En análisis real y en teoría de la aproximación, el teorema de representación de Kolmogórov-Arnold (o teorema de superposición) establece que cada función continua multivariable
Su demostración supuso la resolución de una forma más restringida del decimotercer problema de Hilbert, por lo que el propio decimotercer problema original de Hilbert figura como un corolario del teorema.
[1][2][3] Los trabajos de Vladímir Arnold y de Andréi Kolmogórov establecieron que si f es una función continua multivariable, entonces f puede escribirse como una composición finita de funciones continuas de una sola variable y la operación binaria de adición.
todas ellas funciones continuas y de una sola variable.
Existen demostraciones del teorema con construcciones específicas.
[5] En cierto sentido, demostraron que la única función multivariada verdadera es la suma, ya que cualquier otra función se puede escribir usando funciones univariables y la suma.
[6]: 180 El teorema de representación de Kolmogorov-Arnold está estrechamente relacionado con el decimotercer problema de Hilbert.
En su conferencia al Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900, David Hilbert formuló 23 problemas que, en su opinión, eran importantes para el desarrollo posterior de las matemáticas.
Se sabe que para ecuaciones algebraicas de grado cuatro la solución se puede calcular mediante fórmulas que solo contienen radicales y operaciones aritméticas.
Para órdenes superiores, la teoría de Galois demuestra que las soluciones de ecuaciones algebraicas no se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas básicas.
De la llamada transformación de Tschirnhaus se deduce que la ecuación algebraica general se puede traducir a la forma
La transformación de Tschirnhaus viene dada por una fórmula que contiene solo radicales y operaciones y transformadas aritméticas.
, la solución es una superposición de operaciones aritméticas, radicales y la solución de la ecuación
Parece imposible una mayor simplificación con transformaciones algebraicas, lo que llevó a Hilbert a la conjetura de que "una solución de la ecuación general de grado 7 no puede representarse como una superposición de funciones continuas de dos variables".
En este contexto, ha estimulado muchos estudios en teoría de funciones y otros problemas relacionados por parte de diferentes autores.
[8] Kolmogórov declaró que este resultado fue el más difícil desde el punto de vista técnico al que se había enfrentado y el que le exigió un período más largo de concentración en el mismo problema.
[9] Una variante del teorema de Kolmogorov que reduce el número de las funciones externas
se debe a George Lorentz.
[10] Demostró en 1962 que las funciones externas
Más precisamente, Lorentz demostró la existencia de funciones
tales que David Sprecher[11] reemplazó las funciones internas
por una única función interna con un cambio apropiado en su argumento.
Demostró que existen valores reales
y una función real creciente continua
, tales que Phillip A. Ostrand[12] generalizó el teorema de superposición de Kolmogorov a espacios métricos compactos.
un conjunto de espacios métricos compactos de dimensión finita
→ [ 0 , 1 ] , q = 0 , … , 2 n , p = 1 , … , m
tales que cualquier función continua
es representable en la forma El teorema no se cumple en general para funciones complejas multivariable, como se analiza aquí.
[2] Además, la falta de suavidad de las funciones internas y su "comportamiento salvaje" ha limitado el uso práctico de la representación,[13] aunque existe cierto debate al respecto.