de tiempo discreto.